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相关试卷

1、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $P A = A C = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 是 $△ P B C$ 内的动点（含边界）且 $B D ⊥ C D$ ，下列结论正确的是（）

A、二面角 $C - A B - P$ 为直二面角 B、 $C P$ 与平面 $A P B$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ C、三棱锥 $A - B C D$ 的体积最大值为1 D、 $P D$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{39} - \sqrt{6}}{2}$

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2、每个正整数都可以唯一表示成以下形式： $\sum_{i = 1}^{2 k + 1} {(- 1)}^{i - 1} 2^{a_{i}} = 2^{a_{1}} - 2^{a_{2}} + \dots + 2^{a_{2 k - 1}} - 2^{a_{2 k}} + 2^{a_{2 k + 1}}$ ，其中 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{2 k} < a_{2 k + 1}, a_{i} \in N (1 \leq i \leq 2 k + 1)$ 且 $k$ 为该正整数的“长度”，例如 $5 = 2^{0} - 2^{2} + 2^{3}$ ， $7 = 2^{0} - 2^{1} + 2^{3}$ ．若正整数 $n (1 \leq n \leq 1024)$ 的“长度”为1，则这样的 $n$ 的个数为（）

A、 $C_{9}^{3}$ B、 $C_{10}^{3}$ C、 $C_{11}^{3}$ D、 $C_{12}^{3}$

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3、下列四个选项中，最大的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\log_{2} 3$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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4、已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 4 x + 2 y + 4$ ，则 $2 x + y$ 的最大值是（）

A、 $5 - 3 \sqrt{5}$ B、 $5 + 3 \sqrt{5}$ C、8 D、 $\frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{17}}{2}$

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5、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为2的奇函数，当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) = 4^{x} - 1$ ，则 $f (\frac{3}{2}) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、7 D、 $- \frac{1}{2}$

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、下列函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 为同一函数的是（）

A、 $f (x) = x + 1$ 和 $g (x) = \sqrt{{(x + 1)}^{2}}$ B、 $f (x) = x^{2} + x^{0}$ 和 $g (x) = \frac{x^{3} + x}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + x$ 和 $g (x^{2}) = {(x^{2} + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ D、 $f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2}}}$ 和 $g (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3 x}}{x}$

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，则“ $a^{2} + b^{2} - a b = c^{2}$ ”是“ $△ A B C$ 为等边三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知集合 $A = \{x | x < 3\}, B = \{y \in N | y^{2} < 10\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 3)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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10、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (2, \sqrt{2})$ ，一个焦点 $F$ 的坐标为 $(2, 0)$ .
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）设直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $k_{O A} \cdot k_{O B} = - \frac{1}{2}$ ，求 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{O B}$ 的取值范围.

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11、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = S_{n + 1} (2 a_{n} + 1) - a_{n} (2 S_{n} + 1)$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{2 n - 1} \cdot a_{2 n + 1}$ ，若数列 $\{b_{n}\}$ 的前m项和 $T_{m} = \frac{8}{33}$ ，求m的值.

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ 的顶点 $B (- 1, 2)$ ， $B C$ 边上中线 $A D$ 所在直线方程为 $5 x - 3 y - 3 = 0$ ， $A B$ 边上的高 $C H$ 所在直线方程为 $2 x + y - 9 = 0$ ，求：

(1)、顶点 $A$ 的坐标；

(2)、求直线 $B C$ 的方程．

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13、阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点 $P$ 到两定点 $A, B$ 的距离之满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = t (t > 0 且 t \neq 1)$ 为常数，则 $P$ 点的轨迹为圆．已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 和 $A (- \frac{1}{2}, 0)$ ，若定点 $B (b, 0)$ （ $b \neq - \frac{1}{2}$ ）和常数 $λ$ 满足：对圆 $O$ 上任意一点 $M$ ，都有 $| M B | = λ | M A |$ ，则 $λ =$ ， $Δ M A B$ 面积的最大值为．

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14、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若 $| B F_{2} | : | A B | : | A F_{2} | = 5 : 12 : 13$ ，则 $△ A B F_{2}$ 的面积为．

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15、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，直线 $l : x + m y + 2 m - 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线l过定点 $(- 2, 3)$ B、当 $m = \frac{12}{5}$ 时，直线l与圆C相切 C、当 $m = - 1$ 时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则 $| P Q ｜$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{34}}{2}$ D、若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则 $m = - \frac{12}{5}$

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16、在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ， $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $\vec{B N} + \vec{C N} = \vec{0}$ ，用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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17、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{2} = 7$ ， $S_{6} = 91$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、28 B、32 C、 $- 21$ D、28或 $- 21$

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18、设 $A (1, - 1)$ ， $B (5, 1)$ ，则以线段 $A B$ 为直径的圆的方程是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 20$ B、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 5$ C、 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 20$ D、 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 5$

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19、已知函数 $f (x) = {log}_{a} \frac{1 + x}{x - 1} (a > 0 ， a \neq 1)$

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、令函数 $g (x) = - a x^{2} + 6 (x - 1) a^{f (x)} - 5$ ，当 $x \in [2, 3]$ 时，求函数 $g (x)$ 的最大值；

(3)、若 $a > 1$ ，设函数 $h (x) = {log}_{2} \frac{x}{2} \cdot {log}_{2} \frac{x}{4}$ ，若存在 $x_{1} \in [2, 8]$ ，任意 $x_{2} \in [\frac{3}{2}, 2]$ ，使得 $h (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、已知关于 $x$ 的函数 $y = {log}_{\frac{1}{2}} (a x + a - 2)$ 在 $[- 4, - 2]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是．

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