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相关试卷

1、已知集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $B = \{x |0 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2, 3}$ B、 ${0, 1, 2, 3}$ C、 $[0, 3]$ D、 $(1, 3]$

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的第2项为3，其前5项和为25．数列 $\{b_{n}\}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 4$ ， $b_{3} + b_{2} = 80$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，
（ⅰ）证明 $\{c_{n}^{2} - c_{2 n}\}$ 是等比数列；
（ⅱ）证明 $\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{a_{i} a_{i + 1}}{c_{i}^{2} - c_{2 i}}} < 2 \sqrt{2}$ ， $n \in N^{*}$ ．

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3、设函数 $f (x) = e^{x + 1} + k x^{2}$ 在 $x = - 1$ 处的切线经过坐标原点，

(1)、求 $k$ ；

(2)、是否存在实数 $a, b$ 使得函数 $g (x) = f (x) + e^{- x} + a x$ 关于直线 $x = b$ 对称，若存在，求出 $a, b$ 的值，若不存在，说明理由；

(3)、若 $f (x) \geq c |x|$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围．

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4、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 1$ ， $B B_{1} = \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{6}$ ， $\vec{B_{1} D} = λ \vec{B_{1} C_{1}} (0 < λ < 1)$ ，

(1)、若 $A C_{1} //$ 平面 $A_{1} B D$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若二面角 $B_{1} - A_{1} B - D$ 与二面角 $D - A_{1} B - C_{1}$ 的大小相等，求 $λ$ 的值．

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5、已知动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (3 \sqrt{2}, 0)$ 的距离与它到定直线 $l : x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 的距离的比是常数 $\sqrt{2}$ ，

(1)、求动点 $M$ 的轨迹；

(2)、过上述轨迹上一点 $P$ 作轨迹的切线与两直线 $y = \pm x$ 分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，证明：三角形 $A O B$ 的面积是定值．

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6、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知 $2 a + b = 2 c \cos B$ ．
（1）求角C；
（2）若CD是角C的平分线， $A D = 2 \sqrt{7}$ ， $D B = \sqrt{7}$ ，求CD的长．

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7、空间直角坐标系中有一点 $P (x, y, z)$ ，其中 $x, y, z$ 均为正整数，若 $x y z = 2025$ ，则称点 $P$ 具有性质“2025高考大捷”，则具有性质“2025高考大捷”的不同的点 $P$ 共有个．

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8、已知函数 $g (x) = x + ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + 3$ ，若 $g (a x - 2 e^{x} + 2) < 3$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

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9、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的离心率为．

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10、已知 $△ A O B$ 的三个顶点分别是点 $A (4, 0)$ 、 $O (0, 0)$ 、 $B (0, 3)$ ，以下正确的是（）

A、 $△ A O B$ 的外接圆的标准方程 ${(x - 2)}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{25}{4}$ B、 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 6 x$ 上的动点，则 $|P A|$ 的最小值是 $4$ C、同时和 $△ A O B$ 三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于 $36$ D、 $P$ 是 $△ A O B$ 的内切圆上的动点，则点 $P$ 到三顶点的距离的平方和的取值范围是 $[18, 22]$

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11、已知函数 $f (x) = e^{2 |x|} + cos 2 x, (x \in R)$ ，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、函数 $f (x)$ 的最小值为2，无最大值 C、函数 $f (x)$ 在 $(- π, π)$ 上单调递增 D、不等式 $f (x - 1) < f (x)$ 的解集为 $(\frac{1}{2}, + \infty)$

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12、设两个随机变量 $X$ 、 $Y$ 满足 $X$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ， $Y$ 服从二项分布 $B (2, \frac{1}{2})$ ，则（）（若随机变量 $Z ～ N (μ, σ^{2})$ ， $P (μ - σ \leq Z \leq μ - σ) \approx 0.6826$ ）

A、 $E (X) < E (Y)$ B、 $D (X) < D (Y)$ C、 $P (X \leq 0) > P (Y \leq 0)$ D、 $P (X \leq 1) > P (Y \leq 1)$

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13、已知函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）满足 $f (1) > 1$ ，且函数 $y = \log_{a} (x^{2} - a x - 1)$ 在 $[2, 3]$ 上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(1, 4]$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, 4]$

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14、数列 $\{a_{n}\}$ 是公比不为1的等比数列，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则“ $\forall n \in N^{*}$ ， $T_{n} \geq T_{5}$ ”是“ $a_{5} \leq 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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15、如图所示，梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是平面图形 $A B C D$ 用斜二测画法得到的直观图， $A^{'} D^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = A^{'} B^{'} = 1$ ，则平面图形 $A B C D$ 中对角线 $A C$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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16、复数 $z$ 满足 $z i + 1 = 2 z + i$ ，则在复平面内，复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知集合 $A = \{x |- 1 \leq x^{3} \leq 1\}$ ， $B = \{x \in Z |x^{2} - x - 2 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0\}$ D、 $\{0, 1\}$

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18、对于给定的椭圆 $E_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，与之对应的另一个椭圆 $E_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = λ (λ > 0$ 且 $λ \neq 1)$ ，则称 $E_{1}$ 与 $E_{2}$ 互为共轭椭圆.已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 互为共轭椭圆， $A (2, 0)$ 是椭圆 $C$ 的右顶点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程.

(2)、不过点 $A$ 的直线 $l : x = m y + t$ 与椭圆 $C$ 交于 $B$ 、 $D$ ，且直线 $A B$ 与直线 $A D$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .
①证明：直线 $l$ 过定点.
②试问在 $x$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得直线 $B E$ 、 $D E$ 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.

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19、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x, a \in R$ .

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若存在实数 $b$ 使得 $x$ 轴为 $g (x) = f (x) - b$ 的切线，求 $b$ 的最大值.

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $D C = 2 A B = 4$ ， $P D = 2$ ，点 $M$ 在棱 $P C$ 上．

(1)、当 $M C = 2 M P$ 时，求证： $P A //$ 平面 $M B D$ ；

(2)、若直线 $P A$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ ，二面角 $P - B D - M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $P M$ ．

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