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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $D$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $F$ 是棱 $B C$ 上靠近 $C$ 的三等分点， $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上，且 $A D ⊥ E C_{1}$ ．

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求平面 $D E C_{1}$ 与平面 $A E F$ 的夹角的余弦值．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $3 S_{n} = 4 a_{n} - 2$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，并求出通项公式；

(2)、设函数 $f (x) = x^{2} \cdot (ln x - \frac{1}{2})$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = f^{'} (a_{n})$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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3、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为双曲线上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心为 $I$ ，直线 $I F_{1}$ ， $I F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $5 k_{1} + k_{2} = 0$ ，则该双曲线的渐近线夹角的正切值为．

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = 2$ ，且 $(\vec{b} - 2 \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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5、已知 $x, y$ 均为正数，且 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为.

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6、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，用一平面 $α$ 截该三棱锥分别与棱 $A B$ ， $P B$ ， $P C$ ， $A C$ 相交于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ，如图所示，记向量 $\vec{n}$ 为平面 $α$ 的一个法向量，下列条件中，使 $D E ⊥ D G$ 的是（）

A、若 $\vec{n} // \vec{A B}$ B、若 $\vec{n} // \vec{P C}$ C、若 $\vec{n} // \vec{P B}$ D、若 $\vec{n} // \vec{A C}$

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7、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b \cos C$ ， $a \cos A$ ， $c \cos B$ 成等差数列，且 $a \sin C = \sqrt{3} (1 - a \cos C)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $b = 1$ C、 $△ A B C$ 周长取值范围为 $(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}, 2 + \sqrt{3})$ D、若 $O$ 是 $△ A B C$ 外接圆的圆心，则 $△ O A C$ 和 $△ O B C$ 面积之差的取值范围为 $(- \frac{\sqrt{3}}{16}, \frac{\sqrt{3}}{48}]$

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8、有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀
非优秀
甲班
10
$b$
乙班
$c$
30
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} (n = a + b + c + d)$ ，
$P (χ^{2} \geq k)$
0.05
0.025
0.010
0.005
$k$
3.841
5.024
6.635
7.879
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 $\frac{2}{7}$ ，则下列说法正确的是（）

A、甲班人数多于乙班人数 B、甲班的优秀率低于乙班的优秀率 C、表中 $c$ 的值为15， $b$ 的值为50 D、根据小概率值 $α = 0.025$ 的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”

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9、甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙班在每局中获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为 $X$ ，则 $P (X = 2) =$ （）

A、 $\frac{364}{729}$ B、 $\frac{348}{729}$ C、 $\frac{340}{729}$ D、 $\frac{20}{243}$

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10、已知球 $O$ 的半径为 $1$ ，圆锥内接于球 $O$ ，则圆锥体积的最大值为（）

A、 $\frac{16 π}{81}$ B、 $\frac{32 π}{81}$ C、 $\frac{16 π}{27}$ D、 $\frac{32 π}{27}$

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11、过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作斜率为正的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，且 $|A F| = 2 |B F|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12、将函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，且函数 $g (x)$ 是偶函数，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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13、 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，第5项为常数项，则该展开式的所有二项式系数的和为（）

A、1 B、32 C、64 D、128

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14、在复平面内，复数 $z = \frac{2 - i}{1 - 3 i}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、若 $A = \{0, - 1, 1\}$ ，则A的子集个数为（）

A、3 B、6 C、7 D、8

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16、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ A C$ ，且 $A D = A C$ .

(1)、 $△ A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\tan B = 3 \tan A$ .
①当 $a = 4$ 时，求 $\frac{c}{\cos B}$ 的值；
②当 $b = 4$ 时，求 $a c$ 的最大值.

(2)、若 $A B = 2 B C = 4$ ，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折成 $△ P A C$ ，使得平面 $P A C ⊥$ 平面 $A C D$ ，在四面体 $P A C D$ 中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{1}$ ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为 $P_{2}$ ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{3}$ ，试比较 $P_{1} 、 P_{2} 、 P_{3}$ 的大小.

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17、如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为 $r_{n}$ ，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为 $p_{n}$ ，则 $r_{5} =$ ； $p_{5} =$ .

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18、数据4，5，5，5，6，8，9，10的60%分位数为.

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19、 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，且 $a = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3} S$ ，下列选项正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、若 $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $b$ 取值范围是 $(2 \sqrt{3}, 4)$ D、若 $D$ 为 $B C$ 边上的中点，则 $A D$ 的最大值为 $4 (2 + \sqrt{3})$

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20、i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（）

A、 $|(8 - 6 i) i| = 10$ B、 $\frac{6 - 8 i}{i} = - 8 - 6 i$ C、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ D、若复数 $z$ 满足 $|z - i| = 1$ ，则 $|z - 1|$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$

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$P (χ^{2} \geq k)$	0.05	0.025	0.010	0.005
$k$	3.841	5.024	6.635	7.879

	优秀	非优秀
甲班	10	$b$
乙班	$c$	30