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相关试卷

1、已知 $a = {log}_{5} 3, b = {log}_{6} 4, c = {log}_{7} 5$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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2、已知 $a > 0, b \geq 0$ ，且 $2 a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b + 1}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3、下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - x (| x | - 1)$ B、 $f (x) = 2^{- x} + 2^{x}$ C、 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ D、 $f (x) = lg (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

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4、若 $f (x) = ln \frac{1 + 2 x}{e^{x}}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + 3 Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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5、命题 $p : \forall x \leq 2, x^{2} - 2 x \leq 3$ 的否定是（）

A、 $\exists x_{0} > 2, x_{0}^{2} - 2 x_{0} \leq 3$ B、 $\forall x > 2, x^{2} - 2 x \leq 3$ C、 $\forall x \leq 2, x^{2} - 2 x > 3$ D、 $\exists x_{0} \leq 2, x_{0}^{2} - 2 x_{0} > 3$

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6、已知集合 $A = \{1, 2\}, B = \{3, 6\}$ ，则集合 $C = \{x y | x \in A, y \in B\}$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、已知集合 $A = \{x |- 2 < x \leq 2\}$ ， $B = \{x |- 1 < x \leq 1\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = A$ B、 $B \subseteq ∁_{R} A$ C、 $A \cap ∁_{R} B = \emptyset$ D、 $A \cup ∁_{R} B = R$

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8、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为正方形，棱长都为 $2$ ，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ，设 $\vec{A A_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ， $M$ ， $N$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $B C$ 的中点，点 $P$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 上的动点.

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{A_{1} N}$ ；

(2)、若 $P$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，求 $|\vec{M P} + \vec{N C_{1}}|$ ；

(3)、是否存在点 $P$ ，使 $A P ⊥ A_{1} N$ ，若存在，试确定点 $P$ 的位置，若不存在，请说明理由.

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9、已知空间中三点 $A (- 2, 1, 3), B (1, - 2, 0), C (- 1, - 1, 5)$ .

(1)、若 $|\vec{a}| = 3$ $，$ 且 $\vec{a} / / \vec{A C}$ $，$ 求向量 $\vec{a}$ ：

(2)、若点 $P (2, - 1, m)$ 在平面 $A B C$ 内，求m的值

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10、如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且 $\frac{P H}{P C} = \frac{1}{3}$ ，点G在AH上，且 $\frac{A G}{A H} = m$ ，若 $G, B, P, D$ 四点共面，则 $m =$

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11、已知某地区中小学生的人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 $2 %$ 的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为．

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12、在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ .考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1 次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，1，0，则译码为1.）（）

A、采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 $(1 - α) {(1 - β)}^{2} .$ B、采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 $β^{2} (1 - β) .$ C、采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 $β {(1 - β)}^{2} + {(1 - β)}^{3} .$ D、当0< α <0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.

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13、已知向量 $\vec{a} = (2 x, 1, 1), \vec{b} = (1, - y, 2)$ ，则（）

A、若 $x = \frac{1}{4} ， y = - 2$ ，则 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ B、若 $x = 1 ， y = 4$ ，则 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ C、若 $x = \frac{1}{2} ， y = 2$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、若 $x = \frac{1}{2} ， y = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量 $\vec{c} = (\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

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14、正方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 的棱长为2， M为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，下列命题中错误的是（）

A、 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 成60°角 B、若 $\vec{C N} = \frac{1}{3} \vec{N C_{1}} ，$ 平面 $A_{1} M N$ 交CD于点H，则 $C H = \frac{1}{3}$ C、若P点在正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 边界及内部运动，且MP⊥ $D B_{1}$ ，则P点的轨迹长等于 $\sqrt{2}$ D、若点E，F分别在 $D B_{1}, A_{1} C_{1}$ 上，且 $\frac{D E}{E B_{1}} = \frac{A_{1} F}{F C_{1}} = 2 ，$ 直线EF与 $A D_{1}$ ， $A_{1} D$ 所成的角分别是 $α$ 、β，则 $α + β = \frac{π}{2}$

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15、已知随机事件A、B发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3} ， P (B) = \frac{1}{6}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、若A与B互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ B、若A与B相互独立，则 $P (A \cup B) = \frac{4}{9}$ C、若 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{9}$ ，则事件 $\bar{A}$ 与B相互独立 D、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = \frac{1}{3}$

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16、为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（）

A、2.6 B、3 C、3.4 D、4.1

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17、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知 $A (1, 2, - 2)$ ， $B (0, 1, 1)$ ，下列结论错误的是（）

A、 $\vec{A B} = (- 1, - 1, 3)$ B、点 $A$ 关于 $x O y$ 平面对称的点的坐标为 $(1, - 2, 2)$ C、若 $\vec{m} = (2, 1, 1)$ ，则 $\vec{m} ⊥ \vec{A B}$ D、若 $\vec{n} = (a, - 2, 6)$ ， $\vec{n} ∥ \vec{B A}$ ，则 $a = - 2$

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18、已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中 $n (Ω) = 12, n (A) = 6, n (B) = 4, n (A \cup B) = 8$ ，则事件A与事件B（）

A、是互斥事件，不是独立事件 B、不是互斥事件，是独立事件 C、既是互斥事件，也是独立事件 D、既不是互斥事件，也不是独立事件

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19、一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中 $x \neq 7$ ），若该组数据的中位数是众数 $\frac{5}{4}$ 倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（）

A、 $\frac{16}{5}$ ， 5 B、5，5 C、 $\frac{16}{3}$ ， 6 D、5，6

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - 1$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, x > 0 \\ 2 - x, x < 0 \end{array}$ .

(1)、求 $f (g (2))$ 和 $g (f (2))$ 的值；

(2)、求 $g (x)$ 的值域；

(3)、求不等式 $f (g (x)) > 3$ 的解集.

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