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相关试卷

1、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 3, 1)$

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量.

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2、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| \leq 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值为.

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3、如图， $△ S A B$ 为圆锥的轴截面， $A B = 2, S A = 3$ ，则从点 $A$ 出发沿圆锥的侧面再回到点 $A$ 的最短路线的长是.

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4、复数 $1 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p + q =$ ．

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5、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = - 1$ ，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in R, x_{1} \neq x_{2}$ ，存在常数 $a > 1$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > a$ ，则下列结论中可能成立的是（）

A、 $f (\frac{1}{a}) < \frac{1}{a}$ B、 $f (\frac{1}{a}) > \frac{1}{a - 1}$ C、 $f (\frac{1}{a - 1}) < \frac{1}{a - 1}$ D、 $f (\frac{1}{a - 1}) > \frac{a}{a - 1}$

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6、对于复数 $z, z_{1}, z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $z < 0$ ，则 $z^{2} > 0$ B、若 $z^{2} > 0$ ，则 $z \in R$ C、若 $|z_{1}| > |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ ，则 $|z_{1}| > |z_{2}|$

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7、下列说法正确的是（）

A、相等的线段在直观图中仍然相等 B、平行的线段在直观图中仍然平行 C、相等的角在直观图中仍然相等 D、面积相等的三角形在直观图中其面积仍然相等

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8、已知函数 $f (x) = k cos x + 2 x$ 与 $g (x) = {(x + 1)}^{2} - k$ 的图象在 $x \in (- 1, 1)$ 时有且只有一个交点，则 $k =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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9、已知 $△ A B C$ 满足： $a = c \cdot cos A$ ，则角 $A$ 的最大值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10、在 $Rt △ A B C$ 中， $C = \frac{π}{2}, C A = 3, C B = 4$ ，则 $|t \vec{C A} - (1 - t) \vec{C B}|$ 的最小值是（）

A、7 B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{12}{5}$

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11、已知函数 $f (x) = sin x + e^{x} - e^{- x} + 1$ ，则 $f (1) + f (- 1) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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12、对于向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} (\vec{c} \neq \vec{0})$ ，下列命题一定正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ B、若 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{b}, \vec{b}$ $/ /$ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{c}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量相等 D、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$

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13、若 $a > b, c > d$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $a c > b d$ C、 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ D、 $a + c > b + d$

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14、若复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 1$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $i$ D、 $- i$

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15、集合 $A = [- 1, 2], B = (0, 3)$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $[- 1, 0)$ C、 $[- 1, 3)$ D、 $[2, 3)$

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16、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 在边 $A C$ 上， $\vec{P C} = 2 \vec{A P}$ ， $|\vec{A B}| = 2$ ， $|\vec{B C}| = 3$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、求 $\vec{B P}$ 的模；

(2)、求向量 $\vec{B A}$ 与 $\vec{B P}$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $M$ 在边 $A B$ 上，求 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的范围．

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17、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $B C / / A D$ ， $B C = \frac{1}{2} A D$ ，面 $P B C \cap$ 面 $P A D = l$ ， $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求证： $l / / A D$ ；

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18、设复数 $z_{1} = m^{2} - m - 2 + (m - 2) i$ ， $z_{2} = n + (n - 2) i$ ， $z_{3} = m + n i$ $(m, n \in R)$ .

(1)、若 $z_{1}$ 是纯虚数， $z_{2}$ 为实数，求 $|z_{3}|$ ；

(2)、若 $m = 3$ ，设 $z_{1} + i = (a + b i) \cdot (\bar{z_{1}} - i)$ $(a, b \in R)$ ，求 $a + b$ 的值.

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19、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = \sqrt{3}, A A_{1} = 2$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

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20、已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $\frac{2 - i}{i (1 + i)} =$

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