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相关试卷

1、设向量 $\vec{m} = (a, 1)$ ， $\vec{n} = (a + 2, - 3)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1或 $- 3$ D、 $- 1$ 或3

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2、已知函数 $y = f (x)$ ，若存在实数 $k$ 与 $d$ ，使得对任意实数 $x$ ， $f (x + 2) + k f (x + 1) + f (x) = d$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为“ $(k, d)$ 周期函数”.

(1)、求 $k$ ， $d$ 的值，使得 $f (x) = x^{2}$ 为“ $(k, d)$ 周期函数”；

(2)、若 $f (x)$ 为“ $(2, d)$ 周期函数”，证明： $f (x + 1) + f (x)$ 为周期函数；

(3)、已知 $f (x)$ 为“ $(2, 5)$ 周期函数”，记函数 $g_{n} (x) = e^{x - 2024} - f (n) \ln x (n \in N^{*})$ .若 $g_{n} (x)$ 在区间 $(0, 2024)$ 上单调递减，且 $f (1) = 1$ ， $f (2) = 2$ ，求 $n$ 的最小值.

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3、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a + c) \cdot \sin (B + C) = (b - c) \cdot (\sin B + \sin C)$ ， $b = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、点 $E$ 为边 $A C$ 的中点，若 $B E = \frac{1}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、如图所示，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，若 $∠ B A C = ∠ D A C = θ$ ，且 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，记 $△ B C D$ 的周长为 $f (θ)$ ，求 $f (θ)$ 的取值范围．

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4、现将近几日某地区门锁销售的数量进行统计，得到如下表格：
第x天
1
2
3
4
5
6
7
数量y
200
260
280
350
420
440
500

(1)、若y与x线性相关，求出y关于x的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测第10天该地区门锁的销售数量；（参考公式和数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}, \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 11200$ ）

(2)、某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打．记X为他有放回的进行开锁时的开锁次数，Y为他无放回的进行开锁时的开锁次数．求 $X < Y$ 的概率．

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5、设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (3, 0)$ ， $A (- 2, \sqrt{3})$ 为 $E$ 内一点，若 $E$ 上存在一点 $M$ ，使得 $|M A| + |M F| = 10$ ，则椭圆 $E$ 离心率的取值范围是．

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6、已知 $x^{9} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{9} {(x + 1)}^{9}$ ，则 $a_{2} =$ ．（用数字作答）

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7、 $\sin^{2} 1^{0} + \sin^{2} 2^{0} + \sin^{2} 3^{0} + \dots + \sin^{2} 90^{0} =$ .

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8、数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线 $E : x^{2} + {(y - |x|)}^{2} = 1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ ， $D$ 两点，点 $P$ 是 $E$ 上一个动点，则（）

A、点 $(1, 2)$ 在 $E$ 上 B、 $△ P A B$ 面积的最大值为1 C、曲线 $E$ 恰好经过4个整点（即横，纵坐标均为整数的点） D、 $|P C| + |P D| \leq 2 \sqrt{3}$

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9、把一边不光滑的一条纸（A，B）卷成小筒，得到的是（1～4）中的小筒，其中配对正确的是（）

A、A—4 B、A—2 C、B—3 D、B—1

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10、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |{log}_{2} x|, 0 < x < 4 \\ 4 sin (\frac{π}{6} x + \frac{π}{6}), 4 \leq x \leq 14 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m$ 有四个不等的实根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 \leq m \leq 2$ B、 $x_{1} x_{2} = 2$ C、 $x_{3} + x_{4} = 16$ D、 $x_{1} x_{3}$ 取值范围为 $(0, 5)$

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11、数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = \frac{1}{5}, a_{4} = \frac{1}{9}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，则使不等式 $S_{n} > \frac{5}{33}$ 成立的 $n$ 的最小值为（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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12、如图，在平面直角坐标系xOy中，O是正六边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{6}$ 的中心，若 $A_{1} (\frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{1}{4})$ ，则点 $A_{3}$ 的纵坐标为 $($ $)$

A、 $\frac{- \sqrt{15} + \sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5} - 1}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5} + 1}{8}$

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13、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{3 (\sin A - \sin B)}{\sin C} = \frac{3 c - 2 b}{a + b}$ ．

(1)、求 $\sin A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{16}{3} \sqrt{2}$ ．
①已知 $E$ 为 $B C$ 的中点，求 $△ A B C$ 底边 $B C$ 上中线 $A E$ 长的最小值；
②求内角A的角平分线 $A D$ 长的最大值．

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14、已知复数 $z_{1} = a + i$ ， $z_{2} = 1 - a i$ ，（ $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位）．

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $z_{1}$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的根，求实数 $a$ 的值；

(3)、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，且 $z_{1}^{2} + m z_{1} + n$ $(m, n \in R)$ 是实数，求实数 $m$ 的值．

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15、如图， $A B$ 是圆柱的底面直径， $A B = 2, P A$ 是圆柱的母线且 $P A = 2$ ，点 $C$ 是圆柱底面圆周上的点．

(1)、求圆柱的侧面积和体积；

(2)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(3)、若 $A C = 1, D$ 是 $P B$ 的中点，点 $E$ 在线段 $P A$ 上，求 $C E + E D$ 的最小值．

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16、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点都在表面积为 $100 π$ 的球 $O$ 的表面上，若 $A D$ 是球 $O$ 的直径，且 $B C = 4$ ， $∠ B A C = 150 °$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 体积的最大值为．

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17、“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 15^{\circ}$ ， $∠ B D C = 135^{\circ}$ ， $C D = 20 m$ ，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔高 $A B =$ $m$ ．

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18、已知复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z + 3 - 4 i|$ （ $i$ 为虚数单位）的最大值为．

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19、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，点 $A$ 折至 $A_{1}$ 处（ $A_{1} \notin$ 平面 $A B C D$ ），若 $M$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，平面 $A_{1} D E$ 与平面 $D E B C$ 所成锐二面角 $α$ ，直线 $A_{1} E$ 与平面 $D E B C$ 所成角为 $β$ ，则在 $△ A D E$ 折起过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得 $B M ⊥ A_{1} D$ B、 $△ A_{1} E C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sin α = \sqrt{2} \sin β$ D、三棱锥 $A_{1} - E D C$ 体积最大时，三棱锥 $A_{1} - E D C$ 的外接球的表面积 $16 π$

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20、三棱锥 $P - A B C$ 的侧棱 $P A, P B, P C$ 上分别有三点E，F，G，且 $\frac{P E}{E A} = 1, \frac{P F}{F B} = \frac{1}{2}, \frac{P G}{G C} = \frac{1}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 与 $P - E F G$ 的体积之比是（）

A、6 B、8 C、12 D、24

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