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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 $a = \sqrt{41}$ ， $2 b \sin \frac{B + C}{2} = \sqrt{5} a \sin B$ ．
（1）求 $\sin A$ ；
（2）如图，M为边AC上一点，且 $M C = 2 M B$ ， $∠ A B M = \frac{π}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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2、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)、求该样本的第75百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在 $[40, 50), [50, 60)$ 各一人的概率．

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3、如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为.

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4、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的方差为6，则数据 $2 x_{1} - 3$ ， $2 x_{2} - 3$ ， $2 x_{3} - 3$ ， $2 x_{4} - 3$ ， $2 x_{5} - 3$ 的方差为；

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，且 $\frac{f (x + y)}{x + y} = \frac{f (x) f (y)}{x y}$ ，且 $f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (2) = 8$ B、 $f (3) + f (4) + f (5) = 168$ C、 $\frac{f (10)}{f (8)} = 5$ D、 $f (2024) = 2024 \times 2^{2024}$

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6、下列结论正确的是（）

A、 $l_{1} : x + (2 a - 1) y + 2 a - 3 = 0$ ， $l_{2} : a x + 3 y + a^{2} + 4 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = - 1$ 或 $a = \frac{3}{2}$ B、 $\vec{a} = (1, - 1)$ 是直线 $x + y - 3 = 0$ 的一个方向向量 C、直线 $x + y - 1 = 0$ 与直线 $2 x + 2 y + 1 = 0$ 之间的距离是 $\sqrt{2}$ D、与点 $A (- 1, 2)$ 的距离为1，且与点 $B (3, - 1)$ 的距离为4的直线共有3条

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7、在四面体 $O A B C$ 中，M点在线段 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， G是 $△ A B C$ 的重心，已知 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{M G}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 0)$ ，且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则k的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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9、已知函数 $f (x) = a \ln x - 2 a x + \frac{x^{2}}{2} (a > 0)$ ．
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，且不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < λ (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，该椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆上动点 $M$ 与点 $F_{1}$ 的最大距离为3.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图，若直线 $l$ 与 $x$ 轴､椭圆 $C$ 顺次交于 $P, Q, R$ （点 $P$ 在椭圆左顶点的左侧），且 $∠ P F_{1} Q + ∠ P F_{1} R = π$ ，求 $△ R Q F_{1}$ 面积的最大值.

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2, a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的首项为1，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，证明：若 $\forall n \in N^{*}, \frac{2 b_{1}}{a_{1}} + \frac{2 b_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{2 b_{n}}{a_{n}} \geq 1$ .

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12、下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.
若第1个图中的三角形的周长为1，则第 $n$ 个图形的周长为
若第1个图中的三角形的面积为1，则第 $n$ 个图形的面积为.

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13、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ ，若方程 $f (x) - k = 0$ 有2个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是.

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14、如图，已知直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $O A ⊥ O B, O D ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，则（）

A、若点 $D$ 的坐标为 $(2, 1)$ ，则 $p = \frac{5}{4}$ B、直线 $l$ 恒过定点 $(p, 0)$ C、点 $D$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 p x = 0 (x \neq 0)$ D、 $△ A O B$ 的面积的最小值为 $4 p^{2}$

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15、已知 $f (x) = a x - e^{a x}, x \in R$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $R$ B、 $a \neq 0$ 时， $f (x)$ 恒有极值点 C、 $g (x) = f (x) - \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 恒有零点 D、对于 $x \in R, f (x) \leq (1 - e) a x$ 恒成立

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16、已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为 $36 π$ ，且 $3 \leq l \leq 4 \sqrt{2}$ ，则该正四棱锥体积的最大值是（）

A、18 B、 $\frac{81}{4}$ C、 $\frac{64}{3}$ D、27

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17、已知 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数，设 $a = \sqrt{3} - \frac{3}{e}, b = \sqrt{2} - \frac{2}{e}, c = e^{\sqrt{2} - 1} - \ln 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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18、如图，二面角 $α - l - β$ 等于135°， $A$ ， $B$ 是棱 $l$ 上两点， $B D$ ， $A C$ 分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = 2$ ， $B D = \sqrt{2}$ ，则 $C D =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{14}$ D、4

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19、电力公司从某小区抽取100户居民用户进行12月用电量调查，发现他们的月用电量都在 $50 \sim 650 kW \cdot h$ 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求 $a$ 的值及这100户的用电量的平均数；

(2)、力公司拟对用电量超过 $M (kW \cdot h)$ 的家庭的电器进行检测，若 $M$ 恰好为第71百分位数，求 $M$ .

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20、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2, A C = 4, △ P A B$ 是等腰直角三角形， $P A = P B$ .

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求异面直线 $P B$ 与 $A C$ 的夹角的余弦值；

(3)、设点 $T$ 是三棱锥 $P - A B C$ 外接球上一点，求 $T$ 到平面 $P B C$ 距离的最大值.

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