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相关试卷

1、若函数 $f (x) = e^{x + m} - \ln x$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq - 1$ B、 $m > - 1$ C、 $m \geq 0$ D、 $- 1 \leq m < 0$

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2、 $(1 + x + x^{2}) {(1 - x)}^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为 $a$ ， ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为 $b$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 15$ B、75 C、135 D、165

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3、要从5名高二学生中选出3名同学分别到两个社区做志愿者，每个社区至少一人，则不同安排的种数是（）

A、20 B、40 C、60 D、80

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4、某个弹簧振子在振动过程中的位移 $y$ （单位： $mm$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系为 $y = 18 \sin (\frac{2 π}{3} t - \frac{π}{2})$ ，则该弹簧振子在 $t = 3 s$ 时的瞬时速度是（）

A、 $0 mm/s$ B、 $6 π mm/s$ C、 $12 π mm/s$ D、 $18 π mm/s$

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5、若函数 $f (x) = x^{2}$ ，则当自变量 $x$ 由1变化到1.1时，函数 $f (x)$ 的平均变化率是（）

A、2 B、2.1 C、2.2 D、2.3

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6、设函数 $f (x) = a x - \frac{b}{x}$ ，若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为5x-4y-4=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：在曲线y=f（x）上任意一点处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．

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7、（1）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记 $X = \{\begin{matrix} 0, 两球全是白球 \\ 1, 两球不全是白球 \end{matrix}$ ，求 $X$ 的分布列和期望与方差.
（2）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过 $2 h$ ，这些人的近视率约为 $60 %$ .现从每天玩手机不超过 $2 h$ 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？

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8、（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数.

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9、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) + \frac{1}{2}, g (x) = e^{2 x},$ 若 $g (x_{1}) = f (x_{2}),$ 则 $x_{1} - x_{2}$ 的最大值为．

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10、中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 $a = b$ （mod m）．若 $a = C_{20}^{0} + C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + ... + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ ， $a = b$ （mod 10），则b的值可以是（　　）

A、2011 B、2012 C、2020 D、2021

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11、若 $x^{5} = a_{0} + a_{1} (1 - x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + \dots + a_{5} {(1 - x)}^{5}$ ，其中 $a_{i} (i = 0, 1, \dots, 5)$ 为实数，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{3} = 10$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 16$ D、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{5} = 1$

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12、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = n) = \frac{a}{(n + 1) (n + 2)} (n = 0, 1, 2)$ ，其中 $a$ 是常数，则（）

A、 $P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 1$ B、 $a = \frac{4}{3}$ C、 $P (0 \leq X < 2) = \frac{8}{9}$ D、 $P (X = 1) = \frac{2}{3}$

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13、函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，其导函数记为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) < \frac{f (x)}{x}$ 恒成立，若 $f (2) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x - 1} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 0) \cup (1, 2)$ B、 $(- 2, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(1, 2) \cup (- \infty, - 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$

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14、设函数 $f (x)$ 在R上可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且函数 $g (x) = x \cdot f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A、 $f (x)$ 有三个极值点 B、 $f (- 2)$ 为函数的极大值 C、 $f (x)$ 有一个极大值 D、 $f (- 1)$ 为 $f (x)$ 的极小值

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15、已知命题 $p : f (x) = \ln x + 2 x^{2} + 6 m x + 1$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增， $q : m \geq - 5$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{2}{x})}^{'} = 1 + \frac{2}{x^{2}}$ B、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$ C、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} x + e^{x}}{x^{2}}$ D、 $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

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17、若对于函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ ，对任意实数 $x$ ，都存在常数 $n$ ，使 $f^{'} (x) \geq n g^{'} (x)$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 是函数 $y = g (x)$ 的“ $n$ 函数”.（已知 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 定义域均为 $R$ ）.

(1)、证明：函数 $f (x) = 3 x + 1$ 是函数 $g (x) = \cos x$ 的“ $3$ 函数”；

(2)、若函数 $f (x) = - x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - 20 x$ 是函数 $g (x) = e^{x}$ 的“ $n$ 函数”，求 $n$ 的取值范围；

(3)、若函数 $p (x) = e^{x} + m e^{- x}$ ，函数 $y = q (x)$ 为偶函数，函数 $y = p (x)$ 是函数 $y = q (x)$ 的“ $1$ 函数”，求证：“ $m = 1$ ”的充要条件是“存在常数 $c$ ，使得 $p (x) - q (x) = c$ 恒成立”.

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18、在空间直角坐标系中，某质点从原点出发，每秒向 $x$ 轴、 $y$ 轴或 $z$ 轴正、负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等.

(1)、求该质点在第 $4$ 秒末移动到点 $(2, 2, 0)$ 的概率；

(2)、设该质点在第 $2$ 秒末移动到点 $(x, y, z)$ ，记随机变量 $ξ = x + y + z$ ，求 $ξ$ 的均值；

(3)、设该质点在第 $n$ 秒末回到原点的概率为 $p_{n}$ ，证明： $p_{2 n} > {(\frac{C_{2 n}^{n}}{6^{n}})}^{2}$ .

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19、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若直线 $l$ 与 $E$ 相切于第一象限内的点 $P$ ，且与 $x$ 轴相交于点 $Q$ .

(1)、证明： $P Q$ 平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ ；

(2)、过原点 $O$ 作 $l$ 的垂线（垂足为 $H$ ），与 $P F_{1}$ 相交于点 $T$ ，求 $△ T F_{1} H$ 面积的最大值.

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20、已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $(a + b + c) (a - b + c) = 3 a c$ ， $b = 2$ .

(1)、求 $a c$ 的取值范围；

(2)、求 $△ A B C$ 的内切圆半径 $r$ 的最大值.

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