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相关试卷

1、已知 $a = 3^{0.5}$ ， $b = 2^{0.5}$ ， $c = 2^{0.4}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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2、点 $P (1, - 2)$ 到直线l： $x - y - 2 = 0$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3、已知向量 $\vec{a} = (5, 2)$ ， $\vec{b} = (10, t)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则t的值为（）

A、25 B、-25 C、-4 D、4

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4、某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图：

(1)、从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于 $[40, 60]$ 和 $[60, 80]$ 的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用 $X$ 表示这3人中属于 $[40, 60]$ 的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取 $n (n \geq 6$ 且 $n \in N^{*})$ 名学生，求证：当 $n = 7$ 时，“抽取的 $n$ 名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大.

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5、放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数 $x_{i}$ 与该机场飞往A地航班放行准点率 $y_{i}$ （ $i = 1 ， 2 ， \dots ， 10$ ）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{t}$
$\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} t_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{10} t_{i} y_{i}$
2017.5
80.4
1.5
40703145.0
1621254.2
27.7
1226.8
其中 $t_{i} = \ln (x_{i} - 2012)$ ， $\bar{t} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} t_{i}$ .

(1)、根据散点图判断， $y = b x + a$ 与 $y = c \ln (x - 2012) + d$ 哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率；

(2)、已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为 $80 %$ 和 $75 %$ ，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数）
附：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ ， $(u_{2}, v_{2})$ ， …， $(u_{n}, v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$
参考数据： $\ln 10 \approx 2.30$ ， $\ln 11 \approx 2.40$ ， $\ln 12 \approx 2.48$ .

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6、某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分､2分､3分､4分､5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示.
评分
款式
1分
2分
3分
4分
5分
基础版
基础版1
2
2
3
1
0
基础版2
4
4
5
3
1
豪华版
豪华版1
1
3
5
4
1
豪华版2
0
0
3
5
3

(1)、求这四款车得分的平均数；

(2)、约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下 $2 \times 2$ 列联表，取显著性水平 $α = 0.05$ ，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由.
款式
性能
基础版
豪华版
合计
一般

优秀

合计

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}; P (χ^{2} \geq 7.879) \approx 0.005, P (χ^{2} \geq 5.024) \approx 0.025, P (χ^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ .

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7、已知 $n \geq 4$ 且 $n \in N^{*}$ ，设 $S$ 是空间中 $n$ 个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上， $d_{A B}$ 表示点 $A, B$ 间的距离，记集合 $τ (S) = \{d_{A B} ∣ \forall A, B \in S, A \neq B\}$ .若四面体 $A B C D$ 满足： $A B ⊥$ 平面 $B C D, B C ⊥ C D$ ，且 $A B = B C = C D = 1, S = \{A, B, C, D\}$ ，则 $τ (S) =$ .

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8、已知离散型随机变量X服从二项分布 $X \sim B (n, p)$ ，且 $E (X) = 4$ ， $D (X) = q$ ，则 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$ 的最小值为．

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9、随机变量 $ξ ~ N (0, 1)$ ， $φ (x) = P (ξ \leq x)$ ，若 $φ (- 1.53) = 0.063$ ，则 $P (|ξ| < 1.53) =$ .

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10、如图， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体，边长为1，下列说法正确的是（）

A、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ B、 $A$ 到面 $C B_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、异面直线 $B D$ 与 $C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、异面直线 $B D$ 与 $C B_{1}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$

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11、已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下所示，则下列说法正确的是（）
$X$
-2
1
3
$P$
$2 a$
0.25
$a$

A、 $a = 0.25$ B、 $E (X) = 1$ C、 $D (X) = 4.5$ D、 $P (0.5 < X < 3.5) = 0.5$

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12、无人机在农业领域的应用对提高农业生产效率，促进农业产业的发展有着极为重要的意义．某地统计了该地近5年的农业无人机保有量，其中用了两种记录方式：
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
无人机数量 $y$ （架）
490
510
550
570
580
无人机数量 $z$ （百架）
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
根据上表中的数据，可得 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 24 x + \hat{a}$ ，则（）

A、 $z$ 与 $x$ 的样本相关系数 $r < 0$ B、 $\hat{a} = 468$ C、预测第6年该地农业无人机的保有量约为612架 D、 $z$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{z} = 0.24 x + 468$

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13、乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜.当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜.若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，甲接球时获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ .某局打成 $10 : 10$ 平后，甲先发球，则“两人又打了4个球且甲获胜”的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{18}$

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14、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = \sqrt{3}, B C = 1, M, N$ 分别是为 $A D_{1}$ 和 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $M N$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ，则该长方体的体积为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、6 C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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15、已知 $Ω$ 为随机试验的样本空间，事件 $A, B$ 满足 $A \subseteq Ω, B \subseteq Ω, P (A) = P (A | B) = \frac{1}{3}, P (B) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (\bar{B} | \bar{A}) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知5对成对样本数据 $(1, 2), (3, 3), (5, 6), (7, 9), (9, 10)$ 成线性关系，样本相关系数为 $r_{1}$ ，去掉1对数据 $(5, 6)$ 后，剩下的4对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为 $r_{2}$ ，则（）

A、 $r_{1} = r_{2}$ B、 $r_{1} > r_{2}$ C、 $r_{1} < r_{2}$ D、 $r_{1}, r_{2}$ 的大小无法确定

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17、已知随机变量 $X$ 服从两点分布，且 $P (X = 1) = 0.6$ .设 $Y = 3 X - 2$ ，那么 $P (Y = - 2)$ 等于（）

A、0.6 B、0.3 C、0.2 D、0.4

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18、已知点 $A (- 3, 1, - 4)$ ， $B (7, 1, 0)$ ，则线段 $A B$ 的中点 $M$ 关于平面 $O y z$ 对称的点的坐标为（）

A、 $(- 2, 1, - 2)$ B、 $(2, 1, - 2)$ C、 $(2, - 1, - 2)$ D、 $(2, 1, 2)$

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 24$ ， $S_{△ A B C} = 12$ .

(1)、求 $\tan A$ ；

(2)、若D在边BC上且 $B D = 2 D C$ ， $A C = 2 \sqrt{5}$ ，求AD的长.

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20、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2.

(1)、证明： $C D_{1} //$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B D - A$ 的正弦值.

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$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} t_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} t_{i} y_{i}$
2017.5	80.4	1.5	40703145.0	1621254.2	27.7	1226.8

评分款式		1分	2分	3分	4分	5分
基础版	基础版1	2	2	3	1	0
基础版	基础版2	4	4	5	3	1
豪华版	豪华版1	1	3	5	4	1
豪华版	豪华版2	0	0	3	5	3

年份代码 $x$	1	2	3	4	5
无人机数量 $y$ （架）	490	510	550	570	580
无人机数量 $z$ （百架）	4.9	5.1	5.5	5.7	5.8

款式性能	基础版	豪华版	合计
一般
优秀
合计

$X$	-2	1	3
$P$	$2 a$	0.25	$a$