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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{a}$ C、与 $\vec{b}$ 共线的单位向量的坐标为 $(\frac{- 3}{5}, \frac{4}{5})$ D、若向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与向量 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 共线，则 $λ = 0$

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2、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ B、若 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ D、若 $|z_{1}| = 1$ ，则 $|z_{1} + 2 i|$ 的最大值为3

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3、已知点 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $O$ 的直线与边 $A B, A C$ 分别交于 $M, N$ 两点， $D$ 为边 $B C$ 的中点．若 $\vec{A D} = x \vec{A M} + y \vec{A N} (x, y \in R)$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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4、正方形 $A B C D$ 边长为2，点 $E$ 为 $B C$ 边的中点， $F$ 为 $C D$ 边上一点，若 $\overset{⃑}{A F} \cdot \overset{⃑}{A E} = | \overset{⃑}{A E} |^{2}$ ，则 $| \overset{⃑}{A F} | =$ （）

A、3 B、5 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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5、已知函数 $f (x) = 3 \sin x + \sqrt{3} \cos x$ ，若 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $[- 3, 2 \sqrt{3}]$ B、 $[- 3, 3]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （　　）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{31}$

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7、已知 $\sin α + 3 \cos α = 0$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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8、若复数 $z = - \frac{1}{2} (1 + i)$ ，则 $z$ 的共轭复数的虚部是（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9、已知函数 $f (x) = 2 \ln (x + 1) + \sin x + 1$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) \leq a (x + 1) + \sin x$ 恒成立，求整数 $a$ 的最小值；

(3)、证明：当 $x \geq 0$ 时，有 $f (x) \leq {(x + 1)}^{2} e^{x}$ ．

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $A C \cap B D = O$ ， $P O ⊥$ 底面ABCD， $P O = 2$ ，点E在棱PD上，且 $C E ⊥ P D$ .

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面ACE；

(2)、求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值.

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11、在锐角 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边 $c = 2$ ，且 $a \cdot sin A - a \cdot sin B = c \cdot sin C - b \cdot sin B$ .

(1)、若 $sin C + sin (B - A) = sin 2 A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、记 $A B$ 边的中点为 $M$ ，求 $|C M|$ 的最大值，并说明理由.

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12、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{2 c - b}{a} = \frac{cos B}{cos A}$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求中线 $A D$ 长的范围（点 $D$ 是边 $B C$ 中点）.

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13、已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中．
（1）证明： $D_{1} A / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；
（2）求三棱锥 $B - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是等边三角形， $A A_{1} = A B$ ， D，E，F分别是棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $B C$ 的中点，则异面直线 $D F$ 与 $C_{1} E$ 所成角的余弦值是.

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15、已知向量 $\overset{⃑}{O C} = (2 ， 2)$ ， $\overset{⃑}{C A} = (\sqrt{2} cos α ， \sqrt{2} sin α)$ ，则向量 $\overset{⃑}{O A}$ 的模的最大值是.

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16、已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为 $20 π$ 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为．

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17、已知两个不相等的非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，两组向量 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 和 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， $y_{4}$ ， $y_{5}$ 均由2个 $\vec{a}$ 和3个 $\vec{b}$ 排列而成.记 $S = x_{1} \cdot y_{1} + x_{2} \cdot y_{2} + x_{3} \cdot y_{3} + x_{4} \cdot y_{4} + x_{5} \cdot y_{5}$ ， $S_{min}$ 表示 $S$ 所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题为（）

A、 $S$ 可能有5个不同的值 B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $S_{min}$ 与 $|\vec{a}|$ 无关 C、若 $|\vec{b}| > 4 |\vec{a}|$ ，则 $S_{min} > 0$ D、若 $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}|$ ， $S_{\min} = 8 {|\vec{a}|}^{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$

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18、关于直线 $m$ ， $n$ 与平面 $α$ ， $β$ ，以下四个命题中真命题是

A、若 $m / / α$ ， $n / / β$ 且 $α / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ 且 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n / / β$ 且 $α / / β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m / / α$ ， $n ⊥ β$ 且 $α ⊥ β$ ，则 $m / / n$

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19、已知 $a, b$ 表示两条直线， $α, β, γ$ 表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（）

A、若 $α \cap γ = a, β \cap γ = b$ ，且 $a / / b$ ，则 $α / / β$ B、若 $a, b$ 相交，且都在 $α, β$ 外， $a / / α, b / / α, a / / β, b / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $a / / α, b / / β$ ，且 $a / / b$ ，则 $α / / β$ D、若 $a \subset α, a / / β, α \cap β = b$ ，则 $a / / b$

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20、如图，某人用 $1.5 m$ 长的绳索，施力 $25 N$ ，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了 $6 m$ ，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为 $1.2 m$ ，则此人对该物体所做的功为（）

A、 $\sqrt{13} J$ B、 $30 \sqrt{13} J$ C、 $125 J$ D、 $150 J$

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