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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = \frac{π}{3}, c = 2$ ，且 $a - 1 = \sqrt{3} cos C$ ，则 $sin A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 是两个垂直的单位向量．若 $\vec{a} = {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}, \vec{b} = 2 {\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ ，设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $cos θ =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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3、柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若 $A$ 表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”， $B$ 表示事件“取出的手套都是右手的”， $C$ 表示事件“取出的手套不成双”，则（）

A、 $P (C) = P (A) + P (B)$ B、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ C、 $P (A B) = P (A) P (B)$ D、 $P (A \cup C) = P (A) + P (C)$

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4、已知直线 $a, b$ 与平面 $α, β$ ，则能使 $α ⊥ β$ 的充分条件是（）

A、 $a ⊥ α, b ⊥ β, a / / b$ B、 $a \subset α, b \subset β, a ⊥ b$ C、 $a / / b, a ⊥ β, b \subset α$ D、 $α \cap β = a, b ⊥ a, b \subset β$

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5、已知 $z - i = \frac{1 + 3 i}{3 - i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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6、已知 $A (- 1, - 1), B (x, 3), C (2, 5)$ 三点共线，则 $x =$ （）

A、1 B、3 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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7、某市有大型超市20家、中型超市60家、小型超市120家．为掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则抽取中型超市的数量为（）

A、12 B、6 C、4 D、2

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8、某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为 $n (n \in N^{*})$ 的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率 $p$ 传输记为0，以概率 $1 - p$ 传输记为1，其中 $0 < p < 1$ ，每位数码的传输相互独立，并设事件 $A_{n}$ 为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件.

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求 $P (A_{3})$ ；

(2)、证明：对任意的正整数 $n$ ，有 $P (A_{n}) = \frac{1 + {(2 p - 1)}^{n}}{2}$ ；

(3)、在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为 $B$ ，问： $P (B ∣ A_{n})$ 是否存在最大值？若存在，求出使 $P (B ∣ A_{n})$ 取到最大值的正整数 $n$ ；若不存在，请说明理由.

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9、已知函数 $f (x) = (1 - a) \ln x + \frac{a}{x} + x$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、试比较2.8与 $e^{1.04}$ 的大小并证明.

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10、如图1所示，四边形 $B C D E$ 满足 $B C ∥ D E$ ，过点 $B$ 作 $B A ⊥ D E$ ，点 $A$ 在线段 $D E$ 上，且满足 $B C = \sqrt{3} A B = 3 A D = 3$ ，将 $△ A B E$ 沿直线 $A B$ 翻折到 $△ P A B$ 的位置（图2）， $P B ⊥ A C$ .

(1)、求证： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、若 $P D = 2$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.

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11、已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ，

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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12、2025年3月9日，国家卫生健康委员会在第十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动.某公司为了响应国家号召，收集了总共100名30-40岁之间员工的BMI指数（BMI=体重÷身高 $^{2} ({kg/m}^{2})$ ），绘制成如下图的频率分布直方图.若该公司超重的人数占40%.（BMI≥24为超重）

(1)、求实数s，t的值，并求该公司员工BMI指数的众数；

(2)、该公司把超重的员工按性别单独做了统计，补全下面列联表，并根据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，分析超重是否与性别有关.
性别
正常
超重
合计
男

20

女
20

合计

100
附：列联表参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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13、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ，点E，F，G分别为 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $E F$ 上运动（不包括端点），过G，P， $D_{1}$ 的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是.

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14、若 $y = x + a$ 是曲线 $y = \sqrt{x}$ 的切线，则 $a =$ .

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15、 $9^{5}$ 除以8的余数为.

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16、定义在 $R$ 上的非常数函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) f (1 - y) + f (1 - x) f (y)$ ，且 $f (0) = 0$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 C、 $f (x) f (1 - x) \leq \frac{1}{2}$ D、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) = 1$

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17、下列命题正确的是（）

A、若事件A，B相互独立，则 $P (A B) = P (A) \cdot P (B)$ B、若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (A B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (B ∣ A) = \frac{2}{3}$ C、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (1.5 \leq X < 2) = 0.36$ ，则 $P (X \geq 2.5) = 0.14$ D、线性相关模型中，相关系数 $r$ 越大，两个变量的线性相关程度越强

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18、已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $a \geq 1, b \leq 1$ B、 $a b \leq 1$ C、 $a - b > - 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 2$

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19、某平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B D = 2$ ， $∠ A B D = ∠ A C D = \frac{π}{4}$ ，设 $∠ C A D = θ$ ， $θ \in (0, \frac{π}{4})$ .当 $△ B C D$ 的面积取得最大值时， $θ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{10}$ D、 $\frac{π}{12}$

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20、如图所示的九宫格中共有 $4 \times 4 = 16$ 个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（）种.

A、528 B、524 C、520 D、516

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$P (χ^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

性别	正常	超重	合计
男		20
女	20
合计			100