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相关试卷

1、如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为 $2$ ， $P$ 、 $Q$ 为正八边形内的点（含边界）， $\vec{P Q}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $λ \vec{A B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A G} = - 2 \sqrt{2}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A E} = 4$ C、 $λ$ 的最大值为 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{A P} \in [- 2 \sqrt{2}, 4 + 2 \sqrt{2}]$

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2、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ ，若把函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{12}]$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ 上有3个零点

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A = 60 °$ ， $b = 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C} =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{26 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{29}}{2}$

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4、已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{16 \sqrt{5} π}{3}$ C、 $\frac{20 \sqrt{5} π}{3}$ D、 $\frac{20 π}{3}$

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $cos B = 1 - \frac{b^{2}}{2 a c}$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

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6、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若 $A^{'} C^{'} = 2 cm$ ，且 $S_{△ A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{\sqrt{3}}{2} {cm}^{2}$ ，则原图形中 $A C$ 边上的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} cm$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2} cm$ C、 $\sqrt{3} cm$ D、 $\sqrt{6} cm$

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7、 $sin 20^{\circ} cos 40^{\circ} + cos 20^{\circ} cos 50^{\circ}$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 3 λ)$ ， $\vec{b} = (2 + λ, - 3)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 3$

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9、“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了 $800$ 名学生进行调查，得到了这 $800$ 名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、为进一步了解这 $800$ 名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在 $(12, 14]$ ， $(14, 16]$ ， $(16, 18]$ 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 $10$ 人，现从这 $10$ 人中随机抽取 $3$ 人，记周平均阅读时间在 $(14, 16]$ 内的学生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取 $20$ 名学生，用 $P (k)$ 表示这 $20$ 名学生中恰有 $k$ 名学生周平均阅读时间在 $(8, 12]$ 内的概率，其中 $k = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 20$ ．当 $P (k)$ 最大时，写出 $k$ 的值．

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10、对于非空实数集合 $A$ ，记 $A^{*} = {y | \forall x \in A, y \leq x}$ ，设非空实数集合 $P$ 满足条件“若 $x < 1$ ，则 $x \notin P$ ”且 $M \subseteq P$ ，给出下列命题：
①若全集为实数集 $R$ ，对于任意非空实数集合 $A$ ，必有 $∁_{R} A = A^{*}$ ；
②对于任意给定符合题设条件的集合 $M$ ， $P$ ，必有 $P^{*} \subseteq M^{*}$ ；
③存在符合题设条件的集合 $M$ ， $P$ ，使得 $M^{*} \cap P =$ $\emptyset$ ；
④存在符合题设条件的集合 $M$ ， $P$ ，使得 $M \cap P^{*} \neq \emptyset$ ．
其中所有正确命题的序号是．

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11、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x, & x \geq a \\ - x^{2} + x, & x < a \end{array}$ ，当 $a = 2$ 时， $f (x)$ 的单调递增区间为，若 $\exists x \in R$ 且 $x \neq 0$ ，使得 $f (\frac{1}{2} + x) =$ $f (\frac{1}{2} - x)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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12、在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论：
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是.

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13、设 $a, b \in R$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = a, a_{n + 1} = a_{n}^{2} + b$ ， $n \in N^{*}$ ，则

A、当 $b = \frac{1}{2}, a_{10} > 10$ B、当 $b = \frac{1}{4}, a_{10} > 10$ C、当 $b = - 2, a_{10} > 10$ D、当 $b = - 4, a_{10} > 10$

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14、有 $12$ 个砝码，总质量为 $45 g$ ，它们的质量从大到小依次构成等差数列，且最重的 $3$ 个砝码质量之和是最轻的 $3$ 个砝码质量之和的 $4$ 倍．用这些砝码称一个质量为 $30 g$ 的物体，则需要的砝码个数至少为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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15、某地的中学生中有 $60 %$ 的同学爱好滑冰， $50 %$ 的同学爱好滑雪， $70 %$ 的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）

A、0.8 B、0.4 C、0.2 D、0.1

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为d，前n项和为 $S_{n}$ ，则“d>0”是 $" S_{4} + S_{6} > 2 S_{5} " 的$

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、如果 $a > b > 0$ ，那么下列不等式一定成立的是（）

A、 $|a| < |b|$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ D、 $\ln a > \ln b$

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18、已知全集 $U = {- 2, - 1,0, 1,2, 3}$ ，集合 $A = {x \in Z | | x | < 2}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 ${- 2,2, 3}$ C、 $\{- 2, - 1, 2\}$ D、 ${- 2,0, 3}$

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19、在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，每次取1个，取后不放回，直到2个白球都被取出来后就停止取球．

(1)、求2个白球都被乙取出的概率；

(2)、求2个白球都被甲取出的概率；

(3)、求将球全部取出才停止取球的概率

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20、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ，且 $A A_{1} = 4$ ， $\vec{C C_{1}} = 4 \vec{C E}$ ，直线 $A E$ 与 $A_{1} C$ 交于点F.

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B E$ .

(2)、求二面角 $A_{1} - B E - A$ 的正弦值.

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