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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上有且仅有3个零点，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有且仅有4条对称轴 B、 $f (x)$ 的最小正周期可能是 $\frac{π}{2}$ C、 $ω$ 的取值范围是 $(\frac{11}{4}, \frac{15}{4}]$ D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{15})$ 上单调递增

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2、下列函数是奇函数，且满足对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $(x_{2} - x_{1}) [f (x_{2}) - f (x_{1})] > 0$ 的是（）

A、 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} x^{2}$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ C、 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{2^{x} + 1}$ D、 $f (x) = lg (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

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3、2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（）年（参考数据： $\lg 2 = 0.301$ ， $\lg 3 = 0.477$ ， $\lg 1.014 = 0.00604$ ）

A、8.3 B、8.5 C、8.7 D、8.9

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4、已知 $m$ 是常数，幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $f (2) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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5、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - \ln x}}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(e, + \infty)$ B、 $(1, e]$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(0, 1) \cup (1, e]$

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6、已知数列 $\{p_{n}\}, \{q_{n}\}$ ，给出以下两个定义：
①若 $|p_{n}| = |q_{n}| = m > 0$ ，且对于任意 $i = 1, 2, \dots, n$ ，都有 $p_{i} \neq q_{i}$ ，则称 $\{p_{n}\}$ 与 $\{q_{n}\}$ 为“ $m$ 型相关数列”；
② $S_{n} (p_{i}, q_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{p_{i}}{q_{i}}, T_{n} (p_{i}, q_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} |p_{i} - q_{i}|$ .

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 为“ $m$ 型相关数列”，证明： $T_{n} (a_{i}, b_{i}) = - 2 m S_{n} (a_{i}, b_{i})$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 为“1型相关数列”.
（i）若 $T_{8} (a_{i}, |b_{i}|) = 6$ ，从 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}$ 中随机抽取4项， $X$ 表示这4项的和，求 $X$ 的期望 $E (X)$ ；
（ii）若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $|c_{n}| = 1$ ，且 $S_{12} (a_{i}, b_{i}) = 4 S_{7} (a_{i}, c_{i})$ ，求 $S_{2025} (b_{i}, c_{i})$ 的最大值.

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $x + \sqrt{2} y = 0$ ，点 $P (2, 1)$ 是C上一点，过点P作斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且直线 $l_{1}$ 与C交于另一点A，直线 $l_{2}$ 与C交于另一点B．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的倾斜角互补，且 $k_{1} = \sqrt{2}$ ，求 $∣ A B ∣$ ；

(3)、若 $k_{1} + k_{2} = 1$ ，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标．

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8、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a ln x + 1$ ， $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，设曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线为l，求l与曲线 $y = f (x)$ 的公共点个数；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为1，求实数a的值

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A B$ ， $A B / / C D$ ，底面 $A B C D$ 为等腰梯形，且 $A B = 2 C D = 2, ∠ A B C = 60 °$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A P = 1$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P A C$ 夹角的余弦值.

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10、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $α \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，且 $sin 2 α = \frac{4}{5}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = \sqrt{3}, (a - b) (sin A + sin B) = sin C (b + c)$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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12、若 ${(a x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中第4项为160，则 $a =$ .

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x + 1}, g (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} - f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图像都是中心对称图形 B、存在 $t \in R$ ，使得 $f (x) ､ g (x)$ 在 $(t, + \infty)$ 上的单调性相反 C、若方程 $f (x) = |x + 1| + a$ 有3个不同实根，则 $- 1 < a < 0$ D、若函数 $g (x)$ 与函数 $y = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ 的图像有 $k$ 个不同交点 $P_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, k)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{k} x_{i} + \sum_{i = 1}^{k} y_{i} = - 8$

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14、某市场供应多种品牌的防毒面具，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
$60 %$
$30 %$
$10 %$
优质率
$90 %$
$80 %$
$60 %$
在该市场中随机买一种品牌的防毒面具，记 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 表示买到的防毒面具分别为甲品牌､乙品牌､其他品牌，记 $B$ 表示买到的防毒面具是优质品，则（）

A、 $P (A_{2} + A_{3}) = 0.4$ B、 $P (B A_{1}) = 0.9$ C、 $P (B) = 0.84$ D、 $P (A_{2} ∣ B) = 0.3$

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15、给出下列两个不等式：① ${(\frac{9}{8})}^{144} < e^{17}$ ；② $\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{3 n} > ln 3 (n \in N^{*})$ ，则（）

A、①②都错误 B、①正确，②错误 C、①②都正确 D、①错误，②正确

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16、若 $2 α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), tan α = \frac{cos α}{3 - sin α}$ ，则 $sin (2 α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{6} + 7}{18}$ B、 $\frac{4 \sqrt{6} - 7}{18}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2} + 7 \sqrt{3}}{18}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2} - 7 \sqrt{3}}{18}$

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17、已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上､下底面半径之比为 $3 : 4$ ，若圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上､下底面圆周都在半径为5的球 $O$ （球心 $O$ 在圆台内部）的表面上，且圆台的高为7，则圆台 $O_{1} O_{2}$ 的体积为（）

A、 $\frac{259 π}{3}$ B、 $86 π$ C、 $\frac{133 π}{3}$ D、 $\frac{1036 π}{3}$

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18、已知离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，点 $P$ 在 $E$ 上， ${|P F_{1}|}^{2} + {|P F_{2}|}^{2}$ 的最小值为8，则椭圆 $E$ 的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{2 y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$

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19、统计学中算术平均数､几何平均数､调和平均数､加权平均数是数据分析中的重要工具.已知正数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ 的调和平均数 $H_{n} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}}}$ ，则数据 $1, 2, 4, 4, 6, 8$ 的调和平均数 $H_{6} =$ （）

A、 $\frac{55}{4}$ B、 $\frac{144}{55}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、 $\frac{24}{55}$

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (- 2, x)$ ，则“ $x = - 2$ ”是“ $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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品牌	甲	乙	其他
市场占有率	$60 %$	$30 %$	$10 %$
优质率	$90 %$	$80 %$	$60 %$