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相关试卷

1、若函数 $f (x)$ 满足下列条件：在定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0} + 1) = f (x_{0}) + f (1)$ 成立，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $M$ ；反之，若 $x_{0}$ 不存在，则称函数 $f (x)$ 不具有性质 $M$ .

(1)、判断函数 $f (x) = 2^{x}$ 是否具有性质 $M$ ，若具有性质 $M$ ，求出对应的 $x_{0}$ 的值；若不具有性质 $M$ ，说明理由.

(2)、已知函数 $h (x) = \lg \frac{a}{x^{2} + 2}$ 具有性质 $M$ ，求 $a$ 的取值范围.

(3)、证明函数 $g (x) = 3^{x} + x^{2}$ 具有性质 $M$ .

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α (α \in (0, \frac{π}{2}))$ 和角 $β (β \in (\frac{π}{2}, π))$ 的顶点均与坐标原点 $O$ 重合，始边均为 $x$ 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于 $P, Q$ 两点，且 $P, Q$ 两点关于 $y$ 轴对称.

(1)、若点 $P$ 的纵坐标为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} - α) - \sin (- α)}{\sin α + \cos (π + α)}$ 的值；

(2)、若 $\sin (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，求 $\sin (\frac{π}{6} + α)$ 的值；

(3)、若 $α \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos (β - \frac{π}{6})$ 的最小值及取得最小值时相应的 $β$ 值.

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3、已知函数 $f (x) = \lg (2 - x) - \lg (2 + x)$ .

(1)、求函数的 $f (x)$ 定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义证明你的结论；

(3)、若函数 $f (x) \leq 0$ ，求实数 $x$ 的取值范围.

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4、设集合 $A = \{x |- 5 \leq 2 x - 1 \leq 9\}, B = \{x |a x^{2} + b x + 1 > 0\}$ .

(1)、若 $B = \{x |- 1 < x < 1\}$ ，求 $b - a$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，求 $(∁_{R} B) \cap A$ .

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5、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} b x, x < 0, \\ x^{2} - b x + \frac{1}{4}, x \geq 0 \end{cases}$ 若存在点 $A (a, a)$ 在函数 $f (x)$ 的图象上，则 $b$ 的一个取值为， $b$ 的最小值为．

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6、已知 $m, n$ 为正实数且满足 $m + 2 n = 2$ ，则 $m n$ 的最大值是， $\sqrt{m} + \sqrt{2 n}$ 的最大值为.

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7、函数 $y = \cos 2 x$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, a]$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是.

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8、 $\tan \frac{2 π}{3} =$ .

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9、对于函数 $f (x) = \frac{| x | + 2}{x^{2} - 4}$ ，下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称； B、 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递减； C、当 $x \in (- 2, 2)$ 时， $f (x)$ 有最大值； D、 $f (x)$ 的值域为 $R$ ；

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10、点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量 $Δ L$ （单位： $dB$ ）与传播距离 $r$ （单位： $m$ ）的关系式为 $Δ L = 10 \cdot lg (π r^{2}) + k$ ，其中 $k$ 为常数.当传播距离为 $r_{1}$ 时，衰减量为 $Δ L_{1}$ ；当传播距离为 $r_{2}$ 时，衰减量为 $Δ L_{2}$ .若 $r_{2} = 2 r_{1}$ ，则 $Δ L_{2} - Δ L_{1}$ 约为（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.3$ ）

A、6dB B、4dB C、3dB D、2dB

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11、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，开区间 $I \subseteq D$ ，则“ $\forall x_{1} \in I, \exists x_{2} \in I$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ”是“ $y = f (x)$ 在 $I$ 上是减函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知 $a = {(\frac{2}{3})}^{\frac{3}{2}}, b = {(\frac{3}{2})}^{\frac{2}{3}}, c = \log_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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13、函数 $f (x) = 4^{x} - 2^{x}$ （）

A、有最大值，也有最小值 B、没有最大值，有最小值 C、有最大值，没有最小值 D、没有最大值，也没有最小值

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x - 3, x \leq 0 \\ f (x - 2) + 2, x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (2) =$ （）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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15、已知 $A =$ {第一象限角}， $B =$ {锐角}， $C =$ {小于 $90 °$ 的角}，那么 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的关系是（）

A、 $B = A \cap C$ B、 $B \cup C = C$ C、 $A \subseteq C$ D、 $A = B = C$

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16、以下函数中，既是奇函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = |x|$ C、 $f (x) = \sin x$ D、 $f (x) = - x^{3}$

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17、设全集 $U = R$ ， $A = \{- 2, - 1, 1\}$ ， $B = \{x |x^{2} - x \leq 0\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{- 2, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 1\}$

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18、“ $m = - 1$ ”是“直线 $m x - y + 1 = 0$ 与直线 $(m + 2) x - m y + 2 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}) cos φ + cos (2 x + \frac{π}{6}) sin φ (0 < φ < π)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称．

(1)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的最值及取最值时的 $x$ 的值；

(2)、若 $0 < α < π$ ，且 $f (\frac{α}{2}) = \frac{1}{4}$ ，求 $cos (α + φ)$ ．

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20、某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $n (n \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 n^{2} - 2 n)$ 万元，每年的销售收入98万元．

(1)、估计该设备从第几年开始实现总盈利；

(2)、使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．
哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额 $= \frac{总盈利额}{年度}$ ）

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