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1、下列结论正确的是（　　）

A、 $O$ 为平面内一定点，如 $\vec{O A} = 3 \vec{O B} - 2 \vec{O C}$ ，则 $A 、 B 、 C$ 三点共线且 $\vec{A B} = 2 \vec{B C}$ B、非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 C、已知 $\vec{a} = (- 6 ， 8) ， \vec{b}$ 是与 $\vec{a}$ 平行的单位向量，则 $\vec{b} = (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ D、平面内 $△ A B C$ 与动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) (λ \in R)$ ，则点 $P$ 的轨迹必过 $△ A B C$ 的内心

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2、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b = 1$ ．则下列结论一定成立的是（）

A、 $a b \leq \frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \geq 12$ C、 $4 a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{5}$

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3、已知点 $(a, 0) (a > 0)$ 是函数 $y = 2 tan (4 x + \frac{π}{3})$ 的图象的一个对称中心，则 $a$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{π}{24}$

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4、不等式 $\frac{x - 5}{x - 2} \geq 2$ 的解集为（　　）

A、 $\{x ∣ - 1 \leq x \leq 2\}$ B、 $\{x ∣ x \leq - 1\}$ C、 ${x ∣ - 1 \leq x < 2}$ D、 ${x ∣ x > 2}$

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5、若 $\frac{z}{z - 1} = 1 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（　　）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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6、已知集合 $M = \{x ∣ y = \sqrt{x - 1}\} ， N = \{y ∣ y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则 $M$ 与 $N$ 的关系为（　　）

A、 $M = N$ B、 $M \subseteq N$ C、 $N \subseteq M$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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7、设 $f_{n} (x) = {sin}^{n} ω x + {cos}^{n} ω x$ ，其中 $ω > 0$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、若 $f_{4} (x_{0}) = \frac{2}{3}$ ，求 $f_{6} (x_{0})$ 的值；

(2)、若 $ω = 1$ ，求不等式 $f_{1} (x) + 2 f_{3} (x) > 0$ 的解集；

(3)、若对任意 $x_{1}, x_{2} \in [\frac{π}{16}, \frac{π}{12}]$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，恒有 $\frac{f_{4} (x_{2})}{f_{4} (x_{1})} < \frac{f_{8} (x_{2})}{f_{8} (x_{1})}$ ，求实数 $ω$ 的取值范围.

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8、近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域 $O M N$ 内修建矩形水池 $A B C D$ ，矩形一边 $A B$ 在 $O M$ 上，点 $C$ 在圆弧 $M N$ 上，点 $D$ 在边 $O N$ 上，且 $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ， $O M = 60$ 米，设 $∠ C O M = α$ .

(1)、若 $α = \frac{π}{4}$ ，求 $O D$ 的长；

(2)、若矩形 $A B C D$ 的面积为 $S (α)$ ，当 $α$ 为何值时， $S (α)$ 取得最大值，并求出这个最大值.

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |x + 2|, x \leq 0 \\ |{log}_{3} x|, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有4个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是， $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是.

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10、函数 $f (x) = \lg (x^{2} - 2 x)$ 的单调递增区间是．

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11、已知函数 $y = e^{x} - a x$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，函数 $y = ln x - \frac{1}{a} x$ 有两个零点 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则（）

A、 $x_{1} = ln x_{2}$ B、 $x_{3} = e^{x_{2}}$ C、 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ D、 $x_{1} \cdot x_{3} = x_{2}^{2}$

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12、已知曲线 $C_{1} : y = sin x$ ， $C_{2} : y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、把曲线 $C_{1}$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线 $C_{2}$ B、把曲线 $C_{1}$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变）得到曲线 $C_{2}$ C、把曲线 $C_{1}$ 上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度得到曲线 $C_{2}$ D、把曲线 $C_{1}$ 上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线 $C_{2}$

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13、已知实数 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a^{3} > b^{3}$ B、 $2^{a} > 2^{b}$ C、 $\log_{0.5} a > \log_{0.5} b$ D、 $a |a| > b |b|$

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14、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \ln x + x, x > 0 \\ \sin (ω x - \frac{π}{3}), - π \leq x \leq 0 \end{matrix}$ 恰有 $4$ 个零点，则正数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{8}{3}, \frac{11}{3})$ B、 $(\frac{8}{3}, \frac{11}{3}]$ C、 $(\frac{5}{3}, \frac{8}{3})$ D、 $(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$

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15、已知函数 $f (x) = \cos (x + φ)$ ，则“ $f (- 1) = f (1)$ ”是“ $f (x)$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、若对定义域内的任意 $x$ ，不等式 $(e^{x} - a) ln (x + b) \geq 0$ 恒成立，则 $b^{2} + 2 ln a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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17、函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ 在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（）

A、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ D、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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18、已知向量 $\vec{m} = (\cos 2 x, 1 + \sin x)$ ， $\vec{n} = (\frac{\sqrt{3}}{2} \tan 2 x, 1 - \sin x)$ ，且函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期与单调增区间.

(2)、若锐角 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对的边， $2 \cos^{2} \frac{B}{2} + \cos B = 2$ ，求 $f (\frac{A}{2})$ 的取值范围.

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19、已知函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值与最小值之和等于6，设函数 $f (x) = \frac{2 a^{x} + 1}{a^{x} + 1}$ .

(1)、求 $a$ 的值，判定函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(2)、证明 $g (x) = f (x) - \frac{3}{2}$ 为奇函数；

(3)、若不等式 $f (x + 1) - f (x) - m < 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} + {(a - 1)}^{2}$ ， $g (x) = |x + a - 1|$ ， $h (x) = |x - 1| + |x - 4|$ .

(1)、若 $F (x) = f (x) + g (x)$ 为偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、对任意的 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in R$ 使得 $h (x_{2}) \leq f (x_{1}) - g (x_{1})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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