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相关试卷

1、如图中，图象对应的函数解析式为（）

A、 $f (x) = \frac{e^{|x|} cos 2 x}{x^{2} + 1}$ B、 $f (x) = \frac{e^{|x|} sin 2 x}{|x|}$ C、 $f (x) = \frac{sin 2 x}{x^{2} + 1}$ D、 $f (x) = \frac{e^{|x|} sin 2 x}{x^{2} + 1}$

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = - t, \\ y = \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = a + cos α, \\ y = sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的两不同交点 $A, B$ 满足 $\vec{O A} = 2 \vec{O B}$ ，求 $a$ 的值．

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3、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点 $M (2, 1)$ 到焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $N (4, 0)$ 的直线交 $E$ 于 $A, B$ 两点，直线 $A M, B M$ 分别交直线 $x = 4$ 于 $P, Q$ 两点，求证： $|P N| = |Q N|$ ．

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4、已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，满足 $A D ∥ B C, A D ⊥ D C$ ，若 $P A = A D = D C = 2, B C = 3$ ，点 $M$ 为 $P D$ 的中点，点 $N$ 为 $P C$ 的三等分点（靠近点 $P$ ）．

(1)、求证： $P C ⊥$ 平面 $A M N$ ；

(2)、若线段 $P B$ 上的点 $Q$ 在平面 $A M N$ 内，求 $\frac{P Q}{P B}$ 的值．

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5、地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y（单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数 $lg y$ 与时间 $x$ （单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为： $lg y = 0.89 x + 8.64$ ，相关指数 $R^{2} = 0.97$ ）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（）

A、根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取 $y$ 取常用对数的做法，我们也可采用函数模型 $y = \hat{b} \times 10^{\hat{a} x} + k$ 来拟合 B、根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的 $10^{0.89} \approx 7.76$ 倍 C、虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程 D、根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为 $10^{8.64}$ ，可以推断地球生命可能并非诞生于地球

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 一共有 $m^{2} (m > 2)$ 项， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 成公差不为 $0$ 的等差数列，对任意的 $i \in \{1, 2, \dots, m\}, a_{i}, a_{i + m}, \dots, a_{i + (m - 2) m}, a_{i + (m - 1) m}$ 成等差数列，且对于不同的 $i$ ，其公差为同一个非零常数．

(1)、若 $m = 3, a_{1} = 1, a_{4} = 3, a_{9} = 9$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的各项之和；

(2)、证明： $a_{1}, a_{(m + 1) + 1}, a_{2 (m + 1) + 1}, \dots, a_{(m - 1) (m + 1) + 1}$ 成等差数列；

(3)、从 $1, 2, \dots, m^{2}$ 中任取三个数 $p, q, r (p < q < r)$ ，记 $p, q, r$ 成等差数列且 $a_{p}, a_{q}, a_{r}$ 也成等差数列的概率为 $P_{m}$ ，证明： $P_{m} > \frac{3 m - 6}{4 m^{3} - 8 m}$ ．

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7、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P M ⊥$ 底面 $A B C, A B ⊥ A C, A B = 1, A C = \sqrt{2}, M, N$ 分别为 $B C, A C$ 的中点， $E$ 为线段 $P A$ 上一点，平面 $E B N ⊥$ 底面 $A B C$ ．

(1)、若 $P M = 1$ ，求二面角 $A - E N - B$ 的余弦值；

(2)、求 $\frac{P E}{A E}$ ．

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8、已知抛物线 $C : y^{2} = m x (m > 0)$ 的焦点为 $F$ ，以 $F$ 和 $C$ 的准线上的两点为顶点可以构成边长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的等边三角形．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、讨论过点 $(- 2, 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点个数．

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9、已知函数 $f (x) = e^{x - a} - \frac{ln x}{x} - 1$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq 0$ ．

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10、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{1}{sin C} = \frac{2 cos B}{2 sin A + sin B}$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = b = 2$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径．

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11、若关于 $θ$ 的方程 $\frac{sin θ - a cos θ}{cos θ + a sin θ} = - \frac{{cos}^{3} θ}{{sin}^{3} θ}$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上有且仅有一个实数解，则实数 $a =$ ．

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12、已知正数 $a, b$ 满足 $(2 a + 1) (b + 1) = 4$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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13、小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为．（用数字作答）

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14、已知 $F (1, 0)$ ，圆 $M : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 为圆 $M$ 上一动点，以 $P F$ 为直径的圆 $N$ 交 $y$ 轴于 $A, B$ 两点，设 $A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B}), P (x_{P}, y_{P})$ ，则（）

A、当点 $N$ 在 $y$ 轴上时， $|P F| = \sqrt{5}$ B、 $|M N|$ 的取值范围是 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ C、 $y_{A} y_{B} = x_{P}$ D、 $cos ∠ A F P = \frac{1}{|B F|}$

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15、已知函数 $f (x)$ 不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、存在 $f (x)$ 和实数 $t$ ，使得 $f^{'} (x) = t f (x)$ B、不存在 $f (x)$ 和实数 $t$ ，满足 $f (x) + f (t) = f (2 x)$ C、存在 $f (x)$ 和实数 $t$ ，满足 $f (x^{t}) = t f (x)$ D、若存在实数 $t$ 满足 $f^{'} (x) = f (x + t)$ ，则 $f (x)$ 只能是指数函数

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16、为了弘扬奥运会中我国射击队员顽强拼搏的奋斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数如下： $9, 8, 6, 10, 9, 7, 6, 9$ （单位：环），则这组样本数据的（）

A、极差为4 B、平均数是8 C、上四分位数是9 D、方差为4

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17、已知 $D$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 右支上一点，过点 $D$ 分别作 $C$ 的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点 $A, B$ ，则 $|D A| \cdot |D B| =$ （）

A、 $2$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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18、已知椭圆 $C$ 的离心率为 $\cos 40 °$ ，焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，一个短轴顶点为 $B$ ，则 $∠ F_{1} B F_{2} =$ （）

A、40° B、50° C、80° D、100°

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19、已知底面半径为 $\sqrt{5}$ 的圆锥的侧面展开图是圆心角为平角的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $2 \sqrt{15} π$ B、 $\frac{10 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $\frac{5 \sqrt{15}}{3} π$ D、 $\frac{5 \sqrt{10}}{3} π$

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20、向量 $\vec{a} = (2, - \frac{1}{2})$ 在向量 $\vec{b} = (1, 3)$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(2, - \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{20}, \frac{3}{20})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{20}, \frac{3 \sqrt{2}}{20})$ D、 $(2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

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