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相关试卷

1、如图， $E, F$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $C D$ 和 $B C$ 上的动点，且 $A B = 2, A D = 1$ .
（1）若 $E, F$ 都是中点，求 $\vec{E F} \cdot \vec{A C}$ .
（2）若 $E, F$ 都是中点， $N$ 是线段 $E F$ 上的任意一点，求 $\vec{A N} \cdot \vec{N B}$ 的最大值.
（3）若 $∠ E A F = 45 °$ ，求 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值.

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2、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 $\frac{π}{2}$ ，且 $f (0) = \sqrt{2}$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求不等式 $g (x) > 1$ 的解集；

(3)、设函数 $h (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x - 1}} - 1$ ，若对任意的 $x_{1} \in [\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ ， $x_{2} \in [0, + \infty)$ ，都有 $g (x_{1}) <$ $h (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围．

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} - \vec{b})$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $|t \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{17}$ ，求 $t$ 的值．

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4、已知函数 $f (x) = 3 cos (ω x + \frac{π}{3}) + 1 (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是．

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5、某数学兴趣小组成员为测量 $A$ ， $B$ 两地之间的距离，测得 $B$ 在 $C$ 的北偏东 $30^{\circ}$ 方向上， $A$ 在 $C$ 的北偏西 $30^{\circ}$ 方向上， $A$ 在 $D$ 的北偏东 $15^{\circ}$ 方向上， $B$ 在 $D$ 的北偏东 $75^{\circ}$ 方向上， $C$ 在 $D$ 的正东方向上，且 $C$ ， $D$ 相距20千米，则 $A$ ， $B$ 两地之间的距离是千米.

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6、函数 $f (x) = 5 tan (2 x + \frac{π}{4})$ 图象的对称中心的坐标是．

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7、已知角 $α$ 的终边经过点 $A (- 3, 4)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $sin (α - π) = \frac{4}{5}$ B、 $sin (α + \frac{π}{2}) = - \frac{3}{5}$ C、 $sin 2 α = - \frac{24}{25}$ D、 $cos 2 α = \frac{7}{25}$

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8、如图，在同一个平面内，向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 满足 $|\vec{O A} |= 2| \vec{O B}| > 0$ ，向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O C}$ 的夹角为 $α$ ，向量 $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 的夹角为 $β$ ，且 $2 sin α = 3 sin β$ .若 $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B} (m, n \in R)$ ，则 $\frac{n}{m} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $3$

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9、已知函数 $f (x) = 4 sin x cos (x + \frac{π}{3}) + \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x - \frac{π}{3})$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}]$ 上单调递减 C、 $f (x) + f (\frac{π}{3} - x) = 0$ D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{7 π}{12}$ 对称

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $b + c = \frac{4}{3} a$ ， $\cos B = \frac{1}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、不确定的

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11、已知 $tan α = - 5 tan β$ ，则“ $sin (α - β) = \frac{1}{2}$ ”是“ $sin (α + β) = \frac{1}{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知 $a - i (a \in R)$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + 5 = 0 (m \in R)$ 的一个根，则 $m =$ （）

A、4 B、 $\pm 4$ C、2 D、 $\pm 2$

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13、已知扇形 $A O B$ 的周长为12，面积为9，则扇形 $A O B$ 的圆心角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、2 C、 $\frac{2 π}{3}$ D、3

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14、已知一组数据1，2，0， $- 1$ ， x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为.

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15、已知复数 $z_{1} = 1 + m i$ ， $z_{2} = (m^{2} - 6 m + 7) - 2 i$ （ $m \in R$ ， $i$ 为虚数单位）．

(1)、若 $z = z_{1} + z_{2}$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $ω = \frac{z_{1}}{1 + i}$ 在复平面内所对应的点位于第四象限，求 $m$ 的取值范围．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中每一项 $a_{i} \in \{0, 1\}$ （其中 $i = 1, 2, \dots, m$ ， $m \in N^{*}$ ）构成 $m$ 数组 $A =$ $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m})$ .定义运算 $S$ 如下： $S (A) = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots, b_{2 m - 1}, b_{2 m})$ ，其中当 $a_{i} = 0$ 时， $b_{2 i - 1} = 1$ ， $b_{2 i} = 0$ ；当 $a_{i} = 1$ 时， $b_{2 i - 1} = 0$ ， $b_{2 i} = 1 (i = 1, 2, \dots, m)$ ；用 $S^{n} (A)$ 表示 $n$ 层嵌套运算 $S (S (\dots S (A) \dots))$ ， $n \in N^{*}$ .现取 $A = (0, 1)$ ，记 $S^{n} (A)$ 中相邻两项组成的数对 $(a_{i}, a_{i + 1})$ 满足 $a_{i} = a_{i + 1} = 1$ 的数对个数为 $B_{n}$ .

(1)、写出 $S (A)$ ， $S^{2} (A)$ ，以及 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ；

(2)、证明：数列 $\{B_{n + 2} - B_{n}\}$ 是等比数列；

(3)、若 $C_{n} = 3 (B_{n} + \frac{1}{2})$ ，证明：对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} + \frac{1}{C_{4}} + \dots + \frac{1}{C_{n}} < \frac{7}{6}$ .

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17、一个质点在数轴上从原点开始运动，每次运动的结果可能是原地不动，也可能是向左或向右运动一个单位.记质点原地不动的概率为 $p$ ，向右运动的概率为 $q$ ，向左运动的概率为 $1 - p - q$ ，其中 $p \in [0, 1)$ ， $q \in (0, 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{1}{6}$ ， $q = \frac{1}{2}$ ，求质点运动3次后停在原点右侧的概率；

(2)、若 $p = 0$ .
①规定质点只要运动到原点左侧就立即停止运动，求质点运动5次后停在原点右侧的概率；
②设计游戏规则如下：第一轮游戏，质点从原点开始运动，设置质点向右运动的概率 $q = x$ ，若质点运动3次后停在原点右侧，则进入第二轮游戏，否则游戏结束；第二轮游戏，质点重新从原点开始运动，重新设置质点向右运动的概率 $q = a - x$ $(0 < a < 2)$ ，运动3次后，若质点停在原点右侧，则以质点停留位置对应数轴上的数值作为两轮游戏的最终得分，若质点停在原点左侧或原点处，则两轮游戏的最终得分为0分（规定游戏一轮结束的得分也是0分）.记两轮游戏最终得分的期望 $E (X) = f (x)$ ，若 $f (x)$ 存在极大值点，求 $a$ 的取值范围.

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18、已知A，B，C是椭圆 $W : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上三个不同的点， $O$ 是坐标原点.

(1)、若 $A$ ， $C$ 是 $W$ 的左、右顶点，求 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围；

(2)、若点 $B$ 在第一象限，是否存在四边形 $O A B C$ 满足 $O B$ 是该四边形的对称轴，若存在，请写出A，C的坐标，若不存在，请说明理由.

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19、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{cos B} = 8$ .

(1)、求 $a c$ ；

(2)、若 $b = 2 a cos A cos 2 C + 2 c cos C cos 2 A$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20、在平面直角坐标系中，两点 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 的“曼哈顿距离”定义为 $||P Q|| =$ $|x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ .例如点 $P (1, 2), Q (- 2, - 1)$ 的“曼哈顿距离”为 $||P Q|| =$ $|1 - (- 2)| + |2 - (- 1)| = 6$ .已知点 $M$ 在直线 $y = e x + 1$ 上，点 $N$ 在函数 $y = ln x$ 的图象上，则 $|M N|$ 的最小值为， $||M N||$ 的最小值为.

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