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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a (e^{x - 1} + e^{- x + 1})$ 有唯一零点，则 $a =$

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2、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，设平面 $A B_{1} C_{1} \cap$ 平面 $A B C = l$ ，点 $E, F$ 分别在直线 $l$ 和直线 $B B_{1}$ 上，且满足 $E F ⊥ l, E F ⊥ B B_{1}$ .

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、若直线 $E F$ 和平面 $A B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求该三棱台的体积.

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3、已知四面体 $A B C D$ 各顶点都在半径为3的球面上，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ，直线 $A D$ 与 $B C$ 所成的角为 $90 °$ ，则该四面体体积的最大值为.

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4、过双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的一个焦点作倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是.

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5、对于各数位均不为 $0$ 的三位数 $\bar{a b c}$ ，若两位数 $\bar{a b}$ 和 $\bar{b c}$ 均为完全平方数，则称 $\bar{a b c}$ 具有“ $S$ 性质”，则具有“ $S$ 性质”的三位数的个数为．

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6、设 $a > 1$ ， n为大于1的正整数，函数的定义域为R ， $f (x) - f (y) = a^{y} f (x - y)$ ， $f (1) \neq 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 是增函数 D、 $\frac{f (n + 1)}{f (1)} > a^{n} + n$

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7、连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X，掷出点数之和为Y，则（）

A、事件“X为奇数”发生的概率 $\frac{1}{8}$ B、事件“ $Y < 17$ ”发生的概率为 $\frac{53}{54}$ C、事件“ $X = 2$ ”和事件“ $Y = 4$ ”相等 D、事件“ $X = 4$ ”和事件“Y＝6”独立

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8、已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 2)$ ， $C (2, - 1)$ ， $△ A B C$ 的外接圆为 $⊙ M$ ，则（）

A、点 $M$ 的坐标为 $(1, - 1)$ B、 $⊙ M$ 的面积是 $5 π$ C、点 $(4, 3)$ 在 $⊙ M$ 外 D、直线 $y = 2 x - 3$ 与 $⊙ M$ 相切

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9、设 $A, B, C$ 三点在棱长为2的正方体的表面上，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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10、某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示， $A$ 点、 $B$ 点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为 $20 m$ ．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成 $43^{\circ} ~ 48^{\circ}$ 的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则 $A$ 、 $B$ 两点在水平方向的距离约为（）

A、 $13 m$ B、 $19 m$ C、 $23 m$ D、 $29 m$

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11、函数 $f (x) = \cos (\frac{π}{4} + x) \sin x$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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12、冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型 $W (t) = 2^{r t}$ 来描述累计感染甲型流感病毒的人数 $W (t)$ 随时间t， $t \in Z$ （单位：天）的变化规律，其中指数增长率 $r$ 与基本再生数 $R_{0}$ 和世代间隔T之间的关系近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ ，根据已有数据估计出 $R_{0} = 4$ 时， $T = 12$ ．据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至 $W (0)$ 的3倍至少需要（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ）（）

A、6天 B、7天 C、8天 D、9天

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13、集合 $P = \{x| x < 2\}$ ， $Q = \{y| y = {(\frac{1}{2})}^{x}\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(0, 2)$ D、 $\emptyset$

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的其中一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，一条渐近线方程为 $2 x - y = 0$
（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；
（2）已知倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点的纵坐标为4，求直线 $l$ 的方程.

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15、如图，圆锥 $P O$ 的底面直径和高均是 $a$ ，过 $P O$ 的中点 $O^{'}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．

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16、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $l_{1} : x - y - 3 = 0$ 上且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $M (2, 0)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l_{2} : x + 2 y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求 $△ A B C$ 的面积.

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17、如图所示，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为1，则四棱锥 $A - B_{1} B C C_{1}$ 的体积为．

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18、已知直线 $l ： x + 2 y = 0$ 与直线 $m ： a x + 4 y + a = 0$ 平行，则 $l$ 与 $m$ 之间的距离为

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19、已知双曲线的方程是 $16 x^{2} - 9 y^{2} = - 144$ ，则该双曲线的渐近线方程为.

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20、已知一个正方体的外接球的体积为 $36 π$ ，则正方体的体积为.

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