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相关试卷

1、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $2 a b = a + 4 b$ ，则（）

A、 $a b$ 的最小值是4 B、 $a + b$ 的最小值是 $\frac{9}{2}$ C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是8 D、 $\frac{1}{a - 2} + \frac{2}{2 b - 1}$ 的最小值是2

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 - 2 a) x + 3, x > 0, \\ x^{2} - 2 a x + a^{2} + 1, x \leq 0, \end{array}$ 若 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (0)$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \sqrt{2}]$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $[0, \frac{3}{2}]$ D、 $[0, \sqrt{2}]$

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3、已知 $0 < a < b$ 则下列大小关系正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $- a > - b$ D、 $a + 2 > b + 1$

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4、设集合 $A = \{0, 3\}$ ， $B = \{0, 3, 4\}$ ， $C = \{1, 2, 3\}$ ，则 $(B \cup C) \cap A =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ B、 $\emptyset$ C、 $\{0, 3\}$ D、 $\{0\}$

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5、已知函数 $f (x) = x + sin x - a x cos x$ ．

(1)、若 $x = 2 π$ 是 $f (x)$ 的一个极值点．
（i）求 $a$ 的值：
（ii）判断 $f (x)$ 在 $x = 2 π$ 处取得极大值还是极小值，并说明理由；

(2)、若对任意 $x \in [0, \frac{π}{2}], f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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6、设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $F (1, 0)$ 是 $C$ 的右焦点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A, B$ 是 $C$ 上的两点，且 $∠ A F B = 90 °$ ．
（i）设直线 $A B$ 的斜率为 $- \frac{3}{2}$ ，求直线 $A B$ 的方程；
（ii）求 $△ A B F$ 面积的最大值与最小值．

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7、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A A_{1} D_{1} D ⊥$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ ，且 $B D = 2$ ， $A D = A B = D D_{1} = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A 、 B 、 C_{1} 、 D_{1}$ 四点共面；

(2)、若 $C D = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求二面角 $A - B C_{1} - C$ 的正弦值

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{2} a_{n} \leq a_{n + 1} \leq 2 a_{n} ， n \in N^{*} ， a_{1} = 1$ ．

(1)、若 $a_{5} = 16$ ，求 $a_{3}$ ；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，求 $d$ 的取值范围．

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9、为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于 $170 cm$ 的关系，调查了某高三年级学生，整理得到如下列联表：
身高
性别
低于 $170 cm$
不低于 $170 cm$
合计
男
9
91
100
女
90
10
100
合计
99
101
200

(1)、在这200名学生中随机选两名学生身高均不低于 $170 cm$ 的概率是多少？

(2)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联，解释所得结论的实际含义．
附 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (x^{2} \geq k)$
0.05
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

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10、一袋中有4个白球和3个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中，如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复3次这样操作后，记袋中的白球个数为 $X$ ，则 $E (X) =$ ．

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11、已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，且 $\sqrt{3} c sin A - a cos C = 2 c - b$ ，则 $A =$ ．

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12、若直线 $y = a x - 3$ 是曲线 $y = ln x$ 的切线，则 $a =$ ．

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13、一家大型超市的店长为了解本店日销售情况，记录了过去100天的日销售营业额（单位：万元）并将数据整理下表
日销售额
$[100 ， 150 ）$
$[150 ， 200)$
$[200 ， 250)$
$[250 ， 300)$
$[300 ， 350)$
频数
5
20
40
30
5
据表中数据，结论中正确的是（　　）

A、100天日销售营业额的中位数小于250万元 B、100天日销售营业额的平均值为230万元 C、100天日销售营业额的第75百分位数介于200~250之间 D、100天日销售营业额的极差介于150~250之间

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14、已知向量 $\vec{a} = (5, x)$ ， $\vec{b} = (- 5, x)$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、 $\forall x \in R$ ， $x \neq 0$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\exists x \in R$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $\forall x \in R$ ， $x \neq 0$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$

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15、已知圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ ，直线 $l ： x + y + m = 0$ ．若直线 $l$ 上存在点 $P$ ，使得过点 $P$ 的直线与圆 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，且满足 $|A B| = \sqrt{2} ， \vec{P A} = \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $- 5 \sqrt{2} \leq m \leq 5 \sqrt{2}$ B、 $- 5 \sqrt{2} \leq m \leq 3 \sqrt{2}$ C、 $- 3 \sqrt{2} \leq m \leq 5 \sqrt{2}$ D、 $- 3 \sqrt{2} \leq m \leq 3 \sqrt{2}$

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16、若 $0 \leq x \leq y \leq z \leq 1$ ，则 $\sqrt{y - x} + \sqrt{z - x} + \sqrt{z - y}$ 的最大值是（）

A、0 B、 $\sqrt{2} +1$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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17、若定义在 $(0, + \infty)$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + f (6 - x) = 3 ln x$ ，则函数 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处的瞬时变化率为（　　）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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18、若函数 $f (x) = |{cos}^{2} ω x + 2 sin ω x cos ω x - {sin}^{2} ω x|$ 的最小正周期为2，则正实数 $ω =$ （　　）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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19、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $3 x + y = 0$ ，则其离心率为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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20、某学校为了解学生的视力情况，用比例分配的分层随机抽样方法进行抽样调查，拟从高一、高二、高三等三个年级共抽100名学生，已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生，则不同的抽样结果种数有（）

A、 $C_{400}^{20} C_{300}^{40} C_{300}^{40}$ B、 $C_{400}^{30} C_{300}^{35} C_{300}^{35}$ C、 $C_{400}^{35} C_{300}^{35} C_{300}^{35}$ D、 $C_{400}^{40} C_{300}^{30} C_{300}^{30}$

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身高性别	低于 $170 cm$	不低于 $170 cm$	合计
男	9	91	100
女	90	10	100
合计	99	101	200

日销售额	$[100 ， 150 ）$	$[150 ， 200)$	$[200 ， 250)$	$[250 ， 300)$	$[300 ， 350)$
频数	5	20	40	30	5

$P (x^{2} \geq k)$	0.05	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828