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相关试卷

1、如图，两个正四棱锥的底面都为正方形 $A B C D$ ，顶点 $M, N$ 位于底面两侧， $|A B| = 2, A M ⊥ A N$ ．记正四棱锥 $M - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，正四棱锥 $N - A B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ．

(1)、求 $V_{1} + V_{2}$ 的最小值；

(2)、若 $V_{1} = 2 V_{2}$ ，求直线 $A M$ 与平面 $B C N$ 所成角的正弦值．

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2、某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．

(1)、第一小组决定从单次完成1~15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人进行全面的体能测试．
①在单次完成6~10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人数为随机变量X，求X的分布列；

(2)、第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的 $2 \times 2$ 列联表．
体育成绩
学业成绩
合计
优秀
不优秀
不优秀
200
400
600
优秀
100
100
200
合计
300
500
800
根据小概率值 $a = 0.005$ 的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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3、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 (n + 1)}{n} a_{n} \cdot (n \in N^{*})$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ 在 $b_{k}$ 和 $b_{k + 1}$ 之间插入k个数，使这 $k + 2$ 个数组成等差数列，将插入的k个数之和记为 $c_{k}$ ，其中 $k = 1$ ， 2，…，n，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和．

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + ϕ) (ω > 0 ， | ϕ | < π)$ 的部分图象如下图所示，且 $A (\frac{π}{2} ， 1) ， B (π ， - 1)$ ，则 $ϕ$ 的值为．

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5、过点 $M (- 3, - 3)$ 且互相垂直的两直线与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 y - 21 = 0$ 分别相交于A、B和C、D，若 $|A B| = |C D|$ ，则四边形ACBD的面积等于．

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6、已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为 $\sqrt{5}$ ，则这个圆台的体积为

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7、下列选项中正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (10, \frac{1}{2})$ ，则 $D (2 X) = 5$ B、口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量 $X$ ，则 $X$ 的数学期望 $E (X) = \frac{7}{5}$ C、抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，令事件 $A = \{2, 3, 4\}$ ，事件 $B = \{1, 2\}$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次

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8、设 $e$ 为自然对数的底数，函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{x} - a \ln x (x > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = e$ 时， $f (x)$ 无极值点 B、当 $a > e$ 时， $f (x)$ 有两个零点 C、当 $1 < a < e$ 时， $f (x)$ 有1个零点 D、当 $a \leq 1$ 时， $f (x)$ 无零点

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9、已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，准线为l且与x轴交于点Q，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若 $\vec{P F} = 3 \vec{M F}$ ，则（）

A、 $|M F| = \frac{2}{3}$ B、 $|M N| = \frac{8}{3}$ C、 $|F Q| = 1$ D、 $|P Q| = 2$

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10、若 $2 \cos 2 x = 1 + \sin 2 x$ ，则 $\tan x =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ 或3

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11、在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有

A、24种 B、48种 C、96种 D、144种

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12、过抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点 $F$ 作直线与抛物线交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若直线 $O A, O B$ 的斜率分别是 $k_{1}, k_{2}$ ，则（）

A、以 $A F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切； B、 $\frac{1}{|A F|} + \frac{1}{|B F|} = 8$ C、 $k_{1} k_{2} = - 2$ D、分别过 $A, B$ 两点作抛物线的切线 $l_{1}, l_{2}$ 相交于点 $P$ ，则点 $P$ 在 $y = - \frac{1}{8}$ 上.

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13、如图菱形 $A B C D$ 的边长为 $4 \sqrt{3}$ ， $∠ D A B = 60^{0}$ ．

(1)、请建立坐标系，并求与菱形四边相切，且长轴长与短轴长的乘积取到最大值时的椭圆方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $B C$ 平行，且与边 $C D$ 、 $A B$ 分别交于 $P$ 、 $Q$ 两点，与（1）中椭圆交于 $M$ 、 $N$ 两点，试证明 $|P M| = |Q N|$ ．

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14、已知圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 3$ 的圆心在直线 $y = \sqrt{3} x + 1$ 上．
（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；
（Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有 $|P A| = \sqrt{3} |P B|$ ，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由．

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15、已知棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N, P$ 分别是 $C_{1} D_{1}, A D, C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $M P / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、过 $M, N, P$ 三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长.

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16、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_{2} = - 3$ ， $S_{3} = 9$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并判断 $S_{n + 1}$ ， $S_{n}$ ， $S_{n + 2}$ 是否成等差数列.

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17、（如图甲） $P - A B C D$ 是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面 $A B C D$ 为平行四边形. 现将容器以棱 $A B$ 为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过 $C D E F$ ，且 $E, F$ 分别为棱 $P A, P B$ 的中点，设棱锥 $P - A B C D$ 的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为.

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，过点 $M (1, - 1)$ 作直线与双曲线 $C$ 有且只有一个交点，这样的直线可以作条（填“条数”）．

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19、抛物线 $y = \frac{x^{2}}{2}$ 的准线方程为．

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20、数学中有许多形状优美的曲线，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 \sqrt{3} |x| - 2 |y|$ 就是其中之一，其形状酷似数学符号“ $\infty$ ”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 与直线 $y = x$ 有3个公共点； B、 $x + \sqrt{3} y$ 的最大值为4 C、曲线 $C$ 所围成的图形的面积为 $\frac{8 π}{3} - 2 \sqrt{3}$ D、 $x^{2} + {(y + 3)}^{2}$ 的最大值为 $11 + 4 \sqrt{7} .$

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体育成绩	学业成绩		合计
体育成绩	优秀	不优秀	合计
不优秀	200	400	600
优秀	100	100	200
合计	300	500	800

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828