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相关试卷

1、先将函数 $f (x) = \sin x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图像，则关于函数 $g (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、在 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递增 B、图像关于直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 对称 C、在 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、最小正周期为π，图像关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称

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2、已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - i}$ 的虚部为 $\frac{3}{2}$ B、复数 $z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ 在复平面内对应的点位于第四象限 C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若复数z满足 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$

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3、已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是 $\sqrt{6}$ ，则这个正三棱锥的侧面积为（）

A、27 B、 $9 \sqrt{3}$ C、9 $\sqrt{6}$ D、 $9 \sqrt{2}$

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4、在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线， $3 \vec{E D} = 2 \vec{A D}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{5}{6} \vec{A C}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin (C + \frac{π}{6}) = \frac{b}{2 a}, a^{2} - 3 a = b^{2} - 3, c = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $E, F$ 为边 $A B$ 上的动点（不包括端点），且满足 $C E ⊥ C F$ ，求 $△ C E F$ 的面积的取值范围．

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6、已知i为虚数单位， $i^{3} + i^{5} =$ ．

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7、如图，在单位圆 $O$ 中，向量 $\vec{O B}, \vec{O C}, \vec{A O}$ 是（）

A、有相同起点的向量 B、单位向量 C、模相等的向量 D、相等的向量

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8、已知 $2 \sin (2 θ - \frac{π}{2}) = 1 + \sin 2 θ$ ，则 $\tan θ$ 的所有取值之和为（）

A、－5 B、－6 C、－3 D、2

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9、在 $△ A B C$ 中，三角形三条边上的高之比为 $2 : 3 : 4$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等腰三角形

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 3 c$ ，且 $c = \frac{1}{3} b$ ，则角 $A$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、已知 $cos α = - \frac{7}{9}, α \in (π, \frac{3}{2} π)$ ，则 $cos \frac{α}{2} =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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12、复数 $i (2 - 3 i) =$ （）

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 3 - 2 i$ D、 $- 3 + 2 i$

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13、在① $\sin A \sin B \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} (\sin^{2} A + \sin^{2} C - \sin^{2} B)$ ；② $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{\sin C}{\sqrt{3} \sin A \cos B}$ ；③设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $4 \sqrt{3} S + 3 (b^{2} - a^{2}) = 3 c^{2}$ .这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知__________，且 $b = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、若 $a + c = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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14、如图，已知△ABC与△ADC关于直线AC对称，把△ADC绕点A逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ ，得到△AFE，若B，C，E，F四点共线，且 $A C = 5$ ， $A B = 7$ .

(1)、求BC；

(2)、求△ADE的面积.

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15、在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / C D, ∠ D A B = 90 °, A B = 2 A D = 2 C D = 4$ ，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点．

(1)、若E是CD边的中点．
①试用 $\vec{A E}$ 和 $\vec{A F}$ 表示 $\vec{A B}$ ；
②若 $\vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{E F}$ 的值；

(2)、求 $\vec{E A} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围．

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16、学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA₁＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm³ ．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，
（1）计算制作该模型所需原料的质量；
（2）计算该模型的表面积（精确到0.1）
参考数据： $\sqrt{13} \approx 3.61$ ， $\sqrt{15} \approx 3.87$ ， $\sqrt{17} \approx 4.12$

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17、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{e}$ 是同一平面的向量，其中 $\vec{e}$ 是单位向量，非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，向量 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{b} - 2 \vec{e}| = 1$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最小值是．

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18、已知复数 $z = (a - 1) - 2 a i (a \in R)$ ，且 $|z| = 5$ ，若复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则 $a =$ ．

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\tan A + \tan B = \frac{\sqrt{3} c}{a \cos B}$ ．则下列结论正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{6}$ B、若 $a = 2$ ，则该三角形周长的最大值为6 C、若 $△ A B C$ 的面积为 $2$ ，则 $a$ 有最小值 D、设 $\vec{B D} = \frac{c}{2 b + c} \vec{B C}$ ，且 $A D = 1$ ，则 $\frac{1}{b} + \frac{2}{c}$ 为定值

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20、对于 $△ A B C$ ，有如下判断，其中正确的判断是（）

A、若 $a = 2, A = 30 °$ ，则 $\frac{b + 2 c}{\sin B + 2 \sin C} = \frac{2 b + c}{2 \sin B + \sin C} = 4$ B、若 $a = 8, b = 10, B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 C、若点 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $\vec{A P} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| cos B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| cos C}), λ \in (0, + \infty)$ ，则点 $P$ 的轨迹经过 $△ A B C$ 的垂心 D、已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，若 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}, S_{△ A O C}, S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C, △ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} \cdot S_{△ A B C} = 1 : 6$

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