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相关试卷

1、在平面四边形 $A B C D$ 中， $B C ⊥ C D, A C = \sqrt{3}, A D = 1, ∠ A C D = 30 °$ .

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $B C$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, x \leq 0, \\ a x^{2} - b x, x > 0 \end{array}$ 为奇函数，则 $2 a + b$ 等于．

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3、若不等式 $k x + b \geq ln x$ 恒成立，则 $\frac{b}{k}$ 的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $[- e, + \infty)$

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4、如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥 $D_{1} - A B C M$ (如图2)，使得平面 $A M D_{1} ⊥$ 平面ABCM.
（1）求证： $A D_{1} ⊥ B M$ ；
（2）若点E是线段 $D_{1} B$ 上的一动点，当点E在何位置时，二面角 $E - A M - D_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{17}}{17} .$

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5、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $M (2, 3, - 1)$ 关于平面 $y O z$ 对称的点的坐标是（）

A、 $(2, 3, 1)$ B、 $(2, - 3, - 1)$ C、 $(- 2, 3, - 1)$ D、 $(2, - 3, 1)$

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6、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，右焦点 $F (1, 0)$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设直线 $l : y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆E交于P，A两点，过点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作 $P C ⊥ x$ 轴，垂足为点C，直线 $A C$ 交椭圆E于另一点B．
（i）证明： $A P ⊥ B P$ ．
（ⅱ）求 $△ A B P$ 面积的最大值．

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7、某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为 $\frac{1}{4}$ ，第二天改开私家车的概率为 $\frac{3}{4}$ ；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为 $\frac{1}{2}$ ，第二天改坐班车的概率为 $\frac{1}{2}$ .若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，该工厂某员工第 $n$ 天坐班车的概率为 $P_{n}$ .

(1)、设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、求 $P_{n}$ ；

(3)、为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由.

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8、已知函数 $f (x) = ln x + \frac{a}{x + 1}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对任意 $x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) \leq \frac{x + 1}{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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9、 $DeepSeek$ 是由中国杭州的 $DeepSeek$ 公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高 $DeepSeek$ 的应用能力，某公司组织全体员工参加 $DeepSeek$ 培训．培训结束之后，公司举行了一次 $DeepSeek$ 专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．

(1)、若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；

(2)、已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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10、一只蚂蚁从正四面体 $A - B C D$ 的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为．

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11、已知直线 $y = x + 1$ 与曲线 $y = \ln x + α$ 相切，则 $α =$ ．

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12、 $\sin 50 ° \cos 10 ° - \cos 50 ° \cos 100 ° =$ ．

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13、在一个不透明的盒子中装有材质、大小完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n．每次从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，记总的摸球次数为 $X_{n}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $P (X_{2} = 3) = \frac{1}{4}$ B、 $P (X_{2} = 2) < P (X_{3} = 3)$ C、 $P (X_{3} = k) > P (X_{3} = k + 1)$ ，其中 $k > 3$ D、 $E (X_{2}) = 3$

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14、关于 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{6}$ 的二项展开式，下列说法正确的是（）

A、展开式在合并同类项之后共有7项 B、展开式中常数项为15 C、展开式的系数之和为1 D、展开式的最后一项的系数最大

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15、已知函数 $f (x) = (x + a - 1) e^{x} + \frac{b}{2} x^{2} + a b x - a b$ 在R上单调递增，则 $a b$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $- 1$ D、1

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16、已知F是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，直线 $4 x - 3 y = 0$ 与C交于P，Q两点，若以 $P Q$ 为直径的圆经过点F，则C的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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17、“端午节”是我国四大传统节日之一，吃粽子、赛龙舟、挂艾草等均是端午节的习俗．今年端午节，兄妹两人一起去超市购买粽子，若他们分别从“鲜肉粽、腊肉粽、蛋黄粽、原味粽、赤豆粽、八宝粽”六种粽子里各自挑选三种并各购买一个，则购买的6个粽子中至多有一种相同的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{20}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{7}{20}$

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18、用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（）个

A、8 B、10 C、12 D、16

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19、我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很好的营销局面，下表为该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计．
科研经费 $x_{1}$ （单位：百亿元）
2
4
6
12
16
市场规模 $y_{1}$ （单位：百万辆）
1
1.5
2
3
3.5
如此得到y关于x的经验回归方程： $y = 0.18 x + \hat{a}$ ，估计当该品牌新能源汽车的科研经费投入20（百亿元）时，全球市场规模将达到（）百万辆．

A、4 B、4.14 C、4.36 D、4.58

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20、某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布 $N (75, σ^{2})$ ．若 $P (60 \leq X \leq 90) = \frac{2}{3}$ ，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{12}$

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科研经费 $x_{1}$ （单位：百亿元）	2	4	6	12	16
市场规模 $y_{1}$ （单位：百万辆）	1	1.5	2	3	3.5