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相关试卷

1、“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为 $S_{球}$ ，体积为 $V_{球}$ ；圆柱的表面积为 $S_{圆柱}$ ，体积为 $V_{圆柱}$ ，则（）

A、 $S_{圆柱} : S_{球} = 3 : 2$ B、 $V_{圆柱} : V_{球} = 3 : 2$ C、 $S_{圆柱} : V_{圆柱} = 3 : 2$ D、 $S_{球} : V_{球} = 3 : 2$

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2、若 $\frac{1 - cos β}{sin β} = \frac{1}{3}$ ，则 $tan β =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、3

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3、我们把由半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆 $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1 (x < 0)$ 合成的曲线称作“果圆”（其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ， $a > b > c > 0$ ）.如图所示，设点 $F_{0}$ 、 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是相应椭圆的焦点， $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 和 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 是“果圆”与 $x$ 轴和 $y$ 轴的交点，若 $Δ F_{0} F_{1} F_{2}$ 是边长为1的等边三角形，则 $a$ ， $b$ 的值分别为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ， 1 B、 $\sqrt{3}$ ， 1 C、5，3 D、5，4

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4、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ ，则“ $φ = \frac{π}{2}$ 是函数 $f (x)$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、如图，已知直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ 且 $A B = B C = B B_{1} = 2$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 、 $B_{1} B$ 的中点， $G$ 为线段 $D E$ 上一动点.

(1)、求 $C_{1} F$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成角的正切值；

(2)、证明： $C_{1} F ⊥ A_{1} G$ ；

(3)、求锐二面角 $C_{1} - A_{1} G - B_{1}$ 的余弦值的最大值.

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6、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ ．

(1)、若直线 $l$ 过点 $A (- 1, 0)$ ，且与圆 $C_{1}$ 相切，求直线 $l$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为直线 $x = - \frac{3}{2}$ 上的点，满足：过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，它们分别与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相交，且直线 $l_{1}$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆 $C_{2}$ 截得的弦长相等．试求满足条件的点 $P$ 的坐标．

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7、已知：圆 $C$ 过点 $D (0, 1)$ ， $E (- 2, 1)$ ， $F (- 1, \sqrt{2})$ ， $P$ 是直线 $l_{1} : y = x - 2$ 上的任意一点，直线 $l_{2} : y = x + 1$ 与圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点.
（1）求圆 $C$ 的方程；
（2）求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的最小值.

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8、某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的高是长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 高的 $\frac{1}{2}$ ，且底面正方形 $A B C D$ 的边长为4， $A A_{1} = 2$ ．
（1）求 $A C_{1}$ 的长及该长方体的外接球的体积；
（2）求正四棱锥的斜高和体积．

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9、已知直线 $m : 2 x - y - 3 = 0$ 与直线 $n : x + y - 3 = 0$ 的交点为P.
（1）若直线l过点P，且点A(1，3)和点B(3，2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；
（2）若直线l₁过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，△ABO的面积为 $4$ ，求直线l₁的方程．

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10、若点A（x，y）满足C：（x+3）²+（y+4）² $\leq$ 25，点B是直线3x+4y=12上的动点，则对定点P（6，1）而言，| $\vec{P A} + \vec{P B}$ |的最小值为.

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11、已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ ， $P A = P B = \sqrt{3}$ ， $A C = 5$ ， $B C = 4$ ，且平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为．

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12、已知直线 $l_{1} : m x + y + 2 m - 3 = 0$ ， $l_{2} : m x + y - m + 1 = 0$ ，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离最大值为.

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13、已知圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，直线 $l : x + y + 2 = 0, P$ 为直线 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $M$ 的切线 $P A ､ P B$ ，切点为 $A ､ B$ ，则下列各选项正确的是（）

A、四边形 $M A P B$ 面积的最小值为4 B、四边形 $M A P B$ 面积的最大值为8 C、当 $∠ A P B$ 最大时， $|P A| = 2$ D、当 $∠ A P B$ 最大时，直线 $A B$ 的方程为 $x + y = 0$

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14、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、直线 $A D_{1}$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ B、直线 $A D_{1}$ 与平面ABCD所成角为 $\frac{π}{3}$ C、二面角 $D_{1} - A B - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ D、平面 $A B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} C$

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15、三条直线 $x + y = 0$ ， $x - y = 0$ ， $x + a y = 3$ 构成三角形，则 $a$ 的值不能为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、－2

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16、已知点 $P$ 在直线 $y = - x - 3$ 上运动， $M$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点， $N$ 是圆 ${(x - 9)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ 上的动点，则 $|P M| + |P N|$ 的最小值为（）

A、13 B、11 C、9 D、8

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17、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2$ ，若棱 $A B$ 上存在点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ P C$ ，则 $A D$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 2)$ B、 $(1, \sqrt{2}]$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 2)$

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18、过点 $P (1, 3)$ 作直线 $l$ ，若 $l$ 经过点 $A (a, 0)$ 和 $B (0, b)$ ，且 $a, b$ 均为正整数，则这样的直线 $l$ 可以作出（），

A、 $1$ 条 B、 $2$ 条 C、 $3$ 条 D、无数条

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19、直线 $y = k x + 3$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，若 $|\vec{M N}| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $k$ 等于（）

A、0 B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ 或0 D、 $- \frac{3}{4}$ 或0

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20、设 $a ， b$ 为两条直线， $α ， β$ 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）

A、若 $a ， b$ 与 $α$ 所成的角相等，则 $a ∥ b$ B、若 $a ∥ α ， b ∥ β$ ， $α ∥ β$ ，则 $a ∥ b$ C、若 $a \subset α ， b \subset β ， a ∥ b$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $a ⊥ α ， b ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $a ⊥ b$

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