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相关试卷

1、下列说法中正确的是（）

A、若复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第一象限 B、已知复数z满足 $(1 + 2 i) z = 2 + i$ ，则 $| z | = 1$ C、 $3 + 2 i$ 是关于x的方程 $2 x^{2} + m x + n = 0$ （m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26 D、若复数z满足若 $z \in C$ ，且 $| z | = 1$ ，则 $| z - 3 - 4 i |$ 的最小值为4

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2、将 $n^{2} (n \geq 3)$ 个互不相等的数排成下表：
记 $M_{i} = max \{a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{i n}\}, n_{j} = min \{a_{1 j}, a_{2 j}, \dots, a_{n j}\}, m = min \{M_{1}, M_{2}, \dots, M_{n}\}$ ， $N = max \{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{n}\}$ ，则下列判断中，一定不成立的是（）
（注： $max \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}, min \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 分别表示集合 $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 最大值和最小值．）

A、 $M_{2} < n_{2}$ B、 $M_{2} < n_{3}$ C、 $m < a_{23}$ D、 $m < N$

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3、分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在 $20$ 世纪 $70$ 年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第 $n$ 行黑圈的个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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4、已知 $\vec{a} = (3, λ), \vec{b} = (1, 2)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ$ ＝（　　）

A、﹣4 B、1 C、2 D、6

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5、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $θ (θ > 0)$ 个单位后所得曲线关于 $y$ 轴对称，则 $θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{π}{2}$

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6、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $\forall x_{1} \neq x_{2} \in [0, + \infty)$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2 (x_{1} + x_{2})$ 恒成立，若 $f (2) = 8$ ，则满足 $f (\ln m) \leq 2 {(\ln m)}^{2}$ 的实数 $m$ 的取值范围是.

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7、对于定义域为 $D$ 的函数 $y = f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq D$ ，同时满足：① $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上是单调函数；②当 $x \in [m, n]$ 时， $f (x) \in [m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 是该函数的“优美区间”.

(1)、求证： $[0, 3]$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{9} x^{3}$ 的一个“优美区间”；

(2)、求证：函数 $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ 不存在“优美区间”；

(3)、已知函数 $h (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \in R, a \neq 0)$ 有“优美区间” $[m, n]$ ，当 $n - m$ 取得最大值时求 $a$ 的值.

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8、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号.作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要创造者.六盘水市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛（满分100分），从所有答卷的成绩中抽取了容量为100的样本，将样本（成绩均为不低于50分的整数）分成五段： $[50, 60), [60, 70), \dots, [90, 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值和估计样本的下四分位数；

(2)、按照分层抽样的方法，从样本中抽取20份成绩，应从 $[80, 100]$ 中抽取多少份；

(3)、已知落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是53，方差是4；落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为65，方差是7，求成绩落在 $[50, 70)$ 的平均数 $\bar{z}$ 和方差 $s^{2}$ .
（注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $m, \bar{x}, s_{1}^{2}; n, \bar{y}, s_{2}^{2}$ .记这两层总的样本平均数为 $\bar{ω}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，则 $s^{2} = \frac{1}{m + n} \{m [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{ω})}^{2}] + n [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{ω})}^{2}]\}$ ）

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9、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, B B_{1}$ 的中点， $\frac{1}{2} A A_{1} = A C = C B = A B$ .

(1)、证明： $B C_{1}$ $/ /$ 平面 $A_{1} C D$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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10、已知函数 $f (x) = {cos}^{2} x - 2 sin x cos x - {sin}^{2} x$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $h (x)$ 的图象.当 $x \in (\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 时，求函数 $h (x)$ 的最值.

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11、已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (0, 1)$ 且对称轴为 $x = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求不等式 $f (x) < 1$ 的解集.

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12、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a = 4, \sqrt{3} sin A - cos A = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是.

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} {log}_{2} (1 - x), x < 0 \\ 4^{x}, x \geq 0 \end{cases}$ ，则 $f (- 7) + f ({log}_{4} 3) =$ .

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14、已知 $A (1, - 1), B (- 2, 0), C (0, 1)$ ，则 $\vec{A B} + \vec{A C} =$ .

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15、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的数量积（又称向量的点积或内积）： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角；定义向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的向量积（又称向量的叉积或外积）： $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的面积为 $|\vec{A B} \times \vec{A C}|$ B、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 为非零向量，且 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ C、若 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3} \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、已知点 $A (\sqrt{3}, 0), B (1, 1), O$ 为坐标原点，则 $|\vec{O A} \times \vec{O B}| = 2 \sqrt{3}$

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16、下列选项正确的是（）

A、 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$ B、 $x + \frac{1}{x} \geq 2 (x > 0)$ C、 $x + \frac{1}{x - 1} \geq 3 (x > 1)$ D、 $\frac{2 x y}{x + y} < \sqrt{x y} (x, y \in N^{*}, x \neq y)$

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17、如图在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N, P$ 分别是 $C_{1} D_{1}, C_{1} C, A_{1} A$ 的中点，则下列选项正确的是（）

A、 $M N$ $∥$ 平面 $A D_{1} C$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $M N P$ C、 $M, N, B, A_{1}$ 四点共面 D、 $M N$ 与 $A C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$

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18、已知 $cos (α + β) = \frac{1}{5}, cos (α - β) = \frac{2}{5}, α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $tan α + tan β$ 的值为（）

A、 $\frac{11}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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19、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $f (x + 2) + f (x) = 0$ .当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2 x$ ，则 $f (211) =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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20、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上靠近点 $C$ 的三等分点， $E$ 是 $A D$ 的中点，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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