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相关试卷

1、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1, & x \in Q \\ 0, & x \in ∁_{R} Q \end{matrix}$ 被称为狄利克雷函数，其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集，以下关于狄利克雷函数 $f (x)$ 的四个结论中，正确的个数是个.
①函数 $f (x)$ 偶函数；
②函数 $f (x)$ 的值域是 $\{0, 1\}$ ；
③若 $T \neq 0$ 且 $T$ 为有理数，则 $f (x + T) = f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立；
④在 $f (x)$ 图象上存在不同的三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，使得 $△ A B C$ 为等边角形.

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、已知偶函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(- 1, - 3) ，$ 且当 $0 \leq a < b$ 时，不等式 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} < 0$ 恒成立，则使得 $f (x - 2) + 3 < 0$ 成立的x取值范围为( )

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$ C、(1，3) D、[1，3]

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3、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - a x + 5$ ， $x \in [- 1, 2]$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $- 5$ ，求实数 $a$ 的值．

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + 1, x \leq - 2 \\ 3 x + 5, - 2 < x < 2 \\ 2 x - 1, x \geq 2 \end{matrix}$

(1)、求 $f (- 5)$ ， $f (1)$ ， $f (f (- \frac{5}{2}))$ ；

(2)、若 $f (a^{2} + 2) \geq a + 4$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、已知定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则满足 $f (2 x - 1) \leq f (1)$ 的 $x$ 取值范围是．

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6、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ - a x, x \geq 1 \end{array}$ ，是定义在 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{8}, \frac{1}{3})$ B、 $(0, \frac{1}{3})$ C、 $[\frac{1}{8}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{3}, + \infty)$

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7、下列函数中为奇函数且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - x^{3}$ B、 $f (x) = - \frac{1}{|x|}$ C、 $f (x) = x |x|$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$

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8、已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，平面上有动点 $P$ ，且直线 $A P$ 的斜率与直线 $B P$ 的斜率之积为1.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $Ω$ 的方程.

(2)、过点A的直线与 $Ω$ 交于点 $M$ （ $M$ 在第一象限），过点 $B$ 的直线与 $Ω$ 交于点 $N$ （ $N$ 在第三象限），记直线 $A M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} = 4 k_{2}$ .试判断 $△ A M N$ 与 $△ B M N$ 的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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9、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．已知 $a_{1} = a_{3} + a_{4} = - 10$ ，则 $S_{n}$ 的最小值为．

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10、比亚迪将在2024年发布第二代刀片电池，能量密度更高，带来更长的续航里程，更耐低温，除此之外还将发布 $1000 V$ 高压 $Sic$ 平台，实现充电 $5 \sim 8$ 分钟续航500公里.已知在每款新能源电车正式发布前要对每辆车进行续航､抗压等相关系数的测验，现随机抽取将要上市发布的8台新能源电车进行续航系数测评，得到下列一组样本数据： $1, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 2$ ，则（）

A、这组数据的众数为1 B、这组数据的极差为3 C、这组数据的平均数为2.5 D、这组数据的 $40 %$ 分位数为2

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11、若i是虚数单位，复数 $\frac{2 - i}{1 + i} =$

A、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$

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12、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿直线 $B E$ 翻折使点 $A$ 到达点 $A_{1}$ 的位置， $F$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点.

(1)、求证： $D F ∥$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、若平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，求直线 $A_{1} E$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的大小.

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13、卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ 是平面内两个定点， $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = a^{2}$ （ $a$ 是定长），特别地，当 $c = a$ 时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（）

A、曲线过原点 B、关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称 C、方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 a^{2} (x^{2} - y^{2})$ D、曲线上任意点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ， $x_{0} \in [- a ， a]$ ， $y_{0} \in [- \frac{a}{2} ， \frac{a}{2}]$

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14、若数列 $\{a_{n}\} \{b_{n}\}$ 满足：对于任意正整数n， $(a_{n} - b_{n}) (a_{n + 1} - b_{n + 1}) \leq 0$ ，则称 $a_{n}$ ， $b_{n}$ 互为交错数列．记正项数列 $\{x_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知1， $\sqrt{S_{n} + 1}$ ， $x_{n}$ 成等差数列，则与数列 $\{x_{n}\}$ 互为交错数列的是（）

A、 $a_{n} = n + \sin n π$ B、 $b_{n} = n + \cos n π$ C、 $c_{n} = 2 n + \sin n π$ D、 $d_{n} = 2 n + \cos n π$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - a x + 2 a, x < - 1 \\ 1 - \ln (x + 2), x ⩾ - 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $[- 2, 0]$

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16、若向量 $\vec{a} = (2 x, 1), \vec{b} = (x - 1, x^{2})$ ，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“ $x = \frac{2}{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为 $y$ 关于 $x$ 的奇函数，给定函数 $f (x) = \frac{1}{3^{x} + 1}$ ，关于 $(0, b)$ 中心对称．

(1)、求 $b$ 的值 $;$

(2)、已知函数 $g (x) = - x^{2} + m x$ ，若对任意的 $x_{1} \in [- 1, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, + \infty)$ ，使得 $g (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18、已知不等式 $2 k x^{2} + k x + \frac{3}{8} > 0$ 在 $R$ 上恒成立．则 $k$ 的取值范围为．

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19、下列说法正确的是（）

A、函数 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 的图像恒过定点 $A$ ，且点 $A$ 在直线 $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ ， $(m, n > 0)$ 上，则 $m + 2 n$ 的最小值为8． B、若 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，则 $x (1 - 2 x)$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ ． C、函数 $y = \frac{- 3 x^{2} + 2 x - 4}{x} (x > 0)$ 的最大值为 $2 - 4 \sqrt{3}$ ． D、若正数 $x$ ， $y$ 满足 $x y = x + y + 3$ ，则 $x y$ 的最小值是9．

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20、下列判断不正确的有（）

A、函数 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ 与 $g (x) = \{\begin{matrix} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{matrix}$ 表示同一函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ 是同一函数 D、函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 是增函数

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