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相关试卷

1、已知 $\tan α = \frac{3}{4}$ .

(1)、求 $\frac{\sin α + \cos α}{2 \sin α - \cos α}$ 的值；

(2)、若 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (α + β) = \frac{1}{2}$ ，求 $\sin β$ 的值.

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2、设集合 $A = \{x | - 2 \leq x \leq 5\}$ ，集合 $B = \{x | m - 4 < x \leq 3 m + 1\}$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求集合 $(∁_{R} A) \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

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3、已知函数 $f (x) = \lg \frac{x}{1 - x}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $f (\cos^{2} θ) + f (\sin^{2} θ) =$ .

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4、已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $4 a + b$ 的最小值为.

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5、函数 $f (x) = 2^{|x|}$ 的值域为.

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6、已知函数 $f (x) = \sin x - \cos x$ ，若 $f (α) + f (2 α) + f (3 α) = 0$ ，则 $\tan α$ 的取值可能是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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7、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（）

A、 $A = 2$ B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度后关于原点对称 D、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度后关于 $y$ 轴对称

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8、已知 $a > b > 0$ ， $c \in R$ ，则（）

A、 $a c^{2} \geq b c^{2}$ B、 $a + c > b + c$ C、 $a^{\frac{2}{3}} < b^{\frac{2}{3}}$ D、 $\frac{b}{a} < \frac{b + 1}{a + 1}$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x - 1, x < 1 \\ x^{2} - a x, x \geq 1 \end{array}$ ，若存在 $x_{1} \neq x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0] \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup [1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup (1, + \infty)$

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10、函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{|x| - 2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11、“ $a > 0$ ”是“关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x - 1}{x - 2} < 0$ 的解集为 $\{x | \frac{1}{a} < x < 2\}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、设 $a = {(\frac{1}{2})}^{- 0.3}$ ， $b = 3^{0.3}$ ， $c = \log_{0.3} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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13、在 $△ A B C$ 中，下列关系一定成立的是（）

A、 $\cos (A + B) = \cos C$ B、 $\sin (A + B) = \sin C$ C、 $\sin \frac{A + B}{2} = \sin \frac{C}{2}$ D、 $\cos \frac{A + B}{2} = \cos \frac{C}{2}$

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14、已知扇形的弧长为2，面积为4，则扇形的圆心角是（）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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15、下列函数与 $f (x) = x$ 是同一函数的为（）

A、 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ C、 $g (t) = t$ D、 $g (x) = e^{\ln x}$

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16、已知 $1 \in \{- 1, 0, a^{2}\}$ ，则 $a =$ （）

A、0或1 B、 $- 1$ 或1 C、 $- 1$ D、1

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17、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = a x$ 经过点 $P (\frac{1}{4}, 1)$ ，且 $F$ 为 $C$ 的焦点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程.

(2)、设 $A$ ， $B$ 为 $C$ 上两个不同的点，且 $O, A, B$ 三点不共线，直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 1$ .
（i）试问直线 $A B$ 是否经过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
（ii）若直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点位于 $O, F$ 之间，设 $F, O$ 两点到直线 $A B$ 的距离之和为 $d_{1}$ ， $A, B$ 两点到直线 $O F$ 的距离之和为 $d_{2}$ ，求 $d_{1} d_{2}$ 的取值范围.

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18、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 4$ ， $A B ⊥ A C$ ， $B D = \frac{2}{3} B B_{1}$ ， $A E = \frac{3}{4} A C$ .

(1)、求证： $A_{1} D ⊥ B_{1} E$ .

(2)、求直线 $B_{1} E$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值.

(3)、在棱 $B C$ 上是否存在点 $F$ ，使得平面 $B_{1} E F$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 夹角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{21}}{28}$ ?若存在，求 $\frac{B F}{B C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(\frac{1}{a c} - \frac{1}{2 b c}) (b^{2} + a^{2} - c^{2}) = cos A$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，求 $\frac{2 sin \frac{C}{2} sin \frac{A - B}{2}}{sin B}$ 的取值范围.

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20、已知点 $M (4, - 1)$ ，点 $N$ 在圆 $A$ ： $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 上运动，线段 $M N$ 的中点 $B$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、过圆心 $A$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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