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相关试卷

1、如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有种最短路径的走法．

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2、若 $\sin 2 α + \cos^{2} α = - \frac{1}{2}, α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ ，则 $\tan α =$ ．

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3、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}$ ，则 $S_{8} =$ ．

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4、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = g (x)$ ，且 $g (x) = x^{3} - 3 x + 2$ ，则（）

A、点 $(0, 2)$ 是曲线 $y = g (x)$ 的对称中心 B、函数 $g (x)$ 有三个零点 C、函数 $f (x)$ 只有一个极值点 D、当 $x + 1 > 0$ 时， $f (e^{x}) \geq f (x + 1)$

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5、已知点M是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的动点，当M运动到达点 $M_{0} (x_{0}, 2)$ 时， $M_{0}$ 到焦点F的距离等于5，过动点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，过定点 $P (2, - 1)$ 作与C有且仅有一个公共点的直线l，直线PF与C交于点A，B，则（）

A、抛物线C的方程为 $x^{2} = 12 y$ B、直线l的方程为 $x - y - 3 = 0$ 或 $x + 3 y + 1 = 0$ C、 $|A B| = 60$ D、满足 $|M N| = |M P|$ 的点M有且仅有2个

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6、已知正实数a，b，满足 $e^{a} + e^{b - 1} \geq \frac{1}{e^{a}} + \frac{1}{e^{b - 1}}$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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7、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，点 $O$ 是 $B_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 的交点，则直线 $A O$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、1 B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \tan x + a, - \frac{π}{2} < x < 0 \\ e^{x} + \ln (x + 1) - \frac{1}{x + 1}, x \geq 0 \end{array}$ 的值域为R ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $[- 1, + \infty)$

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9、若直线 $l : 2 x - y = 0$ 是双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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10、从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本，将该样本进行某项质量指标值测量，下图是测量结果x的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则在下列选项中，关于该样本统计量的叙述不正确的选项是（）

A、指标值在区间 $[195, 205)$ 的产品约有33件 B、指标值的极差介于50与70之间 C、指标值的第60百分位数大于205 D、指标值的方差的估计值是150

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11、已知命题p： $\exists x \in (0, + \infty), x + \frac{1}{x} - a < 0$ ．若p是假命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $a > 2$ B、 $a < 2$ C、 $a \geq 2$ D、 $a \leq 2$

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12、设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = {(1 + i)}^{2}$ ，则 $z$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $(c - \sqrt{2} b) \cos A + a \cos C = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $b + c = 1 + \sqrt{3} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且外接圆直径为 $2 \sqrt{2}$ ，求角 $B$ 取何值时， $\frac{2 b^{2} + 3 a^{2}}{2 b}$ 有最小值，并求出最小值.

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14、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $\forall x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}], {[f (x)]}^{2} - m f (x) - 1 \leq 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，E为线段 $A B$ 的中点， $P A = A B = 2$ ．

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、求点E到平面 $P B D$ 的距离．

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16、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ ，且 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = 1, {\vec{e}}_{1}$ 与 ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}, \vec{m} = λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{n} = 3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$

(1)、求证： $(2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}) ⊥ \vec{e_{2}}$

(2)、若 $|\vec{m}| = |\vec{n}|$ ，求 $λ$ 的值；

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17、赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 $\vec{A D} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ （ $λ$ ， $μ \in R$ ），若 $D F = 2 A F$ ，则 $\frac{λ}{μ} =$ .

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18、已知 $cos (\frac{π}{6} + α) = \frac{2}{5}$ ，则 $sin (\frac{5 π}{6} + 2 α) =$ .

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19、若复数z满足 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $| \bar{z} | =$ .

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20、如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥 $P - A B C D$ ，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是 $\frac{1}{2}$ ，公共面 $A B C D$ 是一个边长为1的正方形，则（）

A、该几何体的体积为 $\frac{2}{3}$ B、直线 $P D$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、异面直线 $A P$ 与 $C C_{1}$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上

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