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相关试卷

1、已知 $|\vec{a}| = 4, |\vec{b}| = 3$ ，在下列条件下求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(1)、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行时；

(2)、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ﹔

(3)、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直时．

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2、已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m - 3) i$ ， $m \in R$ （i为虚数单位）．

(1)、当 $m = 2$ 时，求复数 $z \bar{z}$ 的值；

(2)、若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．

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3、已知 $A (- 2, 4), B (1, 3), C (m, n)$ ，若 $A, B, C$ 三点共线，则 $m, n$ 的关系式为.

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4、若 $tan α = - 2$ ，则 $tan 2 α =$ ， $tan (2 α + \frac{π}{4}) =$

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5、复数 $3 i - 1$ 的共轭复数是．

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6、下列函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \tan x$ B、 $y = | \sin x |$ C、 $y = \cos^{2} x$ D、 $y = - \sin x \cos x$

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7、(多选)下列命题的判断正确的是（）

A、若向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 共线，则A，B，C，D四点在一条直线上 B、若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 共线 C、若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 不共线 D、若向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B C}$ 共线，则A，B，C三点在一条直线上

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8、关于复数，给出下列命题正确的是（）

A、 $3 > 3 i$ B、 $16 > {(4 i)}^{2}$ C、 $2 + i > 1 + i$ D、 $|2 + 3 i| > |2 + i|$ .

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9、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量， $|2 \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、在 $△ A B C$ 中， $A = 120 °, C = 15 °, A C = \sqrt{6}$ ，则 $B C =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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11、 $\cos 163 ° \cos 223 ° + \cos 253 ° \cos 313 °$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、八卦是中国文化中的哲学概念，图 $1$ 是八卦模型图，其平面图形记为图 $2$ 中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $O A = 1$ ，给出下列结论：
① $\vec{B F} - \vec{H F} + \vec{H D} = \vec{0}$ ；       ② $\vec{O A} + \vec{O C} = - \sqrt{2} \vec{O F}$ ；
③ $\vec{A E} + \vec{F C} - \vec{G E} = \vec{A B}$ ；       ④ $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} + \vec{O G} + \vec{O H} = \vec{0}$ .
其中正确的结论为（       ）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③

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13、已知是 $i$ 虚数单位，则复数 $\frac{1 + 2 i}{1 + i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (m, 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、6 D、 $- 6$

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15、如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ．
（1）证明： $A_{1} C$ $⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；
（2）若 $D$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，在棱 $A B$ 上是否存在一点 $E$ ，使DE∥平面 $A B_{1} C_{1}$ ？证明你的结论．

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16、如图：在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A B = 2$ ， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求三棱锥 $M - A B C$ 的体积；

(2)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A M C$ ；

(3)、若 $N$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求证：平面 $A M C / /$ 平面 $B N D_{1}$ .

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17、如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 $B$ 与小岛 $A$ 、小岛 $C$ 相距都为5公里，与小岛 $D$ 相距为 $3 \sqrt{5}$ 公里．已知角 $A$ 为钝角，且 $\sin A = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求小岛 $A$ 与小岛 $D$ 之间的距离；

(2)、记 $∠ C D B$ 为 $α$ ， $∠ C B D$ 为 $β$ ，求 $\sin (2 α + β)$ 的值．

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18、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ P A C$ 是等腰直角三角形， $P A = 6$ ， $A B ⊥ B C$ ， $C H ⊥ P B$ ，垂足为H，D为 $P A$ 的中点，则当 $△ C D H$ 的面积最大时， $C B =$ .

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19、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，则 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角大小为.

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20、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点E在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）

A、 $F M // A_{1} C_{1}$ B、 $B M ⊥$ 平面 $C C_{1} F$ C、存在点E，使得平面 $B E F //$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ D、三棱锥 $B - C E F$ 的体积为定值

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