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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = |3 + 4 i|$ ，则 $z$ 的虚部为（　　）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2} i$

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2、已知集合 $A = \{x ∣ {log}_{2} x < 2\} ， B = {x ∣ |x - 1| < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $（ 0, 2 ）$ B、 $（ 0, 3 ）$ C、 $（ 1, 4 ）$ D、 $（ 1, 2 ）$

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⟂ A B, A D = 2, A B = 1, P B = \sqrt{3}, P D = \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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4、如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M､N分别是AB､PC的中点

(1)、求证：MN $/ /$ 平面PAD；

(2)、在PB上确定一个点Q，使平面MNQ $/ /$ 平面PAD.

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5、在 $△ A B C$ 中，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\sin^{2} (B + C) - \sin^{2} B - \sin^{2} C + \sin B \sin C = 0$ ． $c = 4$ ， $a + b = 6 + 2 \sqrt{7}$ ，求：

(1)、 $a$ 的值

(2)、 $△ A B C$ 的面积；

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， F为AC中点．
（1）求证： $A B_{1} //$ 平面 $B F C_{1}$ ．
（2）若此三棱柱为正三棱柱，且 $A_{1} A = \sqrt{2} A_{1} C_{1}$ ，求 $∠ F B C_{1}$ 的大小.

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7、已知复数z使得 $z + 2 i \in R ， \frac{z}{2 - i} \in R$ ，其中i是虚数单位.

(1)、求复数z的共轭复数；

(2)、若复数 ${(z + m i)}^{2}$ 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ .
（I）求向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 与向量 $\vec{b}$ 夹角的余弦值
（II）若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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9、在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $\cos A = \frac{2}{3}$ ，则其外接圆的面积为．

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10、如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，向量 $\vec{A O} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，则λ＋μ的值为.

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11、已知向量 $\vec{a} = (3, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为.

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12、在△ $A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}, A B = 4$ ，若解此三角形仅有一解，则边 $B C$ 长度的可能取值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{17}$

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13、设复数 $z = 1 + \sqrt{3} i$ ，则下列命题中正确的是（）

A、z的虚部是 $\sqrt{3} i$ B、 $z + \bar{z} = |z|$ C、z在复平面内对应的点在第四象限 D、若z是关于x的实系数方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则 $b = - 2$ ， $c = 4$

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14、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $\sqrt{3} \sin (A + B) = \sin A + \sin B$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ，且 $S_{△ A B C} = 4$ ，则 $c =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、4 C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、5

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15、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 1$ ， $A B = A A_{1} = 3$ ，则该四棱台的体积为（）．

A、 $13 \sqrt{7}$ B、 $\frac{10 \sqrt{7} + \sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{14 \sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{13 \sqrt{7}}{3}$

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16、如图所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $C D = 2$ ， $A C = \sqrt{7}$ .若 $\cos ∠ B A D = - \frac{\sqrt{7}}{14}$ ， $\sin ∠ C B A = \frac{\sqrt{21}}{6}$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、 $\sqrt{5}$

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17、要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为（）

A、 $40 m$ B、 $20 m$ C、 $305 m$ D、 $(20 \sqrt{6} - 40) m$

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18、若复数 $z = (2 - a i) (1 + i) (a \in R, i$ 为虚数单位 $)$ 为纯虚数，则 $| a + \bar{z} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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19、已知复数z在复平面内所对应点的坐标为 $(2, 4)$ ，则 $3 + 2 \bar{z} =$ （）

A、 $7 - 8 i$ B、 $7 + 8 i$ C、 $8 + 7 i$ D、 $8 - 7 i$

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20、点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一点，当 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ 且 $(\vec{P B} + \vec{P C}) \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 0$ 时， $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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