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相关试卷

1、寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为 $60 %$ ，跳绳的概率为 $40 %$ ，在下雪天，他跑步的概率为 $20 %$ ，跳绳的概率为 $80 %$ ．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为 $50 %$ ，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 $40 %$ ．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第 $n$ 天不下雪的概率为 $p_{n}$ ．

(1)、求 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的值，并证明 $\{p_{n} - \frac{6}{11}\}$ 是等比数列；

(2)、求小明寒假第 $n$ 天通过运动锻炼消耗能量的期望．

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2、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} ω x + \sqrt{3} sin ω x cos ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ．

(1)、当 $ω = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的值域；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b + c = \frac{3}{2} b c$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ ， $f (\frac{A}{2}) = 0$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点均在同一球面上， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， $△ B C D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，则 $△ A B C$ 面积的最大值为，四面体 $A B C D$ 体积最大时球的表面积为．

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4、用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数 $\bar{a b c d e}$ ，其中满足 $a > b > c < d < e$ 的五位数有n个，则在 $1 + {(1 + x)}^{1} + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{n}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是（用数字作答）

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 短轴长为4，焦距为 $3$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，若点 $P$ 为 $C$ 上的任意一点， $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{2}{|P F_{2}|}$ 的最小值为.

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6、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，且 $f (x) + g^{'} (x) - 8 = 0$ ， $f (x - 2) - g^{'} (6 - x) - 8 = 0$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则下列一定成立的有（）

A、 $g^{'} (4) = 0$ B、 $f (1) + f (3) = 16$ C、 $f (2023) = 8$ D、 $\sum_{n = 1}^{20} f (n) = 160$

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7、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若． $z_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ （i为虚数单位），向量 $\vec{O A}$ 绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量 $\vec{O B}$ 重合，则（）

A、 $z_{2}$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、点B在第二象限 C、 $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{2}$ D、 $|\frac{z_{2}}{z_{1}}| = 2$

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8、设 $a = \frac{1}{4}$ ， $b = 2 ln (sin \frac{1}{8} + cos \frac{1}{8})$ ， $c = \frac{5}{4} ln \frac{5}{4}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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9、过双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的右支上一点 $P$ ，分别向 $⊙ C_{1} : {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 3$ 和 $⊙ C_{2} : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 作切线，切点分别为 $M, N$ ，则 $(\vec{P M} + \vec{P N}) \cdot \vec{N M}$ 的最小值为（）

A、28 B、29 C、30 D、32

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10、甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个社区中随机选择一个社区，设事件 $M$ 为“甲和乙至少一人选择了 $A$ 社区”，事件 $N$ 为“甲和乙选择的社区不相同”，则 $P (N | M) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{5}{9}$

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11、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ， $\vec{c} = \frac{1}{3} \vec{a}$ ，若 $\vec{c}$ 为 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的余弦值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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12、已知集合 $A$ ， $B$ ，若 $A = \{x | \log_{4} x \leq 1\}$ ，且 $A \cap B = (0, 3]$ ，则集合 $B$ 可以为（）

A、 ${y | y = \sqrt{3 - x}}$ B、 ${x | y = \sqrt{3 - x}}$ C、 $\{x | 2^{x} < 8\}$ D、 $\{x |\frac{x}{x - 3} \leq 0\}$

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $A (\sqrt{2}, 1)$ ，定义第 $n (n \in N^{*})$ 次操作为：经过 $C$ 上的点 $A_{n}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于另一点 $B_{n}$ ，记 $B_{n}$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $A_{n + 1}$ ，若 $A_{n + 1}$ 与 $B_{n}$ 重合，则操作停止；否则一直继续下去．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $A_{1}$ 为 $C$ 的左顶点，经过3次操作后停止，求 $k$ 的值；

(3)、若 $k = - \frac{b}{a}, A_{1}$ 是 $C$ 在第一象限与 $A$ 不重合的一点，求 $△ A_{n} A_{n + 1} A_{n + 2}$ 的面积．

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14、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} + m x (1 - \ln x)$

(1)、令 $g (x) = f^{'} (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有极大值点 $x_{0} (x_{0} \neq 1)$ ，求证 $f (x_{0}) > 1$ ．

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形ABCD是正方形， $P D = D C, P D ⊥$ 底面ABCD， $E$ 是线段PC的中点， $F$ 在线段PB上， $E F ⊥ P B$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 平面BDE；

(2)、求证： $P B ⊥$ 平面DEF

(3)、 $G$ 在线段PB之间（不含端点），EG与PA所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求平面DEF与平面DEG夹角的余弦值．

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16、2026年我国科技前沿的标志性事件可以概括为四大主线，第一类就是人工智能与算力，第二类是航天与通信，第三类是能源与材料，第四类是生命科学与前沿突破．其中第一类人工智能与算力包含四个事件：AI超级计算平台规模化落地，多智能系统成为标配，特定领域语言模型爆发，脑机接口商业化元年；第二类航天与通信包含三个事件：低轨卫星互联网组网成型，6G试验网与标准突破，商业空间站与深空探测；第三类能源与材料包含三个事件：可控核聚变“亿度”持续运行，钠离子电池量产应用，高端材料国产替代领跑；第四类生命科学与前沿突破包含两个事件：碱基编辑疗法临床验证，量子计算实用化进展．

(1)、从前三类主线的10个事件中随机选取一个事件，求该事件属于第一类主线的概率；

(2)、从前三类主线的10个事件中不可放回的方式随机选取三个事件，随机变量 $X$ 表示所选事件属于第二类或第三类的数量，求随机变量 $X$ 的分布列和期望；

(3)、从前三大主线的10个事件中按可放回的方式随机选取三个事件，随机变量 $Y$ 表示事件属于第二类或第三类的数量，比较 $E (X)$ 与 $E (Y)$ 的大小关系．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\cos^{2} {(a_{n})}^{°}\}$ 的前90项和．
注意：这里 ${(a_{n})}^{°}$ 表示角度， $\cos^{2} {(a_{n})}^{°} = {[\cos {(a_{n})}^{°}]}^{2}$

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18、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | \leq \frac{π}{2}), x = - \frac{π}{8}$ 是 $y = f (x)$ 的零点，直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 为 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴，且函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{24})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为．

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}, C$ 的一条渐近线与圆 ${(x - \sqrt{2})}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点，则 $| A B | =$ ．

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20、若 $(1 + 5 x) {(1 + x)}^{2026} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2027} x^{2027}$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2026} =$ ．

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