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相关试卷

1、某高一学生在周末发展数学兴趣，研究平面向量和解三角形的相关内容时，学习了以下定理，尝试解决一些问题.
塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 $\frac{B D}{C D} \cdot \frac{C E}{A E} \cdot \frac{A F}{B F} = 1$ .
塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB 上分别各取一点D，E，F，若有 $\frac{B D}{C D} \cdot \frac{C E}{A E} \cdot \frac{A F}{B F} = 1$ ，则AD，BE，CF 三线共点.
角元塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D} \cdot \frac{\sin ∠ C B E}{\sin ∠ A B E} \cdot \frac{\sin ∠ A C F}{\sin ∠ B C F} = 1$ .
角元塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB上分别各取一点D，E，F，若有则 $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D} \cdot \frac{\sin ∠ C B E}{\sin ∠ A B E} \cdot \frac{\sin ∠ A C F}{\sin ∠ B C F} = 1$ ，则AD，BE，CF 三线共点.

(1)、如图1，在△ABC中，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，其中F，D满足 $\vec{A F}$ $= \frac{1}{2} \vec{F B} ， \vec{B D} = \vec{D C} ，$ 利用塞瓦定理，求点 E 在线段CA 上的位置；若 $\vec{B P} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C} ，$ 求 $\frac{λ}{μ};$

(2)、利用塞瓦定理证明角元塞瓦定理；

(3)、如图2，过△ABC的内心Ⅰ分别作BC，CA，AB 的垂线，交以Ⅰ为圆心的圆于点D，E，F，利用角元塞瓦定理逆定理证明AD，BE，CF 三线共点.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $△ P A D$ 为等边三角形， $P B = 2 \sqrt{6}$ ， E，F分别是棱 $A B$ ， $A D$ 的中点.

(1)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

(2)、在棱 $P C$ 上是否存在点G，使得平面 $P E F //$ 平面 $B D G$ ?若点G存在，求出 $\frac{P G}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

(3)、若H是棱 $P C$ 的中点，求二面角 $P - B D - H$ 的正弦值.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 a c sin B + \sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、已知 $D$ 为 $B C$ 边上一点，若 $∠ B A D = \frac{1}{4} ∠ B A C, A B = 4, A C = 6$ ，求 $A D$ 的长.

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4、为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间 $[40, 100]$ ，其频率分布直方图如图所示．

(1)、求m的值；

(2)、用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩；

(3)、现用分层抽样的方法从区间 $[40, 50)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在 $[80, 90)$ 的概率．

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5、已知函数 $f (x) = sin ω x - \sqrt{3} cos ω x$ （其中 $ω > 0, x \in R$ ）的最小正周期为 $2 π$ .

(1)、若 $tan α = 2 \sqrt{3}$ ，求 $\frac{f (α)}{f (α + \frac{π}{2})}$ 的值；

(2)、已知 $f (θ) = \frac{4}{5}, θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin θ$ 的值.

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6、已知一组数据 $x_{1} 、 x_{2} 、 \dots 、 x_{n}$ 的方差为 $2$ ，则数据 $3 x_{1} - 1$ 、 $3 x_{2} - 1$ 、……、 $3 x_{n} - 1$ 的方差为.

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7、盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件 $A =$ “两个球颜色相同”， $B =$ “第1次取出的是红球”， $C =$ “第2次取出的是红球”， $D =$ “两个球颜色不同”．则（）

A、 $A$ 与 $D$ 互为对立事件 B、 $B$ 与 $C$ 互斥 C、 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、 $P (C) = \frac{1}{2}$

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8、设m，n为直线，α，β为平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ α, m / / β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m / / β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ α$

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9、如图1，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D, A D = C D = C B = \frac{1}{2} A B = 2$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，使得点 $D$ 落在点 $P$ 的位置，得到三棱锥 $P - A B C$ ，如图2所示.则当二面角 $P - A C - B$ 的平面角的大小为 $\frac{π}{3}$ 时，三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $7 π$ B、 $14 π$ C、 $21 π$ D、 $28 π$

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10、如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知 $A B = 4 cm$ ， $A_{1} B_{1} = 10 cm$ ，棱台的高为 $4cm$ ，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（）

A、160元 B、128元 C、97.5元 D、86.875元

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11、某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间 $[50, 100]$ 内，按分数分成5组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论正确的是（）

A、成绩在 $[80, 90)$ 上的人数最多 B、成绩不低于70分的学生所占比例为70% C、50名学生成绩的平均分小于中位数 D、50名学生成绩的极差为50

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为S.若 $a = 1$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，且 $2 S = cos B + b cos A$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{7π}{12}$

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13、 $\frac{sin 10 ° - 2 cos 20 °}{cos 10 °} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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14、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $(\vec{a} + 2 \vec{b})$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$ B、 $(2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5})$ C、 $(2 \sqrt{5}, \sqrt{5})$ D、 $(3, 3)$

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15、已知向量 $\vec{m} = (3, 1)$ ， $\vec{n} = (- 1, k)$ ，若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则k的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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16、已知 $z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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17、已知函数 $f (x) = \ln (e^{2 x} + 1) + k x$ 是偶函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = \ln [m (e^{x} - 1)]$ 有且仅有一个实数根，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、某企业生产某批产品按产品质量（单位：g）从高到低依比例划定A，B，C，D，E五个等级，A等级优于B等级，B等级优于C等级，C等级优于D等级，D等级优于E等级．其中A等级产品占该批产品的12%，B等级产品占该批产品的32%，C等级产品占该批产品的37%，D等级产品占该批产品的15%，E等级产品占该批产品的4%．现从该批产品中随机抽取100件产品对其质量进行分析，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中 $5 a = 2 b$ ．

(1)、求图中a，b的值；

(2)、根据频率分布直方图，估计企业生产的该批产品的质量的平均数（同一组的值用该组区间的中点值作为代表）；

(3)、用样本估计总体的方法，估计该批产品中C等级及以上等级的产品质量至少为多少g？

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19、（多选）已知函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，则以下结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调减区间是 $(0, 2)$ B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正实数 $k$ ，使得 $f (x) > k x$ 成立 D、对任意两个正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 则 $x_{1} + x_{2} > 4$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ， $a_{n} \neq 0$ ，且 $\frac{1}{2^{a_{2}} + 1} + \frac{1}{2^{a_{2020}} + 1} \leq 1$ ．（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，则 $S_{2021} \geq 0$ B、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，则 $a_{1011} \leq 0$ C、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，则 $T_{2020} > 0$ D、若数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，则 $a_{2020} < 0$

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