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相关试卷

1、已知集合 $M = {x ∣ 3 x + 2 \leq 8}$ ， $N = {0, 1, 2, 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2}$ D、 $\emptyset$

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2、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 所在平面内有一点 $D$ 满足 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，且 $C D = 2$ ．

(1)、若 $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $∠ C D B = 120^{\circ}$ ，当 $\frac{A C}{B C}$ 取得最小值时，求 $B D$ 的值．

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3、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 2$ ．

(1)、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值．

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\tan A + \tan B + \tan C > 0$ ，则 $△ A B C$ 可以是钝角三角形 B、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 平面内有一点 $O$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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5、如图，已知圆台形水杯（不计厚度）内盛有牛奶，杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面到杯底的距离为水杯高度的一半，则（）

A、该水杯的侧面积为12π B、该水杯中牛奶的体积为 $\frac{19}{6} π$ C、该水杯中牛奶的体积为3π D、该水杯外接球的表面积为 $\frac{425}{16} π$

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6、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ 满足 $∠ A^{'} C^{'} B^{'} = 45 °$ ， $∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60 °$ ．由C点测得B点的仰角为 $15 °$ ， $B B^{'}$ 与 $C C^{'}$ 的差为100；由B点测得A点的仰角为 $45 °$ ，则A，C两点到水平面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高度差 $A A^{'} - C C^{'}$ 约为（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）（）

A、346 B、373 C、446 D、473

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7、已知 $P$ 是边长为2的正八边形 $A B C D E F G H$ 内的一点， $O$ 为其中心，则 $\vec{O E} \cdot \vec{A P} + \vec{O B} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 \sqrt{2}, 4 + 2 \sqrt{2})$ B、 $(- 4, 4 + 2 \sqrt{2})$ C、 $(- 2, 4)$ D、 $(- 4, 4)$

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8、已知正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，侧棱长为1，则其体积为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{6 \sqrt{3}}{7}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{6 \sqrt{2}}{7}$

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9、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 边上的点， $\vec{B C} = 3 \vec{E C}$ ，点 $F$ 是线段的 $D E$ 中点，若 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $μ =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、1 C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 4, b = 5, c = 6$ ，则 $sin C =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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11、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是一个平面图形的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = A^{'} B^{'} = 2$ ， $∠ O^{'} A^{'} B^{'} = 90 °$ ，则这个平面图形的周长是（）

A、 $8 + 2 \sqrt{2}$ B、 $8 + 4 \sqrt{2}$ C、 $4 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3}$ D、 $4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$

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12、设复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且满足 $z - \bar{z} = \frac{1 + i}{1 - i}$ ， i为虚数单位，则复数 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\cos A, \sin B)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $△ A B C$ 的周长为 $5 + \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $a = 2$ ，过 $B$ 点在 $△ A B C$ 所在平面内作 $B D ⊥ B C$ ，且 $∠ A D B = \frac{2 π}{3}$ ，求线段 $A D + B D$ 的最大值．

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14、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点G，E，F，P分别为棱 $A B$ ， $D_{1} C_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点，点M是棱 $A_{1} D_{1}$ 上的一点，且 $M D_{1} = \frac{3}{4} A_{1} D_{1}$

(1)、求证：D，B，F，E四点共面；

(2)、求证： $D_{1} G //$ 平面 $D B F E$ ；

(3)、棱 $A_{1} B_{1}$ 上是否存在一点N使平面 $P M N //$ 平面 $D B F E$ ？若存在，求 $\frac{A_{1} N}{A_{1} B_{1}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $(c - 2 a) cos B = b (2 cos A - \sqrt{3} sin C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $D$ 是边 $A C$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $a = 2$ ， $B D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线， $a = 2$ ， $B D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $b$ 的长.

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16、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ， $\vec{D E} = 3 \vec{E C}$ ， $\vec{A E} = 3 \vec{A F}$ .

(1)、用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示向量 $\vec{A E}$ ， $\vec{B F}$ ；

(2)、求向量 $\vec{A E}$ ， $\vec{B F}$ 夹角的余弦值.

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17、已知复数 $z_{1} = 2 + a i (a \in R), i (1 - z_{2}) = 1$ ．

(1)、求 $z_{2} + \bar{z_{2}}$ ；

(2)、求 $|z_{1} - z_{2}|$ 的最小值；

(3)、若 $z_{1} z_{2}$ 的实部大于 $0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18、在 $△ A B C$ 中，已知三边之比为 $2 : 3 : 4$ ，则该三角形的最小角的余弦值为．

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19、如图，正四面体 $A B C D$ 的四个顶点都在球 $O$ 的表面上，且球 $O$ 的表面积为 $24 π$ ，则（）

A、 $A B = 4$ B、四面体 $A B C D$ 的体积为 $16 \sqrt{2}$ C、过点 $O$ 且平行于平面 $B C D$ 的平面截四面体 $A B C D$ 所得的截面面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ D、过 $O, A, C$ 三点的平面截四面体 $A B C D$ 所得的截面面积为 $4 \sqrt{2}$

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20、复数 $z = a^{2} - 4 + (a + 2) i$ ， $a \in R$ ， $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、若 $z$ 为纯虚数，则 $a = \pm 2$ B、若 $a = - 1$ ，则 $z \cdot \bar{z} = 10$ C、若 $a = 0$ ，则 $\frac{\bar{z}}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、若 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限，则 $a < - 2$

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