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相关试卷

1、若点（a，0） $(a > 0)$ 是函数 $y = 2 t a n (x - \frac{π}{3})$ 的图象的一个对称中心，则a的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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2、若双曲线C的虚轴长为实轴长的 $\sqrt{7}$ 倍，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3、设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1，3，5}，则 $∁_{u} A$ 中元素个数为（）

A、2 B、3 C、5 D、8

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4、（1+5i）i的虚部为（）

A、-1 B、0 C、1 D、6

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5、已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布 $N (100, 100)$ ，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（）（参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ)$ $= 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .）

A、平均分为100 B、及格率超过86% C、得分在 $(70, 130]$ 内的人数约为997 D、得分低于80的人数和优秀的人数大致相等

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6、已知 $C_{12}^{x + 2} = C_{12}^{2 x - 5}$ ，则 $x$ 可能取值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ 或 $7$ D、 $5$ 或 $7$

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = 2 a_{n + 1}$ ， $n = 1$ ， $2$ ， $3$ ， $\dots$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的值；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设 $T_{n} = a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2 n}$ ，求 $T_{n}$ 的表达式.

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8、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} A C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} C_{1} ⊥ A_{1} B$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $∠ C A B = \frac{π}{6}$

(1)、证明： $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、求 $B C_{1}$ 的长；

(3)、求平面 $A A_{1} B$ 与平面 $A_{1} B C$ 夹角的余弦值．

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $cos B = \frac{7}{9}$ ， $a = 4$ ，角 $B$ 的角平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $a \in R$

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq x$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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11、已知 $sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，且 $\frac{tan α}{tan β} = 3$ ，则 $cos (2 α + 2 β) =$ ．

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12、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x + 7$ ，直线 $l$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线，如果切线 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 有且只有一个公共点，那么这样的直线 $l$ 有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、3条

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13、如下图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $D$ 为 $A B$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $B C_{1} / / 平面 A_{1} C D$ ；
（Ⅱ）若四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形，且 $A_{1} D = \sqrt{5}$ ，求直线 $A_{1} D$ 与平面 $C B B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值.

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形.已知 $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $P A = 2$ ， $P D = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ P A B = 60 °$ .

(1)、证明 $A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求异面直线 $P C$ 与 $A D$ 所成的角的正切值；

(3)、求二面角 $P - B D - A$ 的正切值.

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15、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E$ 为边 $A B$ 的中点，点 $F$ 为边 $B C$ 的中点，将 $△ A E D, △ D C F, △ B E F$ 分别沿 $D E, D F, E F$ 折起，使 $A, B, C$ 三点重合于点 $P$ ，则三棱锥 $P - D E F$ 的外接球与内切球的表面积之比为．

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16、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E, F$ ，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A_{1} C ⊥ A F$ B、直线 $A E$ 与平面 $B E F$ 所成的角为定值 C、二面角 $A - E F - B$ 的大小为定值 D、三棱锥 $E - A B F$ 的体积为定值

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17、如图， $α ⊥ β ， α \cap β = l ， A \in α ， B \in β ， A ， B$ 到 $l$ 的距离分别是 $a$ 和 $b$ ， $A B$ 与 $α ， β$ 所成的角分别是 $θ$ 和 $φ$ ， $A B$ 在 $α ， β$ 内的射影长分别是 $m$ 和 $n$ ，若 $a > b$ ，则

A、 $θ > φ ， m > n$ B、 $θ > φ ， m < n$ C、 $θ < φ ， m < n$ D、 $θ < φ ， m > n$

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18、如图直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为8，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $△ A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则点A到平面 $A_{1} B C$ 的距离为（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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19、甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为 $p (\frac{1}{2} ＜ p ＜ 1),$ 乙胜的概率为q ， p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数 $k \geq 2,$ 记P_k为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，q_k为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率。

(1)、求P₃ ， P₄(用p表示)

(2)、若 $\frac{P_{4} - P_{3}}{q_{4} - q_{3}} = 4,$ 求p；

(3)、证明：对任意正整数m ， $p_{2 m + 1} - q_{2 m + 1} ＜ p_{2 m} - q_{2 m} ＜ p_{2 m + 2} - q_{2 m + 2}$

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20、已知函数 $f (x) = l n (1 + x) - x + \frac{1}{2} x^{2} - k x^{3},$ 其中 $0 ＜ k ＜ \frac{1}{3} 。$

(1)、证明：f(x)在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)、设x₁ ， x₂分别为f(x)在区间(0，+∞)的极值点和零点。
(i)设函数 $g (t) = f (x_{1} + t) - f (x_{1} - t),$
证明：g(t)在区间(0，x₁)单调递减；
(ii)比较2x₁与x₂的大小，并证明你的结论。

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