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相关试卷

1、 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $q$ 为 $\{a_{n}\}$ 的公比（ $q < 0$ ）， $a_{3} = \frac{3}{2}$ ， $S_{3} = \frac{9}{2}$ ，则（）

A、 $q = - \frac{1}{2}$ B、 $a_{3}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的等差中项 C、 $S_{5} = \frac{31}{8}$ D、 $3 S_{n} - a_{n} = 12$

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2、将函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ ， $E, F$ 分别为 $A B, C D$ 的中点（如图（1）），将矩形 $A B C D$ 绕直线 $E F$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ ，点 $A, B, C, D$ 分别位于 $Q, P, N, M$ 处（如图（2），则异面直线 $P C$ 与 $Q F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4、已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上，且 $|M F| = 10$ ，若 $A (a, 0)$ 满足 $A M ⊥ M F$ ，则 $a =$ （　　）

A、16 B、 $\frac{31}{2}$ C、 $\frac{27}{2}$ D、9

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5、已知直线a，b异面，下列判断正确的是（）

A、过b的平面不可能与a平行 B、过b的平面不可能与a垂直 C、过b的平面有且仅有一个与a平行 D、过b的平面有且仅有一个与a垂直

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6、已知集合 $P = \{x | 0 \leq x \leq 2\}, Q = \{x \in Z | 2^{x} \leq 8\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{x | x \leq 3\}$

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7、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 12 < 0\}$ ， $B = \{x | 2 a - 1 < x \leq a + 7\}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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8、某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠 $10 %$ ；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠 $20 %$ .某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为元.

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9、已知 $x^{3} - y^{3} < 2^{- x} - 2^{- y}$ ，则（）

A、 $ln (y - x + 1) > 0$ B、 $x^{3} < y^{3}$ C、 $ln |x - y + 1| > 0$ D、 $2^{x - y} < 1$

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10、在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为 $a$ 千克，且该湖泊中的蓝藻每天以 $8 %$ 的增长率呈指数增长，经过 $n$ 天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于 $3 a$ 千克，则 $n$ 的最小值是（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.301, lg 3 \approx 0.477$ ）

A、14 B、15 C、16 D、17

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11、若不等式 $(a x - 1) (x - b) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $4 a + b$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、5 D、 $4 \sqrt{2}$

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + a + 3$ 有两个不相等的正零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (6, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 6) \cup (2, + \infty)$ C、 $(6, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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13、已知 $a = {1.5}^{0.9}, b = {0.9}^{0.1}, c = {log}_{3} 2 \sqrt{7}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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14、函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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15、函数 $f (x) = ln (x + 5) + {(x - 1)}^{0}$ 的定义域是（）

A、 $(- 5, + \infty)$ B、 $(- 5, 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $[- 5, + \infty)$ D、 $[- 5, 1) \cup (1, + \infty)$

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16、已知集合 $A = \{- 3, - 1, 0, 2\}, B = \{- 1, 2, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 3, - 1, 0, 2, 5\}$ B、 $\{- 3, 0, 5\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{2\}$

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17、已知圆 $F_{1} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，圆 $F_{2} : x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ ．若动圆C与圆 $F_{1}$ 外切，且与圆 $F_{2}$ 内切，设圆心C的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，过其右顶点A作直线 $l_{1}$ 分别交曲线E和双曲线 $Γ$ 于点 $M, N$ （异于点A），作直线 $l_{2}$ 分别交曲线E和双曲线Γ于点 $P, Q$ （异于点A），设直线 $M Q$ 与直线 $N P$ 交点为H，
（ⅰ）求证：点 $M, N$ 的横坐标乘积为定值，并求出该定值．
（ⅱ）求证：点H在定直线上，并求出该定直线的方程．

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - a \ln x - a$ ，其中 $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数．

(1)、当 $a = e$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明：对于任意的 $x \in (1, + \infty)$ ，都有 $f (x) > \frac{1}{2} x^{2} - x + 1$ ；

(3)、若函数 $f (x)$ 存在极小值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) \geq 0$ ，求a的取值范围．

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19、四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 2$ ，点 $E, F$ 分别是 $B C, P D$ 的中点．

(1)、若过点 $A, E, F$ 的平面交 $P C$ 于点 $G$ ，求 $\frac{P G}{G C}$ 的值；

(2)、在棱 $P C$ 上取一点 $H$ ，使得 $P D ⊥$ 平面 $A H F$ ，求面 $A F H$ 与面 $E F H$ 夹角的余弦值．

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20、现有6个除颜色外大小和形状完全相同的小球，其中3个红球，3个白球．甲同学将这6个小球全部分配到一号和二号盒子中，分配完成后，乙先随机选一个盒子，再从选中的盒子中随机摸1个球，试验结束．

(1)、若甲在一号盒子中放置了2个红球和1个白球，求乙摸到红球的概率；

(2)、甲应该如何分配这些球，才能使乙摸到红球的概率最大，说明理由并求出此时概率的最大值．

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