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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A D C = ∠ B C D = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $C D = \sqrt{3}$ ， $P D = 2$ ， $∠ P D A = 60 °$ ， $∠ P A D = 30 °$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，在平面 $A B C D$ 内过 $B$ 作 $B O ⊥ A D$ ，交 $A D$ 于 $O$ ，连 $P O$ .

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值；

(3)、在线段 $P A$ 上存在一点 $M$ ，使直线 $B M$ 与平面 $P A D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求 $P M$ 的长.

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2、已知直线 $l_{1}$ ： $x + (m - 2) y = 0$ ， $l_{2}$ ： $m x + y - 2 = 0$ ，且满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，垂足为C.

(1)、求m的值及点C的坐标.

(2)、设直线 $l_{1}$ 与x轴交于点A，直线 $l_{2}$ 与x轴交于点B，求 $△ A B C$ 的外接圆方程.

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3、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面是正方形， $A D = A B = 2, A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ D A A_{1} = 60 °, \vec{A_{1} C_{1}} = 3 \vec{N C_{1}}, \vec{D_{1} B} = 2 \vec{M B}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、试用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{A N}$ ；

(2)、求 $M N$ 的长度．

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4、已知 $△ A B C$ 的三个顶点为 $A (4, 0), B (0, 2), C (2, 6)$ .

(1)、求 $A C$ 边上的高 $B D$ 所在直线的方程；

(2)、求 $B C$ 边上的中线 $A E$ 所在直线的方程.

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5、已知点 $P (- 2, 0, 2)$ ， $Q (- 1, 1, 2)$ ， $R (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{P Q}$ ， $\vec{b} = \vec{P R}$ ， $\vec{c} = \vec{Q R}$ ．

(1)、若实数 $k$ 使 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直，求 $k$ 值．

(2)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量．

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6、直线 $l_{1} : x + (m + 1) y - 2 m - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : (m + 1) x - y - 2 m - 2 = 0$ 相交于点 $P$ ，对任意实数 $m$ ，直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别恒过定点 $A ， B$ ，则 $|P A| + |P B|$ 的最大值为

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7、已知点 $P$ 在圆 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$ 上，点 $A (4, 0), B (0, 2)$ ，当 $∠ P B A$ 最小时， $|P B| =$ .

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8、已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 3) ， \vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为.

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是正方体的上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内（不含边界）的动点，点Q是棱 $B C$ 的中点，则以下命题正确的是（）

A、三棱锥 $Q - P C D$ 的体积是定值 B、存在点P，使得 $P Q$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $60 °$ C、直线 $P Q$ 与平面 $A_{1} A D D_{1}$ 所成角的正弦值的取值范围为 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、若 $P D_{1} = P Q$ ，则P的轨迹的长度为 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$

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10、已知 $\vec{A B} = (- 2, 1, 4), \vec{A C} = (4, 2, 0), \vec{A P} = (1, - 2, 1), \vec{A Q} = (0, 4, 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A P}$ 是平面 $A B C$ 的一个法向量 B、 $A, B, C, Q$ 四点共面 C、 $\vec{P Q} ∥ \vec{B C}$ D、 $B C = \sqrt{53}$

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11、点 $P (- 2, - 1)$ 到直线 $l : (1 + 3 λ) x + (1 + λ) y - 2 - 4 λ = 0 (λ \in R)$ 的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A、 $\sqrt{13}$ ； $3 x + 2 y - 5 = 0$ B、 $\sqrt{11}$ ； $3 x + 2 y - 5 = 0$ C、 $\sqrt{13}$ ； $2 x - 3 y + 1 = 0$ D、 $\sqrt{11}$ ； $2 x - 3 y + 1 = 0$

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12、以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（）

A、 $\vec{a} = (1, 0, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 2, 0)$ ， $\vec{c} = (\frac{1}{2}, - \sqrt{2}, 0)$ B、 $\vec{a} = (1, 0, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 1, 0)$ ， $\vec{c} = (0, 0, 2)$ C、 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{c} = (2, 1, 2)$ D、 $\vec{a} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1, 0)$ ， $\vec{c} = (1, 0, 2)$

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13、过点 $P (0, - 1)$ 作直线 $l$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 2, 1)$ ， $B (2 \sqrt{3}, 1)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角范围为（）

A、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{6}, \frac{3 π}{4}]$ C、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ D、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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14、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，点N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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15、已知 $\vec{a} = (1, 2, - y), \vec{b} = (x, 1, 2)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b})$ $∥$ $(2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则（）

A、 $x = \frac{1}{3}, y = 1$ B、 $x = \frac{1}{2}, y = - 4$ C、 $x = 2, y = \frac{1}{4}$ D、 $x = 1, y = - 1$

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16、已知 $A (1, 2, - 3)$ ，则点A关于 $x O y$ 平面的对称点的坐标是（）

A、 $(- 1, 2, - 3)$ B、 $(1, 2, 3)$ C、 $(- 1, 2, 3)$ D、 $(- 1, - 2, 3)$

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17、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + \cos x - x, x \in (- 1, π)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 零点的个数．

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18、已知点P在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，过点P作直线l与椭圆C交于点Q，过点P作关于坐标原点O的对称点 $P^{'}$ ， $|P P^{'}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ，当直线l的斜率为0时，存在第一象限内的一点P使得 $|P P^{'}| = 4, |P Q| = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线l的斜率为k（k≠0），直线 $Q P^{'}$ 的斜率为 $k^{'}$ ，求 $k \cdot k^{'}$ 的值．

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19、如图，在四棱锥P﹣ABCD中， $∠ A D C = ∠ B C D = 90 °$ ， M，N分别是PC，AD的中点， $P N ⊥$ 平面ABCD，且 $P N = B C = C D = \frac{1}{2} A D = 2$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 平面BMN；

(2)、求二面角C﹣BM﹣N的正弦值．

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20、已知函数 $f (x) = \sin^{4} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{4} x + a$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $3$ ．

(1)、求常数a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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