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相关试卷

1、如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为.

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2、过 $P (- 1, a)$ 、 $Q (a + 1, 4)$ 两点的直线的倾斜角为 $45 °$ ，那么实数 $a =$ .

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3、某地区采用分层抽样的方法，抽取一定数量的高中学生参加禁毒知识竞赛．若得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且该地区高一、高三学生数之比为 $2 : 3$ ，则样本容量为．

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4、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，P是 $A_{1} D$ 上的一个动点，下列结论正确的是（）

A、当点P在直线 $A_{1} D$ 上运动时，一定有 $C_{1} P ⊥ B D_{1}$ B、当点P在直线 $A_{1} D$ 上运动时，三棱锥 $B_{1} - A C P$ 的体积不变 C、 $P A + P C$ 的最小值为 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ D、以点B为球心， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 为半径的球面与平面 $A B_{1} C$ 的交线长为 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$

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5、若函数 $f (x) = 2 e^{x}$ 的图象与函数 $g (x) = \frac{1}{x} + 5$ 的图象交点的横坐标所在的区间为 $(k, k + 1)$ ，则 $k$ 的可能取值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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6、19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数 $n (n \in N^{*})$ 开头的数出现的概率 $P (n)$ 满足 $1 - P (n) = \lg \frac{10 n}{n + 1}$ ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若 $\sum_{n = 1}^{k} P (n) \leq \frac{\log_{2} 3 \times \log_{3} 5}{1 + \log_{2} 5} (k \in N^{*})$ ，则 $k$ 的最大值为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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7、如图，将菱形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折成直二面角， $E, F$ 分别为 $A D, B C$ 的中点， $O$ 是 $A C$ 的中点， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ，则折后二面角 $E - O F - A$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{11}}{11}$

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8、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ 为空间内三个不共面的向量，平面 $α$ 和平面 $β$ 的法向量分别为 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}} + 3 \vec{e_{3}}$ 和 $\vec{b} = - \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}} + μ \vec{e_{3}}$ ，若 $α / / β$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、5 B、 $- 5$ C、3 D、 $- 3$

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9、已知复数 $z$ 满足 $2 z + \bar{z} = 3 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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10、若 $f (x) = - 2 x^{2} - (2 k + 1) x + 3$ 在 $[- 1, 2]$ 上是单调函数，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $[- \frac{9}{2}, \frac{3}{2}]$ C、 $(- \infty, - \frac{9}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{9}{2}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$

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11、集合 $A = {x ∣ x < 1}, B = \{x ∣ x^{2} - 2 x < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 1}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 0}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 2}$

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12、射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}$ . 记事件 $A$ 为 “两人都击中”，事件 $B$ 为 “至少 1 人击中”，事件 $C$ 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与 $C$ 是互斥事件 B、事件 $B$ 与 $C$ 是对立事件 C、事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、 $P (A \cup B) = \frac{7}{8}$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - m x$ （ $e$ 为自然对数的底数），若 $f (x) > 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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14、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的准线为 $l$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，直线 $l^{'} : 4 x - 3 y + 11 = 0$ ，点 $P$ 到直线 $l^{'}$ 的距离与到直线 $l$ 的距离之和的最小值是.

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} - m x^{2}, x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 3$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递减 C、过点 $(1, - 2)$ 能作两条不同的直线与 $y = f (x)$ 相切 D、函数 $y = f [f (x)] + 2$ 有5个零点

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16、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |\frac{x - 5}{x - 2} < 0\}$ ， $B = \{x |a - 1 < x < a + 1, a \in R\}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $∁_{U} A$ ， $A \cap ∁_{U} B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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17、已知 $y = f (x)$ 为定义在 $(0, + \infty)$ 上为减函数，且 $f (a + 1) < f (1 - 4 a)$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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18、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 1\}$ ， $B = \{x |0 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x \leq 2\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ C、 $\{x |0 \leq x < 1\}$ D、 $\{x |0 \leq x \leq 2\}$

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19、已知函数 $f (x) = a ln x - x^{2}$ ， $g (x) = (a - 2) x$ ， $(a \in R)$ ．

(1)、当 $a < 0$ 时，求函数 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $f (x) + x^{2} - x \leq - 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的极值．

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20、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 2$ ，且当 $n$ 为奇数时， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ ；当 $n$ 为偶数时， $a_{n + 1} = 2 a_{n - 1}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ．

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