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相关试卷

1、已知复数 $z = (z + i) (z - i)$ ，若 $m \bar{z} = z^{2}$ ，则 $m =$ ．

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2、已知函数 $f (x) = a^{x} - a x (a > 1)$ ，记 $a = a_{n}$ 时 $f (x)$ 的极值点为 $x_{n}$ （ $n \in N^{*}$ 且 $a_{n}$ 的值均不同）．则下列说法错误的是（）

A、满足 $f (x)$ 有唯一零点的 $a$ 唯一 B、无论 $a$ 取何值， $f (x)$ 都没有过原点的切线 C、若 $x_{1} = x_{2}$ ，则 $a_{1} a_{2} < e^{2 e}$ D、若 $x_{n + 1} = e x_{n}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) \geq e^{n} - 1$

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3、已知抛物线Γ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，P为Γ上一动点．过F且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A，B，且满足 $|A F| > |B F|$ ， $A P ⊥ B P$ ．则下列说法错误的是（）

A、直线AB的倾斜角大于60° B、若 $|P F| = 4$ ，则 $2 |A F| = \sqrt{3} |A B| + 2 |B F|$ C、点P可能在第一象限 D、直线PB的横截距不可能是 $- 1$

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4、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心在AC边上，内切圆半径为 $\sqrt{3} - 1$ ，且 $A = 2 C$ ．设D为AC边上动点，将 $△ A B D$ 沿BD向上翻折，得到四面体ABCD，记为M，其体积为V．则（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆面积为4π B、M不可能是正三棱锥 C、M的外接球球心不可能在其棱上 D、V取最大值时， $|A D| < |C D|$

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5、若满足 $f (x) = a x^{3} - b x + c \geq 0 (c > 0)$ 在 $[- c, c]$ 上恒成立的a唯一，则整数b的值为（）

A、3 B、 $\pm 3$ C、4 D、 $\pm 4$

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6、已知标准椭圆上P，Q两点的切线方程分别为 $2 x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ ， $2 \sqrt{3} x + y - 1 = 0$ ，则直线PQ的斜率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、2 D、 $- 2$

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7、在锐角 $△ A B C$ 中，已知 $\sin (2 A + C) = 2 \sin C - \sin B$ ，则B，C的大小关系为（）

A、 $B > C$ B、 $B = C$ C、 $B < C$ D、无法确定

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8、在递增数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{π}{6}$ ， $\sin (a_{n}) = \cos (a_{n + 1})$ ．已知 $S_{n}$ 表示 $\{a_{n}\}$ 前n项和的最小值，则 $\sin (S_{9}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m，满足上四分位数为28，第80百分位数为30，则m的最小值为（）

A、24 B、25 C、28 D、29

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10、设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = 2 x^{2} + a$ 与直线 $y = m$ 交于点 $A, B$ ．若曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴上方（不含 $x$ 轴）的正三角形 $A B C$ 的两条边相切，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{3}{8})$ B、 $(- \infty, \frac{3}{8})$ C、 $[\frac{3}{8}, + \infty)$ D、 $(\frac{3}{8}, + \infty)$

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11、若集合 $A = \{m^{2} | |m| = 1, m \in C\}$ ， $B = \{a + b i | a b = 0\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} - a (\ln x + 1)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在 $x \in [1, e]$ ，使得 $\frac{f (x) + a}{x} + a \leq 2$ ，求实数 $a$ 的最大值.

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ （其中 $e = 2.71828 \dots$ ）.

(1)、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (x^{2} - a x + 9) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [0, 1]$ ， $\exists x_{2} \in [m, + \infty)$ ，使 $e^{- |x_{1} - m|} \geq f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 2 x$ $(a \in R)$
（1）当 $a = 1$ 时，求 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；
（2）若函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) ， g (x)$ 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x} - x^{3}$ ，若函数 $h (x) = 3^{|x - 2024|} - λ f (x - 2024) - 2 λ^{2}$ 有唯一零点，则实数 $λ$ 的值为

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16、随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（ $10 \leq m \leq 20$ ， $m \in N^{*}$ ）

支持
不支持
男生
$70 - m$
$10 + m$
女生
$50 + m$
$30 - m$
若通过计算得，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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17、方程 $\log_{2} (9 - 2^{x}) = 3 - x$ 的解为 $x =$ .

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18、已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} - a b + b = 0 (a > 1)$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $b \geq 4$ B、 $2 a + b \geq 8$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 1$ D、 $a b \geq \frac{27}{4}$

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19、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x^{2} f^{'} (x) + 1 > 0$ ， $f (2) = \frac{5}{2}$ ，则关于x的不等式 $f (\ln x) < \frac{1}{\ln x} + 2$ 的解集为（）

A、 $(e^{2}, + \infty)$ B、 $(0, e^{2})$ C、 $(- \infty, e^{2})$ D、 $(1, e^{2})$

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20、把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是 $θ_{1}^{\circ} C$ ，空气的温度是 $θ_{0}^{\circ} C$ ，则 $t min$ 后该物体的温度 $θ^{\circ} C$ 可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- \frac{t}{4}}$ 求得．若将温度分别为 $100^{\circ} C$ 和 $60^{\circ} C$ 的两块物体放入温度是 $20^{\circ} C$ 的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过 $10^{\circ} C$ ，至少要经过（）（取： $ln 2 = 0.69$ ）

A、 $2.76 min$ B、 $4.14 min$ C、 $5.52 min$ D、 $6.9 min$

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	支持	不支持
男生	$70 - m$	$10 + m$
女生	$50 + m$	$30 - m$

$α$	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	3.841	6.635	7.879	10.828