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相关试卷

1、对于任意非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b})$ $//$ $\vec{c}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b})$ $//$ $\vec{c}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$

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2、若集合 $A = {x ∣ x = 4 k - 3, k \in N}, B = {x ∣ (x + 3) (x - 9) \leq 0}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{4}{2 a^{x} + a}$ ( $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ )，且 $f (1) = \frac{1}{3}$ .
(1)求实数 $a$ 的值；
(2)判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明
(3)若函数 $g (x) = k f (x) - 1$ 有零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin x \cdot \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $x \in R$ .
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f (x)$ 在闭区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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5、已知集合 $M = {x ∣ - 1 < x < 4}$ ， $N = {x ∣ x - a > 0}$ ．
（1）当 $a = 1$ 时，求 $M \cap N$ ， $M \cup N$ ；
（2）若 $x \in M$ 是 $x \in N$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{21}$ ．

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7、函数 $f (x) = \{\begin{cases} a x + b, x < 0 \\ \log_{c} (x + \frac{1}{16}), x \geq 0 \end{cases}$ 的图象如图所示，则 $a b c =$ .

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8、函数 $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} + \log_{2} (2 x - 1)$ 的定义域是 .

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9、 $3^{\log_{3} 4} - 27^{\frac{2}{3}} =$ .

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10、首项为正数，公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，现有下列4个命题中正确的有（）

A、若 $S_{10} = 0$ ，则 $S_{2} + S_{8} = 0$ B、若 $S_{4} = S_{12}$ ，则使 $S_{n} > 0$ 的最大的n为15 C、若 $S_{15} > 0$ ， $S_{16} < 0$ ，则 $\{S_{n}\}$ 中 $S_{8}$ 最大 D、若 $S_{7} < S_{8}$ ，则 $S_{8} < S_{9}$

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11、等差数列 $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ $(n \geq 3, n \in N^{*})$ ，满足 $| a_{1} | + | a_{2} | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n} |_{} =_{} | a_{1} + 1 |$ $+ | a_{2} + 1 |$ $+ \cdot \cdot \cdot + | a_{n} + 1 |$ $=_{} | a_{1} - 2 | + | a_{2} - 2 | + \cdot \cdot \cdot + | a_{n} - 2 |_{} = 2019$ ，则（）

A、 $n$ 的最大值为50 B、 $n$ 的最小值为50 C、 $n$ 的最大值为51 D、 $n$ 的最小值为51

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12、已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是 $2^{0}$ ，接下来的两项是 $2^{0}$ 、 $2^{1}$ ，再接下来的三项是 $2^{0}$ 、 $2^{1}$ 、 $2^{2}$ ，以此类推，若 $N > 100$ 且该数列的前 $N$ 项和为2的整数幂，则 $N$ 的最小值为（）

A、440 B、330 C、220 D、110

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13、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) = a (x + 1) (x - a)$ ，若 $f (x)$ 在 $x = a$ 处取得极大值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- \infty, - 3)$

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14、若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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15、下列命题中的假命题是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2^{x - 1} > 0$ B、 $\forall x \in N^{*}$ ， ${(x - 1)}^{2} > 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $\lg x < 1$ D、 $\exists x \in R$ ， $\tan x = 2$

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16、命题“ $\forall x \in (0, + \infty), e^{x} ⩾ x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in (0, + \infty), e^{x} ⩾ x + 1$ B、 $\forall x \in (0, + \infty), e^{x} < x + 1$ C、 $\exists x \in (0, + \infty), e^{x} < x + 1$ D、 $\forall x \in (- \infty, 0], e^{x} ⩾ x + 1$

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17、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}$ ， $B = \{0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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18、椭圆 $Γ_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ ，椭圆 $Γ_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > b_{2} > 0)$ ，若 $\frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{b_{2}}{b_{1}} = λ (λ > 0)$ ，则椭圆 $Γ_{1}$ 与椭圆 $Γ_{2}$ 为相似椭圆，其中 $λ$ 为相似比.已知椭圆 $Γ_{1}$ 的长轴长为4，且过点 $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), P$ 为椭圆 $Γ_{2}$ 上异于其左，右顶点 $A, B$ 的任意一点.

(1)、若 $λ = \sqrt{2}$ ，求椭圆 $Γ_{2}$ 的标准方程；

(2)、在（1）的条件下，若与椭圆 $Γ_{1}$ 有且只有一个公共点的直线 $l_{1}, l_{2}$ 恰好相交于点 $P$ ，直线 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(3)、若 $λ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，设直线 $P A$ 与椭圆 $Γ_{1}$ 交于点 $D, E$ ，直线 $P B$ 与椭圆 $Γ_{1}$ 交于点 $G, H$ ，求 $|D E| + |G H|$ 的值.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D$ // $B C, A D ⊥ C D, P A ⊥ P D, A D = 2 P D = 4 B C = 4, C D = 3$ .在平面 $A B C D$ 内过 $B$ 作 $B O$ // $C D$ ，交 $A D$ 于 $O$ ，连 $P O$ .

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值；

(3)、点 $E$ 是平面 $P O B$ 上的动点，若直线 $A E$ 与平面 $P C D$ 所成的角为30°，求 $O E$ 的最小值.

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点.

(1)、若 $A, B$ 关于点 $M (4, 3)$ 对称，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过 $N (0, 1)$ ，且 $A, B$ 都在双曲线 $C$ 的左支，求直线 $l$ 的斜率的取值范围.

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