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相关试卷

1、根据公式 $\sin 3 α = 3 \sin α - 4 \sin^{3} α$ ， $\sin 10 °$ 的值所在的区间是（）

A、 $(\frac{1}{7}, \frac{1}{6})$ B、 $(\frac{1}{6}, \frac{1}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$

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2、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, y = f (x) + e^{x}$ 是偶函数， $y = f (x) - 3 e^{x}$ 是奇函数，则 $f (ln 3)$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、3 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{11}{3}$

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3、设正实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a^{2} - a b + 4 b^{2} - c = 0$ ，则当 $\frac{c}{a b}$ 取得最小值时， $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} - \frac{6}{c}$ 的最大值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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4、函数 $f (x) = \frac{x cos x}{e^{|x| - 1}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5、设函数 $f (x) = 3^{x (x - a)}$ 在区间 $(0, \frac{3}{2})$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $[- 3, 0)$ C、 $(0, 1]$ D、 $[3, + \infty)$

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6、已知命题 $p : \forall x > 1, |x| > 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x > 1, |x| \leq 1$ B、 $\exists x \leq 1, |x| \leq 1$ C、 $\forall x > 1, |x| < 1$ D、 $\forall x \leq 1, |x| > 1$

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7、已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{2 x - x^{2}}\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x} + 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[0, 2]$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中的相邻两项 $a_{2 k - 1}, a_{2 k}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (3 k + 2^{k}) x + 3 k \cdot 2^{k} = 0$ 的两个根，且 $a_{2 k - 1} \leq a_{2 k} (k = 1, 2, 3, \dots)$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ ；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；

(3)、记 $f (n) = \frac{1}{2} (\frac{|\sin n|}{\sin n} + 3)$ ， $T_{n} = \frac{{(- 1)}^{f (2)}}{a_{1} a_{2}} + \frac{{(- 1)}^{f (3)}}{a_{3} a_{4}} + \frac{{(- 1)}^{f (4)}}{a_{5} a_{6}} + \dots + \frac{{(- 1)}^{f (n + 1)}}{a_{2 n - 1} a_{2 n}}$ ，求证： $\frac{1}{6} \leq T_{n} \leq \frac{5}{24} (n \in N^{*})$ ．

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9、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $C_{1} : 2 x^{2} - y^{2} = 1$ ．
（1）过 $C_{1}$ 的左顶点引 $C_{1}$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交 $C_{1}$ 于P，Q两点，若l与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求证： $O P ⊥ O Q$ ；
（3）设椭圆 $C_{2} : 4 x^{2} + y^{2} = 1$ ，若M，N分别是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点，且 $O M ⊥ O N$ ，求证：O到直线MN的距离是定值．

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10、2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：

喜欢奥数
不喜欢奥数
总计
已选奥数课（A组）
150
50
200
未选奥数课（B组）
90
110
200
总计
240
160
400

(1)、若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？

(2)、能否有 $99.5 %$ 的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附：
$P (χ^{2} \geq α)$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$α$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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11、已知 $f (x) = x + a \sin x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (π,π)$ 处的切线斜率为 $2$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求不等式 $f (x + 1) + f (3 - 2 x) > 0$ 的解集.

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12、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ .

(1)、求直线 $A C_{1}$ 和平面 $A B C D$ 所成角的大小；

(2)、求二面角 $C_{1} - A B - C$ 的大小.

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13、我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为 $(0, 0)$ .在 $x$ 轴（ $y$ 轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果 $x$ 轴与 $y$ 轴相交所成的角为 $θ$ ，过平面任意一点 $P$ ，分别作坐标轴的平行线，交 $x$ 轴于点 $M$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，将点 $M$ 在 $x$ 轴上的坐标 $a$ ，点 $N$ 在 $y$ 轴上的坐标 $b$ 称为点 $P$ 在该坐标系中的坐标，记为 $P (a, b)$ .若 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 是该坐标系中的任意两点，则点 $A, B$ 之间的距离 $|A B|$ 为（）

A、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ B、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ C、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} - 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ D、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} \pm 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$

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14、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱线长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点E，F，且 $E F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则下列结论中错误的是（　　）

A、 $A C ⊥ B E$ B、 $E F / /$ 平面ABCD C、三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值 D、异面直线AE，BF所成的角为定值

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15、“ $x = 4$ ”是“ $x \geq 3$ ”成立的（）条件.

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充分必要 D、既非充分又非必要

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16、若关于 $x$ 的方程 $t x^{2} - 2 t ln x + 3 (t - 4) = 0$ 在区间 $(0, e)$ 内有两个不同的实数解，那么实数 $t$ 的取值范围是.

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17、定义 $H_{n} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2^{n - 1} a_{n}}{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“均值”，已知数列 $\{b_{n}\}$ 的“均值” $H_{n} = 2^{n + 1}$ ，记数列 $\{b_{n} - k n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} \leq S_{6}$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，则实数 $k$ 的范围为．

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18、已知两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为.

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19、已知 $M (x, y)$ 为函数 $f (x) = cos x (0 \leq x \leq 2 π)$ 图象上的任意一点，则 $x + 2 y$ 的最大值为.

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20、设当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = sin x - \sqrt{3} cos x$ 取得最大值，则 $cos θ =$ .

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	喜欢奥数	不喜欢奥数	总计
已选奥数课（A组）	150	50	200
未选奥数课（B组）	90	110	200
总计	240	160	400

$P (χ^{2} \geq α)$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$α$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$