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相关试卷

1、如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ．点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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2、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C_{1} : x^{2} = 4 y$ 与 $C_{2} : x^{2} = - 8 y$ ，过点 $(0, 2)$ 的直线与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $A O$ 和 $B O$ 分别与 $C_{2}$ 交于点 $D$ 和 $E$ （异于原点 $O$ ）．

(1)、证明： $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 为定值；

(2)、证明： $A B / / D E$ ；

(3)、设 $P$ 为直线 $A E, B D$ 的交点， $Q (0, 14)$ ，求 $|P Q|$ 的最小值．

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3、在平面直角坐标系中，圆 $C$ 经过点 $(3, 0)$ 和 $(0, 1)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $l_{1} : 2 x + y - 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l_{2} : 2 x - y + 7 = 0$ ， $P$ 为 $l_{2}$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线 $P A$ ， $P B$ 切点分别为 $A$ ， $B$ ，求 $| P C | \cdot | A B |$ 的最小值，并求出此时直线 $A B$ 的方程.

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4、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点P为椭圆上一点， $P A ⊥ P F$ ，且直线PA恰好经过OB中点，则该椭圆的离心率为．

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A$ 为椭圆的上顶点，直线 $A F_{2}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $B$ ，过 $F_{1}$ 与 $A B$ 垂直的直线与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $cos ∠ A F_{1} B = \frac{1}{7}$ ， $|M N| = 6$ ，则（）

A、 $3 |A F_{2}| = 5 |B F_{2}|$ B、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ C、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $△ A M N$ 的周长为13

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6、抛掷一颗质地均匀的骰子一次，记事件M为“向上的点数为1或4”，事件N为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（）

A、M与N互斥但不对立 B、M与N对立 C、 $P (M N) = \frac{1}{6}$ D、 $P (M + N) = \frac{2}{3}$

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7、已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，直线 $l : 3 x - 4 y - m = 0$ ，若直线 $l$ 上存在点 $P$ ，使得 $|P A| = 2 |P B|$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{80}{3}]$ B、 $[- \frac{80}{3}, 0]$ C、 $[- \frac{70}{3}, \frac{10}{3}]$ D、 $[- \frac{10}{3}, \frac{70}{3}]$

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8、已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 4 x$ ，抛物线 $C_{2} : x^{2} = 4 y$ ，与 $C_{1}, C_{2}$ 各有一个交点的直线 $l$ 有（）

A、一条 B、两条 C、三条 D、无数条

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9、设函数 $f (x) = \frac{a x + b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $(- 1, 1)$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）判断 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式 $f (t - 1) + f (t^{2}) < f (0)$ .

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10、根据下列条件，求 $f (x)$ 的解析式．

(1)、已知 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = x^{2} + 4 x + 1$ ；

(2)、已知 $f (x)$ 是二次函数，且满足 $f (0) = 1$ ， $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ；

(3)、已知 $f (x)$ 满足 $2 f (\frac{1}{x}) + f (x) = x (x \neq 0)$ ．

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11、已知 $a > 0, b > 0, c > 0$ ， $a^{2} - a b + 9 b^{2} - 5 c = 0$ ，当 $\frac{c}{a b}$ 最小时， $x^{2} - 3 x \geq a + b - \frac{1}{3} c$ 恒成立，则 $x$ 的取值集合是.

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12、已知 $f (\frac{x}{2} - 1) = x + 3$ ，则 $f (6)$ 的值为．

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13、若 $m, n$ 都为正实数，且 $m + n = 2$ ，则（）

A、 $m n$ 的最大值为11 B、 $n^{2} + 2 m < 3$ C、 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值为2 D、 $\frac{2}{m} + \frac{8}{n}$ 的最小值为9

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14、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则不等式 $f (x + 5) > \frac{f (x^{2} - 25)}{x - 5}$ 的解集为（）

A、 $(5, 6)$ B、 $(5, + \infty)$ C、 $(6, + \infty)$ D、 $(6, 10)$

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15、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 $(2, 4]$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(- \infty, 4)$ D、 $(- \infty, 2) \cup (2, 4]$

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16、已知 $2 < a < 4$ ， $- 2 < b < - 1$ ，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(5, 6)$ D、 $(3, 6)$

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17、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$

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18、已知函数 $f (x + 1) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{x + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并根据定义证明；

(3)、设函数 $h (x) = 3^{x} + a$ ，若对任意 $x_{1} \in [1, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = h (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 6$ .

(1)、求 $a b$ 的最大值；

(2)、求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值；

(3)、求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值.

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x - 2, x < 1 \\ \frac{1}{4} (x - 1), x \geq 1 \end{array}$ .

(1)、求 $f (f (3))$ 的值；

(2)、作出函数 $y = |f (x)|$ 在 $[- 5, 5]$ 上的图象；

(3)、指出函数 $y = |f (x)|$ 在 $[- 5, 5]$ 上的单调区间及值域.

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