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相关试卷

1、如图，设 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，当 $∠ x O y = θ$ 时，定义平面坐标系 $x O y$ 为 $θ$ 的斜坐标系．在 $θ$ 的斜坐标系中，任意一点 $P$ 的斜坐标这样定义：设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是分别与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向相同的单位向量，若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记 $\vec{O P} = (x, y)$ ．下列结论正确的是（）

A、设 $\vec{a} = (m, n)$ ， $\vec{b} = (s, t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m n + s t = 0$ B、设 $\vec{a} = (m, n)$ ， $\vec{b} = (s, t)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m t - n s = 0$ C、设 $\vec{a} = (m, n)$ ，则 $|\vec{a}| = \sqrt{m^{2} + n^{2}}$ D、设 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $θ = \frac{π}{3}$

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2、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心，当点 $M$ 在线段 $B_{1} D_{1}$ （不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线 $O M$ 异面的是（）

A、 $B_{1} C_{1}$ B、 $A_{1} B$ C、 $C D_{1}$ D、 $A_{1} A$

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3、正方体的平面展开图如图所示， $A B$ ， $C D$ ， $E F$ ， $G H$ 为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（）

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ ，点 $(\sqrt{3}, 2)$ 在双曲线C上.

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、如图，过双曲线C右支上一点P作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 2$ 的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线 $P Q$ 与圆O切于点M.
①求证：Q、R两点关于原点O对称；
②判断 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 的取值范围.

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5、设 $A_{0}$ 是一个项数为 $n (n \geq 2)$ 的数列，其中每一项均为集合 $\{0, 1, 2\}$ 中的元素.定义数列 $A_{j} (j \in N^{*})$ 如下：若 $A_{j - 1} : x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，则 $A_{j} : y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ ，其中，当 $x_{i} = x_{i + 1}$ 时， $y_{i} = x_{i}$ ，当 $x_{i} \neq x_{i + 1}$ 时， $y_{i} = x_{i}^{2} + x_{i} x_{i + 1} + x_{i + 1}^{2} - 4 (x_{i} + x_{i + 1}) + 5, i = 1, 2, \dots, n$ ，且 $x_{n + 1} = x_{1}$ .

(1)、若数列 $A_{0} : 0, 1, 2$ ，求数列 $A_{3}$ ；

(2)、若存在 $m \in N^{*}$ ，对任意 $A_{0}$ ，均有数列 $A_{m}$ 与 $A_{0}$ 为同一数列，则称 $m$ 为数列组 $\{A_{i}\}$ 的一个周期.
（i）若 $n = 3$ ，求数列组 $\{A_{j}\}$ 的最小正周期；
（ii）若数列组 $\{A_{j}\}$ 存在周期，求 $n$ 的所有可能取值.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 a x + \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \geq 2 \ln \frac{a}{2} - 6 a + 3$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、如图所示的多面体是由正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和正四棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ （正四棱柱下底面与正四棱台上底面重合）构成．已知 $A B = 4, A A_{1} = A_{1} B_{1} = 2, A_{1} A_{2} = 4 \sqrt{2}$ ， $M$ 是 $A_{1} A_{2}$ 上一动点．

(1)、证明： $B D ⊥ C_{1} M$ ；

(2)、若 $\vec{A_{2} M} = \frac{1}{4} \vec{A_{2} A_{1}}$ ，求直线 $C_{1} M$ 与平面 $B D D_{1}$ 所成角的余弦值．

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8、某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为 $2 : 1$ ，男生近视的人数占总人数的 $\frac{5}{12}$ ，男生与女生总近视人数占总人数的 $\frac{2}{3}$ .

(1)、完成下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关.
近视
不近视
合计
男
女
合计
60

(2)、按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} (n = a + b + c + d)$ .
$P (χ^{2} ⩾ k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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9、已知函数 $f (x) = | \sin ω x | + | \cos ω x | (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{4}, π)$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是．

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10、已知点集 $C = \{(x, y) ∣ {(x - cos θ)}^{2} + {(y - sin θ)}^{2} = 4, 0 \leq θ \leq φ\}$ ，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（）

A、图形内部空白区域的面积最小值为 $π$ B、图形上的点到原点的最小距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、当 $φ = \frac{3 π}{2}$ 时，图形关于 $y = - x$ 对称 D、当 $φ = π$ 时，图形内外边界的长度和为 $8 π$

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11、已知点 $M$ 为直线 $l : x - y + 8 = 0$ 与 $y$ 轴交点， $P$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 45$ 上的一动点，点 $A (- 1, 0), B (3, 0)$ ，则（）

A、 $|P M|$ 取得最小值时， $S_{△ A B P} = 6 \sqrt{5}$ B、 $M P$ 与圆 $O$ 相切时， $|P M| = \sqrt{19}$ C、当 $B P ⊥ M P$ 时， $\vec{A P} \cdot \vec{B M} = 0$ D、 $\sin ∠ A P B$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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12、魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率 $π$ 约等于 $\frac{355}{113}$ ，和 $π$ 相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知 $π$ 的近似值还可以表示成 $4 \sin 52 °$ ，则 $\frac{π \sqrt{16 - π^{2}}}{\cos^{4} 3.5 ° + \sin^{4} 3.5 ° - \frac{3}{4}}$ 的值约为（）

A、 $- 32$ B、 $- \frac{1}{32}$ C、 $32$ D、 $\frac{1}{32}$

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13、已知 $α$ 是第一象限角，且 $sin α + cos α = 3 cos α tan α$ ，则 $sin (α + \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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14、若复数z满足 $2 \bar{z} + i \cdot z = 4 + 5 i$ ，则z在复平面中对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合 $A$ 和 $B$ ，定义和集 $A + B = \{a + b| a \in A, b \in B\}$ ，用符号 $d (A + B)$ 表示和集 $A + B$ 内的元素个数.

(1)、已知集合 $A = \{1, 3, 5\}$ ， $B = \{1, 2, 6\}$ ， $C = \{1, 2, 6, x\}$ ，若 $A + B = A + C$ ，求 $x$ 的值；

(2)、记集合 $A_{n} = \{1, 2, \dots, n\}$ ， $B_{n} = \{\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \dots, n \sqrt{2}\}$ ， $C_{n} = A_{n} + B_{n}$ ， $a_{n}$ 为 $C_{n}$ 中所有元素之和， $n \in N^{*}$ ，求证： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \dots + \frac{n}{a_{n}} < 2 (\sqrt{2} - 1)$ ；

(3)、若 $A$ 与 $B$ 都是由 $m (m \geq 3, m \in N^{*})$ 个整数构成的集合，且 $d (A + B) = 2 m - 1$ ，证明：若按一定顺序排列，集合 $A$ 与 $B$ 中的元素是两个公差相等的等差数列.

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16、已知椭圆 $E$ 中心在原点，左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，其四个顶点的连线围成的四边形面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $E$ 的左焦点 $F$ 作斜率存在的两直线 $A B$ 、 $C D$ 分别交椭圆于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，且 $A B ⊥ C D$ ，线段 $A B$ 、 $C D$ 的中点分别为 $M$ 、 $N$ .求四边形 $B C M N$ 面积的最小值.

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17、已知三位整数 $n$ 满足 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则 $n$ 的最大值是．

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18、在三棱锥 $D - A B C$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B D$ ， $A B = A C = B C = B D = A D = 2$ ，则（）

A、三棱锥 $D - A B C$ 的体积为1 B、点 $C$ 到直线AD的距离为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、二面角 $B - A D - C$ 的正切值为2 D、三棱锥 $D - A B C$ 外接球的球心到平面 $A B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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19、已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ ，其周期为4，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则（）

A、 $f (2023) = 0$ B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 2]$ C、 $f (x)$ 在 $[4, 6]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $[- 6, 6]$ 上有8个零点

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20、设椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相同的焦距，它们的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 在第一象限的交点为 $P$ ，若点 $P$ 在直线 $y = x$ 上，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 的值为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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$P (χ^{2} ⩾ k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	近视	不近视	合计
男
女
合计			60