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相关试卷

1、一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（）

A、7.5 B、6 C、4.5 D、3

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2、已知 $|z| = |z - 2|$ ， $z$ 为虚数，则 $z \cdot \bar{z}$ 的值可能为（）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

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3、设集合 $A = \{x ∣ 2^{2 x + 1} \leq \frac{1}{32}\} ， B = \{x ∣ y = \sqrt{1 - x} + 1\} ，$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 3 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | x \leq 1}$ C、 ${x | x \leq - 3}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$

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4、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, B C = 3, A C = 6, D, E$ 分别是 $A C, A B$ 上的点，满足 $D E ∥ B C$ 且 $D E$ 经过 $△ A B C$ 的重心，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥ C D$ ， $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，如图所示．

(1)、求 $C M$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的大小；

(2)、在线段 $A_{1} C$ （不包括端点）上是否存在点 $N$ ，使平面 $C B M$ 与平面 $B M N$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ？若存在，求出 $C N$ 的长度；若不存在，请说明理由．

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5、已知线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(6, 8)$ ，端点 $A$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上运动， $M$ 是线段 $A B$ 的中点．

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、记（1）中所求轨迹为曲线 $C$ ，过定点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，并且 $|P Q| = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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6、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, N (2, 0)$ 是椭圆的右顶点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点 $H (0, 1)$ 且倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A ､ B$ 两点，求 $|A B|$ 和 $△ A B N$ 的面积.

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7、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1}$ 的长为3，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $E$ 是棱 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $C_{1} D E$ ；

(2)、求平面 $C_{1} D E$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值.

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8、如图，已知 $A B C D$ ， $A B E F$ 均为正方形，二面角 $C - A B - F$ 的大小为 $60^{。}$ ，则异面直线 $A C$ 与 $B F$ 所成角的余弦值为．

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9、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 中，点 $P$ 是椭圆上一点， $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆的焦点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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10、两条直线 $l_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ 与 $l_{2} : 3 x - 6 y + 8 = 0$ 之间的距离为.

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左､右两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为椭圆上一动点， $M (2, 2)$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在点 $P$ 使 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为16 C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的最大面积为12 D、 $|P M| + |P F_{1}|$ 的最小值为 $10 - 2 \sqrt{2}$

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12、已知直线 $l : (m + 2) x + y + m + 1 = 0$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x - 5 = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(- 1, 1)$ B、圆 $C$ 的半径是1 C、存在一个实数 $m$ ，使得直线 $l$ 经过圆 $C$ 的圆心 D、无论 $m$ 取何值，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交

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13、若圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ 上有四个不同的点到直线 $l$ ： $3 x + 4 y + c = 0$ 的距离为 $2$ ，则 $c$ 的取值范围是

A、 $(- 12, 8)$ B、 $(- 8, 12)$ C、 $(- 7, 3)$ D、 $(- 3, 7)$

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14、已知 $x, y$ 满足 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ ，则 $x^{2} + 2 x + y^{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[2 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2}]$ B、 $[8, 32]$ C、 $[2 \sqrt{2} - 1, 4 \sqrt{2} - 1]$ D、 $[7, 31]$

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15、在空间直角坐标系中，直线 $l$ 经过点 $P (2, - 1, - 2)$ ，且其方向向量 $\vec{n} = (1, 2, - 1)$ ，则点 $M (1, 0, - 2)$ 到 $l$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、3 D、 $\frac{\sqrt{66}}{6}$

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16、“ $t > 9$ ”是方程“ $\frac{x^{2}}{t - 9} - \frac{y^{2}}{t - 7} = 1$ ”表示双曲线的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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17、经过两直线 $x - y - 1 = 0$ 和 $3 x + y - 3 = 0$ 的交点，且与直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 垂直的直线方程是（）

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = 2 x - \frac{1}{2}$ C、 $y = - 2 x + 2$ D、 $y = - 2 x + \frac{1}{2}$

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18、已知函数 $f (x) = \ln x - a x + 1$ ．

(1)、 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值 $;$

(2)、若函数 $g (x) = x f (x)$ ．
（i）证明：曲线 $y = g (x)$ 图象上任意两个不同的点处的切线均不重合．
（ii）若 $\exists x \in (- 1, + \infty)$ ，使得 $g (x + 1) - 2 x - 2 - 2 \sin x < 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin ω x cos ω x - 2 {cos}^{2} ω x + 2$ ，其中 $ω > 0$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内恰有2个极值点，求 $ω$ 的取值范围；

(2)、当 $ω = 1$ 时，在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $f (A) = 3, b + c = 2$ ，求边 $a$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

(1)、证明：函数 $g (x) = f (x) - 1$ 的图象是中心对称图形；

(2)、当 $i \in Z$ 时，求 $\sum_{i = - 11}^{10} f (i + \frac{1}{2})$ 的值.

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