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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{3}, 0)$ 且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $P (0, 1)$ ，不过点 $P$ 的直线 $l$ 与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $P A$ ， $A B$ ， $P B$ 的斜率依次成等比数列，求点 $P$ 到直线 $l$ 距离的取值范围．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P C D$ 为等边三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ C D A = \frac{π}{2}$ ， $A D = 2 B C$ ， $B C / / A D$ ， $B C ⊥ P D$ ．

(1)、求证：面 $P C D ⊥$ 面 $A B C D$ ；

(2)、若直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求二面角 $A - P B - D$ 的余弦值．

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，且满足 $b_{1} = 3 a_{1} = 3$ ， $b_{2} = S_{2} + 6$ ， $b_{3} = S_{3} + 21$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} + \frac{1}{S_{n}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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4、设函数 $f (x) = (e^{x + t} - λ x) (ln x - 2 λ x)$ ，若存在实数 $λ$ 使得 $f (x) < 0$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围是．

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5、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，点 $A (7, 6)$ ， $B$ 为圆 $C$ 上的动点， $Q$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $|Q A| + |Q B|$ 的最小值为．

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6、已知 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (k, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $k =$ ．

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7、如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 1 + |x| y$ 就是其中之一，下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 上的点的横坐标取值范围是 $[- \frac{4}{3}, \frac{4}{3}]$ B、曲线 $C$ 上的点到原点的距离最大值为 $\sqrt{2}$ C、曲线 $C$ 恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D、曲线 $C$ 所围成的“心形”区域面积大于3

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8、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} - ln a_{n}$ ， $0 < a_{1} < 1$ ，设 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ， $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{n}$ ，则下列说法中一定正确的是（）

A、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $a_{n + 1} > 1$ B、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $a_{n + 1} > a_{n}$ C、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $S_{n} > n$ D、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $0 < T_{n} < 1$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ ， $x \in [0, 3]$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 3]$ 上为增函数； B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[1, 4]$ ； C、函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $3 x + y - \frac{10}{3} = 0$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有2个不同的根当且仅当 $a \in (- \frac{4}{3}, 1]$

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10、已知 $\{a_{n}\}$ 是递增的等比数列．若 $a_{3} - 2 a_{2} + a_{1} = 2$ ，当 $a_{9}$ 取得最小值时，则 $a_{1} =$ （）

A、 $9$ B、 $16$ C、 $18$ D、 $24$

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11、动直线 $l$ 分别交直线 $y = x - 2$ 和曲线 $y = \frac{3}{2} x^{2} - 2 ln x$ 于 $M$ ， $N$ 两点，则 $|M N|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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12、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且函数 $f (x) = 2 x^{3} - \frac{a}{2} x^{2} - b x + 3$ 在 $x = 1$ 处有极值，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $8$ D、 $9$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 3$ ， $S_{5} - S_{3} = 16$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、 $36$ B、 $49$ C、 $58$ D、 $64$

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14、角 $θ$ 终边上一点的坐标为 $(- 3, 4)$ ，则 $sin (θ - \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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15、若双曲线 $m y^{2} - 4 x^{2} = 4$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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16、复数 $\frac{2 - i}{1 + 3 i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知集合 $A = \{x |2^{x + 1} > 4\}$ ， $B = \{x \in Z |{log}_{2} x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 4]$ B、 $(2, 4]$ C、 $\{1, 2, 3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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18、如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为AB的中点， $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A O}$ ；

(2)、若 $\vec{A M} = m \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = n \vec{A C}$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

(3)、求 $O M^{2} + O N^{2}$ 的取值范围．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，E为棱 $P C$ 的中点，平面 $A B E$ 与棱 $P D$ 交于点F．

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求证：F为 $P D$ 的中点；

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20、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a \sin C = \sqrt{3} c \cos A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{7}, c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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