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1、下列命题正确的为（）
①若 $△ A B C$ 在平面 $α$ 外，它的三条边所在的直线分别交 $α$ 于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线 $l$ 于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
④已知a，b，c为三条直线，若 $a ⊥ c$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ∥ b$ .

A、①③ B、②③ C、②④ D、①②

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2、定义：若 $z^{2} = a + b i (a, b \in R)$ ，则称复数 $z$ 是复数 $a + b i$ 的平方根.根据定义，复数 $9 - 40 i$ 的平方根为（）

A、 $3 - 4 i$ ， $- 3 + 4 i$ B、 $4 + 3 i$ ， $4 - 3 i$ C、 $5 - 4 i$ ， $- 5 + 4 i$ D、 $4 - 5 i$ ， $- 4 + 5 i$

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3、若 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ， $\cos (α + β) = \frac{3}{5}$ ， $\sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{5}{13}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{36}{65}$

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4、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）

A、直线 $C C_{1}$ 与直线 $B_{1} E$ 是异面直线 B、直线 $C C_{1}$ 与直线AE是共面直线 C、直线AE与直线 $B_{1} C_{1}$ 是异面直线 D、直线AE与直线 $B B_{1}$ 是共面直线

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5、若复数 $z$ 满足 $z = 5 - \sqrt{3} i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} i$ D、 $- \sqrt{3} i$

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 3)$ 的离心率为 $\frac{2}{a}, A (- 4, 0), B (1, 0)$ ，过定点 $D (x_{0}, y_{0})$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点，直线 $l$ 的斜率不为0．

(1)、求 $C$ 的长轴长．

(2)、若 $x_{0} = 4, y_{0} = 0$ ，证明：直线 $B M, B N$ 的斜率之和为定值

(3)、若 $x_{0} = \frac{3}{2}, y_{0} = 2$ ，设直线 $A M, A N$ 分别交 $C$ 于 $P, Q$ （都异于 $M, N$ ）两点，且 $l$ 的斜率存在，证明直线 $P Q$ 过定点，并求出定点坐标．

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7、若数列 $\{X_{n} + Y_{n}\}$ 是等差数列，则称 $\{X_{n}\}$ 与 $\{Y_{n}\}$ 互为和等差数列．已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

(1)、若 $a_{n} = \{\begin{matrix} 2, n = 1, \\ 2 n - 2 + 2^{n - 1}, n \geq 2 \end{matrix}$ ， $b_{n} = - 2^{n} - n^{2} + 2$ ，试问 $\{S_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 是否互为和等差数列？说明你的理由．

(2)、设 $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $S_{n} = 2 a_{n} + n$ ，且 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 互为和等差数列．
①求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
②设 $c_{n} = a_{n}^{3} - b_{n}^{3}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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8、设函数 $f (x) = a x^{2} + ln (x + 1)$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{4}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性．

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9、年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会．

(1)、求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率；

(2)、记小钟的中奖金额为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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10、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，且 $A B ⊥ P D$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(2)、若 $P A ⊥ A D$ ， $A B = P A = 3$ ， $A D = 6$ ， $\vec{P D} = 3 \vec{E D}$ ，求直线 $C E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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11、如图，现有一个半球容器（有盖），其表面积为 $300 π$ 平方分米，忽略容器的厚度，若在该容器内放入两个半径均为 $r$ 分米的球，则 $r$ 的最大值为（结果精确到0.1）．

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12、已知 $a, b, c$ 为锐角三角形的三条边，则直线 $a x + b y + c = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的位置关系是．

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13、已知一组数据1，1，2，3，5，2，1的第60百分位数为 $m$ ，且随机变量 $X$ 的分布列为
$X$
0.5
$m$
$2 m$
$P$
0.4
0.3
0.3
则 $m =$ ， $E (X) =$ ．

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14、已知正 $n (n \geq 3)$ 棱锥的体积为 $16 \sqrt{3} π$ ，则其侧棱长可能为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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15、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3}), g (x) = 2 tan (x - \frac{π}{4}),$ 则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的最小正周期相等 B、当 $g (α) = f (\frac{π}{4})$ 时， $tan α = \frac{5}{3}$ C、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象在 $(0, π)$ 上有2个交点 D、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $(π, \frac{4 π}{3})$ 上的单调性相同

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16、已知曲线 $C : a x^{2} + b y^{2} = (b + 1) x + a y (a, b \in R)$ ，则（）

A、曲线 $C$ 不可能是一个圆 B、曲线 $C$ 可能为一条直线 C、当 $a = 0$ 且 $b (b + 1) \neq 0$ 时，曲线 $C$ 的准线方程为 $x = - \frac{b + 1}{4 b}$ D、当 $a \neq 0, b = 0$ 时，曲线 $C$ 关于直线 $x = - \frac{1}{2 a}$ 对称

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17、设 $max \{a, b, c, d\}$ 表示 $a, b, c, d$ 中最大的数，已知 $x, y$ 均为正数，则 $max \{4 x, y, \frac{1}{x}, \frac{9}{y}\}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为 $C$ 的右支上一点， $∠ P F_{1} F_{2} = 20 °, ∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{sin 40 °}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2 sin 40 °}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{cos 40 °}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2 cos 40 °}$

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19、已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数， $f (1) = f (4) = 0$ ，当 $0 < x < 2$ 时， $f (x)$ 单调递减，当 $x > 2$ 时， $f (x)$ 单调递增，则不等式 $\frac{f (x)}{x - 3} \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1]\cup [0, 3] \cup[4, + \infty)$ B、 $[- 4, - 1] \cup (0, 1] \cup (3, 4]$ C、 $(- \infty, - 4] \cup [- 1, 1] \cup (3, + \infty)$ D、 $[- 4, - 1] \cup [0, 1] \cup (3, 4]$

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20、若函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} + a$ 在 $[- 6, - 4]$ 上单调递减，则a的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{9}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{9}]$ C、 $[- \frac{1}{6}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{6}]$

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$X$	0.5	$m$	$2 m$
$P$	0.4	0.3	0.3