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相关试卷

1、已知 $a + 2 b = 1$ ，且 $a > 0, b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2 a}{b}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2、若函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{m x^{2} + m x + 1}}$ 的定义域为R ，则实数m的取值范围是（）．

A、 $[0, 4)$ B、 $(0, 4)$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $[0, 4]$

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3、不等式 $x^{2} + a x - 2 < 0$ 的解集为 $(- 1, 2)$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、3 D、-3

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4、已知集合 $A = \{(x, y) |x + y = 2\}$ ， $B = \{(x, y) |x - 2 y = - 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 2\}$ B、 $(0, 2)$ C、 $\emptyset$ D、 $\{(0, 2)\}$

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5、函数 $f (x) = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ 的定义域为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $[1, 2)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[1, 2) \cup (2, + \infty)$

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6、如图所示，函数 $y = f (x) (x \in [- 4, 4])$ 的单调递减区间为（）

A、 $[- 4, 4]$ B、 $[- 4, - 3]$ 和 $[1, 4]$ C、 $[- 3, 1]$ D、 $[- 3, 4]$

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7、已知命题 $p : \forall x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ C、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ D、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$

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8、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，其左、右顶点分别为 $A, B$ ，上、下顶点分别为 $C, D$ .圆 $O$ 是以线段 $A B$ 为直径的圆.

(1)、求圆 $O$ 的方程；

(2)、若点 $E, F$ 是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线 $C E, D F$ 分别交 $x$ 轴于点 $M, N$ ，求证： $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 为定值；

(3)、若点 $P$ 是椭圆 $Γ$ 上不同于点 $A$ 的点，直线 $A P$ 与圆 $O$ 的另一个交点为 $Q$ ，是否存在点 $P$ ，使得 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{P Q}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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9、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，点 $P (2, y_{0})$ 在抛物线 $C$ 上且到焦点 $F$ 的距离为2.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程，并求其准线方程；

(2)、已知 $M (2, - 1)$ ，直线 $y = k x + 1 (k \neq 0)$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，记直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 的值.

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10、在 $△ A B C$ 中， $A (5, - 2)$ ， $B (7, 4)$ ，且 $A C$ 边的中点M在 $y$ 轴上，BC边的中点N在 $x$ 轴上.

(1)、求AB边上的高CH所在直线方程；

(2)、设过点C的直线为 $l$ ，且点A与点B到直线 $l$ 距离相等，求 $l$ 的方程.

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, m)$ ， $\vec{b} = (1, 0, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 夹角的余弦值．

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12、点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上，点 $P$ 到直线 $3 x - 4 y = 24$ 的最大距离和最小距离为．

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13、已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5，0)到l的距离的最大值为．

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14、已知 $3 a + 2 b = 5$ ，则直线 $a x + b y - 10 = 0$ 必过定点．

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15、已知曲线方程 $\frac{x^{2}}{4 - m} + \frac{y^{2}}{5 + m} = 1$ 表示椭圆，则下列说法正确的是（）

A、 $m$ 的取值集合为 $\{m |- 5 < m < 4\}$ B、当 $m = 2$ 时，焦点坐标为 $(0, \pm \sqrt{5})$ C、当 $m = - 1$ 时，记椭圆所包围的区域面积为 $S$ ，则 $S < 8 \sqrt{5}$ D、当 $- 5 < m < - \frac{1}{2}$ 时，随着 $m$ 越大，椭圆就越接近于圆

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16、已知空间中三点 $A (0, 1, 1)$ ， $B (2, 2, 1)$ ， $C (2, 1, 0)$ ，则（）

A、 $|\vec{B C}| = 2$ B、 $\vec{B C}$ 方向上的单位向量坐标是 $(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $\vec{n} = (1, - 2, 2)$ 是平面ABC的一个法向量 D、 $\vec{A C}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量的模为 $\sqrt{2}$

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17、在如图所示的空间直角坐标系中， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（）

A、直线 $B D_{1}$ 的一个方向向量为 $(- 2, 2, 2)$ B、直线 $B D_{1}$ 的一个方向向量为 $(2, 2, 2)$ C、平面 $B_{1} C D_{1}$ 的一个法向量为 $(1, 1, 1)$ D、平面 $B_{1} C D$ 的一个法向量为 $(1, 1, 1)$

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18、在以下命题中：
①三个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不能构成空间的一个基底，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面；
②若两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线；
③对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - \vec{2 O B} - \vec{2 O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面
④若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，且 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ, μ \in R, λ, μ \neq 0)$ ，则 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底
⑤若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c} + 2 \vec{a}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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19、已知点 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线和抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的一个公共点，若 $P$ 到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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20、数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知 $△ A B C$ 的顶点分别为 $A (1, 3), B (2, 4), C (3, 2)$ ，则 $△ A B C$ 的欧拉线方程是（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x - y + 3 = 0$ C、 $x + y - 5 = 0$ D、 $3 x + y - 9 = 0$

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