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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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2、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = |\sqrt{3} + i|$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、集合 $M = {x | - 3 \leq x \leq 2}$ ， $N = {x | l n x \leq 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $[- 3, e]$ C、 $(- \infty, - 3]$ D、 $(0, e]$

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ， $f (1) = 1$ ．

(1)、若 $f (x) = A cos ω x (0 < ω < π)$ ，求A与 $ω$ ；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 是偶函数；

(3)、证明函数 $f (x)$ 是周期函数；

(4)、若 $f (x)$ 的周期为T，在 $[0, \frac{T}{2}]$ 上是减函数，记 $f (x)$ 的正的零点从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $\dots$ ，证明 $f (x)$ 在区间 $[0, 2024 T]$ 上有4048个零点，且 $x_{2} - x_{1} = x_{3} - x_{2} = \dots = x_{4048} - x_{4047}$ ．

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5、如图，已知 $A B$ 为圆O的直径，D为线段 $A B$ 上一点，且 $A D = \frac{1}{3} D B = 1$ ， $C$ 为圆O上一点，且 $B C = \sqrt{3} A C$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P D = D B$ ．

(1)、求 $C D$ ；

(2)、求证： $P A ⊥ C D$ ；

(3)、求三棱锥 $B - P O C$ 的体积．

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6、已知函数 $f (x) = - x^{2} - 2 a x - a$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，且 $a + e^{x} + \ln (x + 1) \geq 0$ 对任意的 $x \geq 0$ 恒成立，则a的取值范围是．

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7、已知函数 $f (x) = \lg (\frac{2}{x - 1} + a)$ ， $a \in R$ ．
(1)若函数 $f (x)$ 是奇函数，求实数 $a$ 的值；
(2)在(1)的条件下，判断函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = \lg 2^{x}$ 的图象公共点个数，并说明理由；
(3)当 $x \in [1, 2)$ 时，函数 $y = f (2^{x})$ 的图象始终在函数 $y = \lg (4 - 2^{x})$ 的图象上方，求实数 $a$ 的取值范围．

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8、如图，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B // C D$ ， $A B = 2 C D = 6 \sqrt{2}$ ， $\tan A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\cos ∠ A D B = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $\cos ∠ B D C$ 的值；

(2)、求 $B C$ 的长．

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9、如图，直角三角形 $P Q R$ 的三个顶点分别在等边三角形 $A B C$ 的边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 上，且 $P Q = 2 \sqrt{3}$ ， $Q R = 2$ ， $∠ P Q R = \frac{π}{2}$ ，则 $A B$ 长度的最大值为

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10、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = |\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}| = 1$ ，则 $|\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}| =$ .

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11、四边形ABCD是复平面内的平行四边形， $A, B, C$ 三点对应的复数分别是 $1 + 3 i$ ， $2 - i$ ， $- 3 + i$ ，则点D对应的复数为．

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12、给出以下命题正确命题的选项为（）

A、要得到 $y = \cos 2 x$ 的图象，只需将 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 图象沿 $x$ 轴方向向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、函数 $y = \sin (x + \frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{6} - x)$ 的最大值为2 C、定义运算 $\otimes : a \otimes b = \{\begin{array}{l} a, a \leq b \\ b, a > b \end{array}$ ，则 $f (x) = \sin x$ 且 $g (x) = \cos x (x \in R)$ ，设 $F (x) = f (x) \otimes g (x)$ ，则 $F (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ D、函数 $f (x) = - 4 \sin^{2} x + 4 \cos x + 1 - a$ ，当 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ 等时 $f (x) = 0$ 恒有解，则 $a$ 的范围是 $[- 4, 5]$

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13、下列说法中正确的有（）

A、设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为 $\sqrt{5}$ ，那么它的体积为 $\sqrt{3}$ B、用斜二测法作△ABC的水平放置直观图得到边长为a的正三角形，则△ABC面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4} a^{2}$ C、三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分 D、已知四点不共面，则其中任意三点不共线．

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14、 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (2 + x)$ ，且当 $x \in [- 2, 0]$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ .若在区间 $(- 2, 6]$ 内关于x的方程 $f (x) - \log_{a} (x + 2) = 0 (a > 1)$ 至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[\sqrt[3]{4}, 2)$ D、 $(1, \sqrt[3]{4})$

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15、已知平行四边形 $A B C D$ 中， $|\vec{A B}| = 8$ ， $|\vec{A D}| = 4$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ ．若点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{M B}$ ，点 $N$ 为 $A B$ 中点，则 $\vec{D M} \cdot (\vec{D A} + \vec{D N}) =$ （）

A、 $6$ B、 $12$ C、 $24$ D、 $30$

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16、已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（）

A、 $64 \sqrt{6} π$ B、 $32 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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17、 $2018$ 年 $9$ 月 $24$ 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国 $89$ 岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在 $1859$ 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字 $x$ 的素数个数大约可以表示为 $π (x) \approx \frac{x}{\ln x}$ 的结论.若根据欧拉得出的结论，估计 $10000$ 以内的素数个数为（）（素数即质数， $\lg e \approx 0.43$ ，计算结果取整数）

A、 $1079$ B、 $1075$ C、 $434$ D、 $2500$

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18、在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是（）

A、 $\frac{9 π}{2}$ B、 $\frac{7 π}{2}$ C、 $\frac{5 π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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19、i是虚数单位，若复数 $z = \frac{i^{6} + 2 i}{1 + i}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）．

A、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$

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20、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - k x^{2}$ ， $k \in R$ .若点 $A$ 在函数 $y = f (x)$ 的图像上，且经过点 $A$ 的切线与函数 $y = f (x)$ 图像的另一个交点为点 $B$ ，则称点 $B$ 为点 $A$ 的一个“上位点”，现有函数 $y = f (x)$ 图像上的点列 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， …， $M_{n}$ ， …，使得对任意正整数 $n$ ，点 $M_{n}$ 都是点 $M_{n + 1}$ 的一个“上位点”.

(1)、若 $k = 0$ ，请判断原点 $O$ 是否存在“上位点”，并说明理由；

(2)、若点 $M_{1}$ 的坐标为 $(3 k, 0)$ ，请分别求出点 $M_{2}$ 、 $M_{3}$ 的坐标；

(3)、若 $M_{1}$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，记点 $M_{n}$ 到直线 $y = m$ 的距离为 $d_{n}$ .问是否存在实数 $m$ 和正整数 $T$ ，使得无穷数列 $d_{T}$ 、 $d_{T + 1}$ 、…、 $d_{T + n}$ …严格减？若存在，求出实数 $m$ 的所有可能值；若不存在，请说明理由.

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