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相关试卷

1、已知 $A (1, 1), B (4, 2)$ 和向量 $\vec{a} = (4, m),$ 若 $\vec{a} / / \vec{A B}$ ，则实数m的值为．

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2、一个正三棱锥的高是3 ，底面的边长是2 ，这个正三棱锥的体积为

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3、已知α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $α // β$ ，则 $m // β$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m // n$ ，则 $α // β$ D、若 $m ⊥ n$ ， $n ⊥ α$ ， $m // β$ ，则 $α ⊥ β$

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4、已知向量 $\vec{a} = (- 6, 3)$ ， $\vec{b} = (1, t)$ ，则（）

A、当 $\vec{a} + \vec{b} = (- 5, 4)$ 时， $t = 1$ B、当 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 时， $t = - \frac{1}{2}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角时，则 $t$ 的取值范围为 $(2, + \infty)$ D、当 $t = 3$ 时， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{3}{10}, \frac{9}{10})$

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5、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为 $\sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，则该球的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $4 \sqrt{2} π$ C、 $8 π$ D、 $32 π$

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6、已知G是 $△ A B C$ 的重心，点D满足 $\vec{B D} = \vec{D C}$ ，若 $\vec{G D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y$ 为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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7、如图，ABCD－A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的是

A、BD∥平面CB₁D₁ B、AC₁⊥BD C、异面直线AD与CB₁角为60° D、AC₁⊥平面CB₁D₁

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8、在 $△ A B C$ 中，若 $a = \sqrt{7}, b = 3, c = 2$ ，则 $A =$ （）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $90 °$

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9、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A C = 2$ ， $B C = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ .

(1)、若G点为 $△ P B C$ 的重心，求 $|\vec{A G}|$ ；

(2)、若 $A D ⊥ P B$ ，证明： $A D / /$ 平面 $P B C$ ；

(3)、若 $A D ⊥ D C$ ，且二面角 $A - C P - D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求 $A D$ .

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10、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，面 $P A D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D, P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、在棱 $P A$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $B M / /$ 平面 $P C D$ ？若存在，求 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，说明理由．

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11、设 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b (2 \cos A + \sin^{2} C) = c \sin B \sin C + b$ ， $c = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $△ A B C$ 为锐角三角形， $D$ 是边 $A C$ 的中点，则 $\vec{D B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围是．

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12、已知两平行直线的方向向量分别为 $\vec{a} = (4 - 2 m, m - 1, m - 1)$ ， $\vec{b} = (4, 2 - 2 m, 2 - 2 m)$ ，则实数 $m$ 的值为．

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13、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $E, F$ 分别为线段 $B_{1} C$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D B}$ ， $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ + μ = 1$ 时，三棱锥 $D - P E F$ 的体积为 $\frac{1}{24}$ B、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，四棱锥 $P - A B C D$ 外接球半径为 $\frac{3}{2}$ C、 $△ P E F$ 周长的最小值为 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$ D、若 $A P = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长为 $\frac{π}{2}$

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14、先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为 $x, y$ ，设事件 $A_{1} =$ “ $x + y = 5$ ”，事件 $A_{2} =$ “ $y = x^{2}$ ”，事件 $A_{3} =$ “ $x + 2 y$ 为奇数”，则（）

A、 $P (A_{1}) = \frac{1}{9}$ B、 $P (A_{2}) = \frac{1}{12}$ C、 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 相互独立 D、 $A_{2}$ 与 $A_{3}$ 相互独立

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15、截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角，得到所有棱长均为2的截角四面体，则截角四面体各个面所在平面中，两个平面是相交平面的概率为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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16、已知事件 $A, B$ 互斥，它们都不发生的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且 $P (A) = 2 P (B)$ ，则 $P (\bar{A}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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18、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $F (1, 0)$ 为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线 $l_{1}$ 交椭圆于M，N两点，当 $l_{1}$ 与x轴垂直时， $|M N| = 3$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程．

(2)、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为椭圆的左、右顶点，直线 $A_{1} M$ ， $A_{2} N$ 分别与直线 $l_{2}$ ： $x = 1$ 交于P，Q两点，证明：四边形 $O P A_{2} Q$ 为菱形．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $g (x) = e^{x} + x^{4} f (x) - x^{2} - a x$ 有2个零点，求实数a的取值范围．

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $A C = A B_{1}$

(1)、证明： $A B ⊥ B_{1} C$

(2)、若 $A C ⊥ A B_{1}$ ， $∠ C B B_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A B = B C = 2$ ，求平面 $A B_{1} C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值.

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