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相关试卷

1、已知 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 是公比不为1的等比数列，将 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值依次为.

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x + 1}, x > 0 \\ x + a, x \leq 0 \end{cases}$ ，当 $a = 0$ 时， $f (0) =$ ；若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则实数a的取值范围是.

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3、已知直线 $x - y + 2 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 有且仅有一个公共点，则 $r =$ .

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4、如图，正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为2， $E$ 为 $C D$ 的中点， $F$ 为线段 $A^{'} C$ 上的动点，给出下列四个结论：
①存在唯一的点 $F$ ，使得 $A$ ， $B^{'}$ ， $E$ ， $F$ 四点共面；
② $E F + D^{'} F$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ ；
③存在点 $F$ ，使得 $A F ⊥ D^{'} E$ ；
④有且仅有一个点 $F$ ，使得平面 $A E F$ 截正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 所得截面的面积为 $2 \sqrt{5}$ .
其中所有正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分（忽略杯底部分）外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径（即杯口直径）约 $6.92 cm$ ，下底直径约 $4.00 cm$ ，腹部最细处直径约 $3.46 cm$ ，主体部分高约 $6.92 cm$ ，则下列各数中与双曲线C的离心率最接近的是（）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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6、在平行四边形 $A B C D$ 中，E为边 $B C$ 上的动点，O为 $△ A B D$ 外接圆的圆心， $2 \vec{D O} = \vec{D A} + \vec{D B}$ ，且 $|\vec{D O}| = |\vec{D A}| = 2$ ，则 $\vec{D O} \vec{\cdot D E}$ 的最大值为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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7、已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，则“ $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} \leq S_{8}$ ”是“ $a_{8} \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α ∥ β$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ α$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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9、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点M在C上.若M的横坐标为1，且 $|M F| = 2$ ，则p的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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10、已知 $a < b$ ， $c < d$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a - c < b - d$ B、 $a c < b d$ C、 $2^{a} + 2^{c} < 2^{b} + 2^{d}$ D、 $a^{2} + c^{2} < b^{2} + d^{2}$

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11、 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为（）

A、160 B、60 C、 $- 160$ D、 $- 60$

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12、在复平面内，复数z对应的点的坐标为 $(2, - 1)$ ，则 $|i z| =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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13、已知集合 $U = \{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $A = \{x \in Z| |x| < 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 3\}$ D、 $\{- 3, - 2, 2\}$

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14、已知经过定点 $F (0, \frac{1}{2})$ 的动圆 $E$ 与直线 $y = - \frac{1}{2}$ 相切，记圆心 $E$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ，直线 $l : y = k x + \frac{1}{2}$ 与曲线 $Γ$ 交于不同的两点 $M, N$ ，以 $M, N$ 分别为切点作曲线 $Γ$ 的切线 $l_{1}, l_{2}, l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $P$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、设点 $A_{1} (0, y_{1})$ ，连接 $M A_{1}, N A_{1}$ ，分别与曲线 $Γ$ 的另一个交点为 $M_{1}, N_{1}$ ，直线 $M_{1} N_{1}$ 与 $y$ 轴相交于 $A_{2} (0, y_{2})$ ，连接 $M A_{2}, N A_{2}$ ，分别与曲线 $Γ$ 的另一个交点为 $M_{2}, N_{2}$ ，直线 $M_{2} N_{2}$ 与 $y$ 轴相交于 $A_{3} (0, y_{3}), \dots$ ，连接 $M A_{n}, N A_{n}$ ，分别与曲线 $Γ$ 的另一个交点为 $M_{n}, N_{n}$ ，直线 $M_{n} N_{n}$ 与 $y$ 轴相交于 $A_{n + 1} (0, y_{n + 1})$ ，已知 $y_{1} = 1$ .
（i）求数列 $\{y_{n}\}$ 的通项；
（ii）已知 $a_{n} = {log}_{2} y_{n} + 1, b_{n} = {log}_{2} a_{n}, S_{n}$ 为数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求使不等式 $S_{n} > 2025$ 成立时， $n$ 的最小值.

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - a$

(1)、若 $a = 1, g (x) = f (x) \cos x - \sin x$ ，讨论函数 $g (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ ，求证： $f (x) \geq x$ ．

(3)、若 $h (x) = f (x) - x \cos x$ 在 $[0, + \infty)$ 上有唯一的零点，求实数 $a$ 的最小值．

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16、某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.

(1)、求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；

(2)、用 $X$ 表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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17、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 1) + f (5 - x) = 2$ ，则 $f (2) =$ ；若 $f (2 x + 1)$ 为偶函数， $g (x) = f (x + 2) - 1$ ，且 $x \in (0, 1]$ 时， $g (x) = 4 e^{x - 1} sin (\frac{π}{3} x)$ ，则 $g (x)$ 图象与曲线 $y^{2} = 4 |x|$ 的交点个数为.

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18、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2, A A_{1} = \sqrt{3}, ∠ A B C = 120^{\circ}, E$ 为 $A B$ 边中点，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $B_{1} E$ 所成角的余弦值为.

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19、已知复数 $z$ 满足 $i z = 3 + 4 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ .

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20、已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C_{1} : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过抛物线 $C_{2} : y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，连接 $A O, B O$ 并分别延长交椭圆 $C_{1}$ 于 $M, N$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $|A B| = \frac{9}{2}$ B、若直线 $O M, O N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{4}$ C、若抛物线 $C_{2}$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $P$ ，直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °$ ，则 $tan ∠ A P B = 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{|O M|} + \frac{1}{|O N|}$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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