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相关试卷

1、如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是 $14 \sqrt{3}$ ，则该多面体外接球的表面积是.

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2、已知 $\sqrt{3} \sin x - \cos x = \frac{6}{5}$ ，则 $\sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ .

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3、将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（）

A、事件甲与事件丙是互斥事件 B、事件甲与事件丁是相互独立事件 C、事件乙包含于事件丙 D、事件丙与事件丁是对立事件

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4、已知复数 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $z$ 在复平面对应的点位于第二象限 B、 $z$ 的虚部是 $i$ C、 $\bar{z} = 1 + i$ D、 $|z| = 2$

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5、已知 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P$ 为平面 $A B C D$ 内一点，则 $(\overset{⃑}{P A} + \overset{⃑}{P B}) \cdot \overset{⃑}{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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6、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} + λ n$ ，且数列 ${a_{n}}$ 为递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 3)$ B、 $(- \infty, - 2)$ C、 $(- 2, + \infty)$ D、 $(- 3, + \infty)$

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7、下列说法中：
（1）某种彩票中奖的概率是 $1 %$ ，因此买100张该种彩票一定会中奖
（2）做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 $\frac{3}{7}$
（3）若事件 $A, B, C$ 两两互斥，则 $P (A) + P (B) + P (C) = 1$
（4）若事件A，B满足 $P (A) + P (B) = 1$ ，则A，B互为对立事件正确的说法有（）个

A、0 B、1 C、2 D、3

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8、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} = 0,$ 则 $S_{9} =$ （）

A、 $- 5$ B、0 C、5 D、9

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9、样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（）

A、3 B、3.5 C、4 D、5

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长是虚轴长的 $\sqrt{2}$ 倍，且焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若动直线 $l$ 与双曲线 $C$ 恰有1个公共点，且与双曲线 $C$ 的两条渐近线交于 $P$ ， $Q$ 两点， $O$ 为坐标原点，证明： $△ O P Q$ 的面积为定值．

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11、如图，在正三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $E, F$ 分别为棱 $A C, B B^{'}$ 的中点， $A B = B B^{'} = 2$ ．

(1)、证明： $B E / /$ 平面 $A F C^{'}$ ．

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $A F C^{'}$ 夹角的余弦值．

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12、某种专业技能资格考核分 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个项目考核的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．

(1)、求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；

(2)、记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} b cos C - c sin B = \sqrt{3} a$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、已知 $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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14、甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为．

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15、设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ 且 $S_{n} + S_{n + 1} = 2 n^{2} + 4 n + m, m$ 为常数，则 $m =$ ．

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16、已知向量 $\vec{A B} = (2, 1), \vec{A C} = (1, m), \vec{C D} = (3, 6)$ .若 $A, B, D$ 三点共线，则 $m =$ .

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (0 < m < 8)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，则（）

A、 $C$ 的短轴长为4 B、 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ C、 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot {\vec{P F}}_{2} = \sqrt{3}$ D、 $C$ 与曲线 $\sqrt{{(x + \sqrt{6})}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - \sqrt{6})}^{2} + y^{2}} = 4 \sqrt{2}$ 重合

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对所有的 $x, y \in R$ ，都有 $x f (y) - y f (x) = x y (y^{2} - x^{2})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 在 $R$ 上可能单调递增 D、 $f (x)$ 在 $R$ 上可能单调递减

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19、复数 $z$ 满足 $z^{2} + 4 = 0$ ，则（）

A、 $z$ 为纯虚数 B、 $|z| = 2$ C、 $z$ 的实部不存在 D、复数 $z + z^{2}$ 在复平面内对应的点在第二象限

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20、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $O$ 为 $C D_{1}$ 的中点，则下列直线与 $A B_{1}$ 不垂直的是（）

A、 $O A_{1}$ B、 $D_{1} B$ C、 $A_{1} C$ D、 $O E$

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