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相关试卷

1、在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2） $X$ 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“ $X \geq 2$ ”的事件概率．

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2、2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式 $v = v_{0} \cdot ln \frac{M}{m}$ ，可以计算理想状态下火箭的最大速度 $v (m/s)$ ，其中 $v_{0} (m/s)$ 是喷流相对速度， $m (kg)$ 是火箭（除推进剂外）的质量， $M (kg)$ 是推进剂与火箭质量的总和， $\frac{M}{m}$ 称为总质比.已知甲型火箭喷流相对速度为 $2000 m/s$ .
（ⅰ）当总质比为9时，甲型火箭的最大速度为 $m/s$ ；
（ⅱ）若经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，总质比变为原来的 $\frac{1}{2}$ .若要使火箭的最大速度至少增加 $1000 m/s$ ，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为.
（所有结果保留整数，参考数据： $\ln 3 \approx 1.1$ ， $2.718 < e < 2.719$ ）

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2^{x} + 2^{- x}$ ，若不等式 $f (1 - a x) < f (2 + x^{2})$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数a的取值范围是.

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4、某班男女生的比例为3：2，全班的平均身高为 $168 cm$ ，若女生的平均身高为 $159 cm$ ，则男生的平均身高为 $cm$ .

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5、已知函数 $f (x) = (\sin x + \cos |x|) |\sin x - \cos x|$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、若 $|f (x_{1})| + |f (x_{2})| = 2$ ，则 $x_{1} + x_{2} = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上是增函数 D、函数 $g (x) = f (x) + 1$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上至少有2个零点

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6、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为BC， $C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，则下列结论中正确的是（　　）

A、 $D_{1} D ⊥ A F$ B、点G到平面 $A E F$ 的距离是点C到平面 $A E F$ 的距离的2倍 C、 $A_{1} G //$ 平面 $A E F$ D、异面直线 $A_{1} G$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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7、已知集合 $U = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}, A = {2, 5, 7, 13}, B = {3, 7, 13, 17}, C = {7, 13}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) = ∁_{U} (A \cup B)$ B、 $∁_{U} (∁_{U} A) = ∁_{U} (∁_{U} B)$ C、 $A \cap C = B \cap C$ D、 $∁_{U} (A \cap B) = ∁_{U} C$

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8、辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为 $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ)$ ．已知函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ （其中 $a \neq 0$ ， $b \in R$ ， $\tan φ = \frac{b}{a}$ ）．若 $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{2}) > f (\frac{π}{4})$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}]$ 上单调递增 D、过点 $(a, b)$ 的直线与 $f (x)$ 的图象一定有公共点

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9、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 为偶函数，且 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0]$ 上是增函数，记 $a = f (\log_{5} \frac{1}{2})$ ， $b = f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5})$ ， $c = f ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5}})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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10、若 $\sin θ = - 2 \cos θ$ ，则 $\sin θ (\sin θ + \cos θ) =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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11、i是虚数单位，复数 $\frac{2 - i}{1 + 2 i} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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12、函数 $f (x) = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 5}$ 的定义域是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[- 5, + \infty)$ C、 $[- 5, 2]$ D、 $(- \infty, - 5] \cup [2, + \infty)$

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13、设自然数 $n \geq 3$ ，若由n个不同的正整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 构成的集合 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．

(1)、试分别判断在集合 $S_{1} = {1, 2, 3, 4}$ 与 $S_{2} = {1, 2, 4, 8}$ 是否具有性质P，不必说明理由；

(2)、已知集合 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 具有性质P．
①记 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ ，求证：对于任意正整数 $k \leq n$ ，都有 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq 2^{k} - 1$ ；
②令 $d_{i} = a_{i} - 2^{i - 1}$ ， $D_{k} = \sum_{i = 1}^{k} d_{i}$ ，求证： $D_{k} \geq 0$ ；

(3)、在（2）的条件下，求 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}$ 的最大值．

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，已知 $E$ 为棱 $A D$ 的中点， $P$ 在底面的投影 $H$ 为线段 $E C$ 的中点， $M$ 是棱 $P C$ 上一点.

(1)、若 $C M = 2 M P$ ，求证： $P E / /$ 平面 $M B D$ ；

(2)、若 $P B ⊥ E M, P C = E C$ ，确定点 $M$ 的位置，并求二面角 $B - E M - C$ 的余弦值.

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15、若 $e^{x} \geq (a + 1) x + b$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则 $(a + 1) b$ 的最大值为.

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + 3, & x \leq 2 \\ 6 + \log_{a} x, & x > 2 \end{array} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若函数 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty, 4]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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17、已知函数 $f (x) = \cos 2 x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (\frac{π}{6} + Δ x) - f (\frac{π}{6})}{Δ x} =$ .

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18、若 $\log_{a} b > 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a < b$ B、 $a b + 1 > a + b$ C、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ D、 $a + \frac{1}{a} < b + \frac{1}{b}$

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19、下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 定义域为 $[1, 3]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[0, 1]$ B、若定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 值域为 $[1, 5]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的值域为 $[0, 2]$ C、函数 $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ 与 $y = - {log}_{5} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 D、 $a > b$ 成立的一个必要条件是 $a - 1 > b$

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20、已知函数 $f (x) = 2 m x^{2} - 2 (4 - m) x + 1, g (x) = m x$ ，若对于任意的实数 $x, f (x)$ 与 $g (x)$ 至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 8)$ C、 $[2, 8)$ D、 $(- \infty, 0)$

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