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相关试卷

1、数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$ ，则 $\frac{1}{a_{10}} =$ ．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n}} = 1, n \in N^{*}$ ，则（　　）

A、 $a_{2022} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2022} = 1011$ C、 $a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{2022} = - 1$ D、 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + \dots + a_{2022} a_{2023} = - 1011$

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3、如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第 $n$ 层有 $a_{n}$ 个球，从上往下 $n$ 层球的总数为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 12$ B、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ C、 $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $S_{7} = 84$

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4、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $T_{n}$ 为等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项积，且 $a_{4} = b_{4} = 2$ ，则（）

A、 $a_{3} a_{5} = b_{3} + b_{5}$ B、 $a_{3} + a_{5} = b_{3} b_{5}$ C、 $S_{7} = 14$ D、 $T_{7} = 128$

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5、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 是公比不等于1的等比数列，且 $\lg a_{1} + \lg a_{2023} = 0$ ，若 $f (x) = \frac{2}{1 + x^{2}}$ ，则 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + \dots + f (a_{2023})$ 等于（）

A、2022 B、4036 C、2023 D、4038

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6、将函数 $y = cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后，得到的函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{7 π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{4}$

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7、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{11} = 121$ ，则 $a_{5} a_{7}$ 的最大值为（）

A、11 B、12 C、121 D、144

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8、已知在正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} \cdot a_{5} = 16$ ， $a_{4} = 8$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、12 B、14 C、16 D、18

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9、已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 4 x$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 4, a]$ $(a > - 4)$ 上的最小值.

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10、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1} (x \neq 1)$ ．
(1)证明 $f (x)$ 在(1，+∞)上是减函数；
(2)当 $x \in [3, 5]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值和最大值．

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11、某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是．

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12、若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{x - | a - x |}$ 为偶函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 5$ B、 $a > 5$ C、 $- 5 \leq a \leq 5$ D、 $a \leq - 5$ 或 $a \geq 5$

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13、函数 $f (x) = - \frac{1}{x - 2}$ 的单调增区间是（）.

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, 2) \cup$ $(2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2)$ ， $(2, + \infty)$

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14、已知圆M过点 $(- \frac{7}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 且与圆 $N : x^{2} + 8 x + y^{2} - 1 = 0$ 为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C.
（1）若直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + m$ 被圆M截得的弦长为 $\sqrt{3}$ ，求m的值；
（2）设直线 $l : y = k x + 3$ 与圆M交于点A，B，记 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} x_{2} + (y_{1} + 1) (y_{2} + 1) = 12$ ，求k的值.

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15、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为梯形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D, ∠ B A D = ∠ C D A = 90^{\circ}$ ， $A D = A B = 1$ ， $C D = 2, E$ 为 $P A$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、若二面角 $P - B C - E$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ ，求 $P D$ 的长.

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16、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = 3 (n + 1) a_{n}$ ．
（1）设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；
（2）求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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17、如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $2 A D = A A_{1} = A B = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ D A B = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ， $\vec{A_{1} C_{1}} = 3 \vec{N C_{1}}$ ， $\vec{D_{1} B} = 4 \vec{M B}$ .

(1)、证明： $A_{1} C_{1} ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、求 $M N$ 的长度.

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18、（1）已知点 $A (2, 4) ､ B (- 3, 2)$ ，求线段 $A B$ 的垂直平分线的方程；
（2）已知直线 $l_{1}$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，直线 $l_{2}$ 的倾斜角是直线 $l_{1}$ 倾斜角的2倍，求直线 $l_{2}$ 的斜率.

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19、若圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上恰有 $2$ 个点到直线 $l : 4 x - 3 y - 10 = 0$ 的距离为 $1$ ，则实数 $r$ 的取值范围为.

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20、已加数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{cases} (1 - 5 a) n + 19 a, n \leq 4 \\ 2 a^{n - 3} + 3, n > 4 \end{cases}$ ，若 $\forall n \in N^{*}, a_{n + 1} < a_{n}$ 恒成立.则a的取值范围是．

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