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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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2、复数 $\frac{2 + i}{1 + 3 i}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为 $110$ 米，最高点距离地面 $120$ 米，相当于 $40$ 层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了 $48$ 个透明座舱，每个座舱最多可坐 $8$ 人，整个摩天轮可同时供 $380$ 余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要 $30$ 分钟.
（1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问 $5$ 分钟后他距离地面的高度是多少？
（2）若甲乙两游客分别坐在 $A$ ， $B$ 两个座舱里，且他们之间间隔 $15$ 个座舱，求 $A$ ， $B$ 两个座舱的直线距离；
（3）若游客在距离地面至少 $92.5$ 米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, x)$ ， $\vec{c} = (2, y)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ .

(1)、求 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ ；

(2)、若 $\vec{m} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角的大小.

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5、已知 $sin α = - \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 在第三象限.

(1)、求 $cos α$ 和 $tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 sin (π + α) - cos (π - α)}{sin (α + \frac{π}{2}) + cos (α - \frac{π}{2})}$ 的值.

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6、函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则 $sin (x_{1} + x_{2}) =$ .

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7、两座灯塔 $A$ 和 $B$ 与海洋观察站 $C$ 的距离分别为 $5 km$ ， $8 km$ ，灯塔 $A$ 在观察站 $C$ 的北偏东 $65 °$ 方向上，灯塔 $B$ 在观察站 $C$ 的南偏东 $55 °$ 方向上，则灯塔 $A$ 与 $B$ 的距离为km.

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8、已知复数 $z$ 满足 $z + 10 i = \bar{z}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为.

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9、函数 $f (x) = |cos x| - sin (sin x)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ C、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = t$ （ $t$ 为常数）在区间 $[0, \frac{3 π}{2}]$ 上不可能存在3个交点 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上单调递增

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10、下列说法正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $b = 2$ ， $A = 30^{\circ}$ ，且该三角形有两解，则 $a$ 的取值范围为 $(1, 2)$ C、若向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为 $(4, 2)$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $a cos A = b cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形

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11、在复平面内，下列说法正确的是（）

A、若复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ，则 $z$ 为纯虚数的充要条件是 $a = 0$ B、若复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z^{50} = - 1$ C、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ D、若复数 $z$ 满足 $|z| = 10$ ，则复数 $z$ 对应点的集合是以原点 $O$ 为圆心，以10为半径的圆

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12、函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上存在零点，且在 $(\frac{2 π}{3}, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{7}{4}, \frac{13}{6}]$ B、 $(2, \frac{13}{6}]$ C、 $[2, \frac{13}{6}]$ D、 $[\frac{7}{4}, 2)$

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13、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若向量 $\vec{p} = (a + c, b - a)$ ， $\vec{q} = (a - c, b)$ ，且 $\vec{p} ⊥ \vec{q}$ ， $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为（）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、12

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14、将函数 $y = sin x$ 图象上每个点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得图象的函数解析式为（）

A、 $y = sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$

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15、已知角 $θ$ 的终边过点 $(1, - 1)$ ，则 $sin (\frac{π}{2} + θ) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、平面直角坐标系中，已知点 $A (2, 6)$ ， $B (8, - 2)$ ，则与 $\vec{A B}$ 同方向的单位向量 $\vec{e}$ 是（）

A、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

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17、已知 $i$ 为虚数单位，则 $\frac{3 + i}{1 + i} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $- 2 + i$

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18、已知函数 $f (x) = ln x + \frac{a}{x} - a$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有极小值，且 $f (x)$ 的极小值小于 $1 - a^{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、类比高中函数的定义，引入虚数单位 $i$ ，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数 $f (x) = {(x - i)}^{n} + \frac{1}{{(x - i)}^{n}}$ ， $x \in C$ 且 $x \neq i$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、当 $n = 1$ 时，解关于 $x$ 的方程： $f (x + i) = 1$ .

(2)、当 $n = 2$ 时，①若 $|x - i| = 1$ ，求 $f (x)$ 的最小值.
②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数 $x$ 和实数 $M$ ，使得 $f (x - 5 - 11 i) \geq M$ 恒成立，求 $|x|$ 的取值范围.

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20、已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c (2 + \cos B) = \sqrt{3} b \sin C$ ，且 $A B = 3$ ， $B C = 1$ ， $B E$ 是 $∠ A B C$ 角平分线， $B E$ 交 $A C$ 于 $E$ .

(1)、求 $B E$ 的长.

(2)、延长 $B E$ 至点 $D$ ，使得 $B E = D E$ ，求 $\cos ∠ C A D$ .

(3)、若 $P$ 是 $∠ A B C$ 角平分线 $B E$ 所在直线上一点，且满足 $\vec{P B} = m \vec{P A} + n \vec{P C}$ （ $m$ ， $n \in R$ ），若 $1 \leq n \leq 2$ ，求 $|\vec{P B}|$ 取值范围.

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