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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

(1)、证明函数 $y = f (x)$ 为偶函数；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调情况，并用函数单调性的定义进行证明；

(3)、解关于 $t$ 的不等式 $2 f (ln t) + |ln t| < 2$ .

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2、已知关于 $x$ 的二次函数 $f (x) = x^{2} - b x + b - 1$ .

(1)、若 $f (x) > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - 2$ 或 $x > 1}$ ，求 $b$ 的值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上具有单调性，求 $b$ 的取值范围；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集.

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3、已知 $A = \{x ∣ a - 2 \leq x \leq 2 a\}, B = \{x ∣ x > 2\}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cap B$ 及 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \subseteq (∁_{R} B)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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4、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $f (x) = ln \frac{4 - x}{x} + 2 x$ ，则函数 $y = f (x)$ 对称中心为.

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5、已知 $a, b$ 均是正实数，且 ${log}_{b} a = 3,$ $a^{b} = b^{a}$ ，则 $b =$ .

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6、函数 $y = x + \frac{9}{x} (x >0)$ 的最小值是.

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7、高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为“高斯函数”，如： $[1.2]= 1,[- 1.2] = - 2, y = [x]$ 又称为“取整函数”.设 $\{x\} = x - [x]$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\forall x \in R, [2 x] = 2 [x]$ B、 $[x] \cdot \{x\} \geq x - 1$ 的解集为 $(- \infty, 2)$ C、若 $[x + \{x\}] = 2$ ，则 $x \in [\frac{3}{2}, 2]$ D、 $\forall x \in R, [x] + [x + \frac{1}{2}] = [2 x]$

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8、下列说法正确的是（）

A、“ $x = 2$ ”是“ $x^{2} - 2 x = 0$ ”的充分不必要条件 B、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的必要不充分条件 C、“ $a > b$ ”是“ $ln a > ln b$ ”的充要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的既不充分也不必要条件

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9、下列四个图象中，是函数 $y = f (x)$ 图象的有（）

A、 B、 C、 D、

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10、对于定义域为 $D$ 的函数 $f (x)$ ，如果存在区间 $[a, b] \subseteq D$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上单调，且在区间 $[a, b]$ 上值域为 $[a, b]$ ，则称区间 $[a, b]$ 是函数 $f (x)$ 的一个“优美区间”，则下列函数中存在“优美区间”的函数是（）

A、 $f (x) = 2 x + 1$ B、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = 2 - |x|$ D、 $f (x) = x^{2} + 1$

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11、函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的减函数，且 $f (- 1) = 1, f (3) = - 1$ ，则 $|f (x)| > 1$ 解集为（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1)$ D、 $(- \infty, 3)$

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12、我们已经知道 $1 mol$ 物质的原子个数为 $6.02 \times 10^{23}$ ，你知道整个宇宙可观测原子个数是多少吗？据估计，整个宇宙可观测原子个数大约为 $2^{290}$ .下列各数中与 $2^{290}$ 最接近的是（）（参考数据 $lg 2 \approx 0.301$ ）

A、 $10^{85}$ B、 $10^{86}$ C、 $10^{87}$ D、 $10^{88}$

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13、已知函数 $f (x) = (3 m + 4) x^{m^{2} + 3 m}$ 是幂函数，则函数 $f (x)$ 是（）

A、增函数 B、减函数 C、奇函数 D、偶函数

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14、命题“ $\forall x > 1, x^{2} - 6 x + 1 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \leq 1, x^{2} - 6 x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x > 1, x^{2} - 6 x + 1 > 0$ C、 $\exists x \leq 1, x^{2} - 6 x + 1 \geq 0$ D、 $\exists x > 1, x^{2} - 6 x + 1 \geq 0$

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15、已知集合 $A = \{x \in N^{*} ∣ x^{3} < 10\},$ $B = \{1, 3, 5\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3, 5\}$ B、 $\{0, 1, 2, 3, 5\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\{1, 3, 5\}$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 3, x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x, x > 0 \end{array}$

(1)、求 $f (f (- 2))$ 的值；

(2)、在给出的坐标系中画出函数 $f (x)$ 的大致图象，并写出函数 $f (x)$ 的单调区间和值域.

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17、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 图象成中心对称，则： $f (- 2022) + f (- 2021) + \dots + f (0) + f (1) + f (2) + \dots + f (2023) + f (2024) =$ .

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18、已知函数 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ ，则 $f (2) =$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) =$ .

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19、已知 $min \{a, b\} = \{\begin{array}{l} a, a \leq b, \\ b, a > b, \end{array}$ ， $max \{a, b\} = \{\begin{matrix} b, a \leq b, \\ a, a > b, \end{matrix}$ 则下列选项错误的是（）

A、 $min \{a, b\} + max \{a, b\} = a + b$ B、 $min \{a, b\} = \frac{a + b - |a - b|}{2}$ C、 $max \{{(a + b)}^{2}, {(a - b)}^{2}\} \leq a^{2} + b^{2}$ D、 $max \{|a + b|, |a - b|\} \geq max \{|a|, |b|\}$

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20、定义：P，Q为一个几何系统中的任意两点，则 $d (P, Q)$ 为这两个点的最大距离，例如，某个几何系统由一个圆构成，则 $d (P, Q)$ 为此圆的直径.

(1)、已知 $△ A B C$ 为边长为2的正三角形，求由 $△ A B C$ 的外接圆构成的几何系统的 $d (P, Q)$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 为直角边为2的等腰直角三角形，其中 $A B ⊥ A C$ ，求分别以 $△ A B C$ 三边为直径的三个圆构成的几何系统的 $d (P, Q)$ ；

(3)、已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为2，求由正四面体的棱切球（与各棱相切的球）和 $△ B C D$ 的外接圆所构成的几何系统的 $d (P, Q)$ .（此小题只要求给出答案，不需过程.）

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