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相关试卷

1、已知长方体的长､宽､高分别为 $2, 1, 1$ ，则这个长方体外接球的表面积与体积之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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2、已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $R$ B、若 $a > 1, m > n$ ，则 $a^{m} < a^{n}$ C、函数 $f (x)$ 的图象恒过定点 $(0, 1)$ D、若 $0 < a < 1, x > 0$ ，则 $f (x) > 1$

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3、已知 $z = (1 - i) i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 4 = 0\}$ ，则（）

A、 $\{- 2, 2\} \subseteq A$ B、 $\{- 2, 2\} \in A$ C、 $2 \notin A$ D、 $- 2 \subseteq A$

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5、已知函数 $f (x) = λ sin (\frac{π}{2} x + φ) (λ > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图1所示， $A ､ B$ 分别为图象的最高点和最低点，过 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，交 $x$ 轴于 $A^{'}$ ，点 $C$ 为该部分图象与 $x$ 轴的交点.将绘有该图象的纸片沿 $x$ 轴折成直二面角，如图2所示，此时 $|A B| = \sqrt{10}$ ，则下列四个结论正确的有（）

A、 $λ = \sqrt{3}$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、图2中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 5$ D、图2中， $S$ 是 $△ A^{'} B C$ 及其内部的点构成的集合.设集合 $T = \{Q \in S| |A Q| \leq 2\}$ ，则 $T$ 表示的区域的面积大于 $\frac{π}{4}$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} = 1, a_{3} = 4 \sqrt{3} + 1$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足： $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ .

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列；

(2)、试探究数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由.

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7、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2, E, F, G$ 分别是棱 $A B, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求直线 $B_{1} D$ 与平面 $E F G$ 所成角的正弦值；

(2)、求平面 $C_{1} G F$ 与平面 $E G F$ 的夹角的余弦值；

(3)、若点 $H$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点，试探究点 $H$ 是否在平面 $E F G$ 上，请说明理由.

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8、人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为 $85 %$ ；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为 $50 %$ .

(1)、在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以 $ξ$ 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、已知输入的问题出现语法错误的概率为 $10 %$ .
（i）求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；
（ii）若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率.

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9、已知在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $2 b \cos C = c \cos B$ ，则 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C}$ 的最小值为．

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10、某中学 1600 名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (150, σ^{2})$ ，已知成绩小于 130的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩 $X$ 在 $150 \sim 170$ 次之间的人数约为.

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11、二项式 ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{x^{3}})}^{7}$ 的展开式中的常数项为.（用数字作答）

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12、半正多面体（ $s e m i r e g u l a r s o l i d$ ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是（）

A、 $M Q ⊥$ 平面 $A E M H$ B、异面直线 $B C$ 和 $E A$ 所成角为60° C、该二十四等边体的体积为 $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ D、该二十四等边体外接球的表面积为 $16 π$

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13、油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 $\sqrt{2}$ 的圆，圆心到伞柄底端距离为 $\sqrt{2}$ ，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为 $60^{\circ}$ ），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3 \sqrt{3} - 5}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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14、为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据 $y$ （单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.4 x + \hat{a}$ ，其中自变量 $x$ 指的是 $1 \sim 6$ 月的编号，其中部分数据如表所示：
时间
1月
2月
3月
4月
5月
6月
编号 $x$
1
2
3
4
5
6
$y$ 百亿元
$y_{1}$
$y_{2}$
$y_{3}$
11.1
$y_{5}$
$y_{6}$
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} y_{i}^{2} = 796, \sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 70$ .则下列说法不正确的是（）

A、经验回归直线经过点 $(3.5, 11)$ B、 $\hat{a} = 9.6$ C、根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元 D、相应于点 $(x_{4}, y_{4})$ 的残差为0.1

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15、菱形 $A B C D$ 中， $A C = 2, B D = 4$ ，点 $E$ 在线段 $C D$ 上，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A E}$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 3]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[- 3, 2]$

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16、一组数据按从小到大的顺序排列为 $1, 4, m, 12, 14, 21$ ，若该组数据的中位数是极差的 $\frac{2}{5}$ ，则该组数据的第 $45$ 百分位数是（）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $12$

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17、“ $a = 1$ ”是“函数 $f (x) = \frac{2^{x} - a}{2^{x} + 1}$ 为奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知集合 $A = {1, - 1}$ ， $B = {1, 0, - 1}$ ，则集合 $C = {a - b | a \in A, b \in B}$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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19、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 $30 min$ 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： $cm$ ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 $\bar{x} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i} = 9.97$ ， $s = \sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = 0.212$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{16} {(i - 8.5)}^{2}} \approx 18.439$ ， $\sum_{i = 1}^{16} (x_{i} - \bar{x}) (i - 8.5) = - 2.78$ 其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸， $i = 1, 2, ..., 16$ .

(1)、求 $(x_{i}, i) (i = 1, 2, ..., 16)$ 的相关系数 $r$ ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 $|r| < 0.25$ ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；

(2)、一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\bar{x} - 3 s, \bar{x} + 3 s)$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）请利用已经学过的方差公式： $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ 来证明方差第二公式 $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}$ .
（iii）在 $(\bar{x} - 3 s, \bar{x} + 3 s)$ 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）
附：样本 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, ..., n)$ 的相关系数 $\hat{r} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{0.008} \approx 0.09$ .

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20、如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠ABC= $\frac{π}{3}$ ， ∠B₁BD= $\frac{π}{6}$ ， $∠ B_{1} B A = ∠ B_{1} B C,$ $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2, B_{1} B = 3$
（1）求证：直线AC⊥平面BDB₁；
（2）求直线A₁B₁与平面ACC₁所成角的正弦值.

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时间	1月	2月	3月	4月	5月	6月
编号 $x$	1	2	3	4	5	6
$y$ 百亿元	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$	11.1	$y_{5}$	$y_{6}$

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸	9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
抽取次序	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸	10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95