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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P B = P D = A B = A D = 2$ ， $B C = 1$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值．

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2、袋中装有4个红球和2个黑球，第一次随机取出1个小球，若是红球则放回，否则不放回.

(1)、第二次随机取出1个小球，求两次取出的球颜色相同的概率；

(2)、第二次随机取出2个小球，记两次取出红球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布列及数学期望.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(2 c - b) \cdot \cos A = a \cdot \cos B$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $b + c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、在 $4 \times 4$ 的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为．

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5、设直线 $2 x - y = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 m y + 2 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A B| = 2$ ，则实数 $m$ 的值为．

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6、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{2} + a_{5} = 6$ ， $2 a_{3} + a_{4} = 8$ ，则 $S_{10} =$ ．

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点 $A (1, 1)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为6 B、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ 时， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{6}$ C、 $△ F_{1} P A$ 周长的最小值是 $3 + \sqrt{5}$ D、 $△ F_{1} P A$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$

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8、将函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论中正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ B、 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上只有一个零点 C、 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、点 $(\frac{5 π}{2}, 0)$ 是 $g (x)$ 图象的一个对称中心

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9、若 $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出 $α ⊥ β$ 的是（）

A、 $l \subset β$ ， $l ⊥ α$ B、 $l ⊥ β$ ， $l / / α$ C、 $α / / γ$ ， $β ⊥ γ$ D、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (2 x + 1)$ 为偶函数， $f (\frac{1}{2} - 2 x)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 的最小正周期为4 D、 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递增

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11、已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为 $1 : 3$ ，底面半径之比为 $1 : 2$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $27 π$ B、 $36 π$ C、 $72 π$ D、 $108 π$

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12、若 $tan (α + \frac{π}{4}) = 7$ ，则 $\sin 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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14、已知一组数据：4，6，a，10，12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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15、已知 $\vec{a} = (3, m)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、4 B、1 C、 $\sqrt{17}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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16、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 6 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 6 \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 6 < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 6 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 6 \leq 0$

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17、已知 $z = 2 + i$ ，则 $i \cdot (z - 1) =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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18、已知 $f (x) = (1 - x) e^{x} - 1$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} e^{a_{n + 1}} = e^{a_{n}} - 1$ ， $a_{1} = 1$ ，
①若不等式 $a_{n} \leq m$ 对任意的正整数n成立，求实数m的取值范围；
②若 $a_{n} \leq λ a_{n + 1}$ ，求实数λ的最小值．

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19、已知直角坐标系中 $△ A B C$ 满足 $\frac{sin B + sin C}{sin A} = \sqrt{2}$ ， $B (- 1, 0)$ ， $C (1, 0)$ ，动点A的轨迹为曲线T．

(1)、求曲线T的方程；

(2)、若半径为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 的圆的圆心M在曲线T上运动，过原点O作圆M的两条切线，分别与曲线T交于E，F，射线 $O E$ ， $O F$ 的斜率存在，并记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．
①求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；
②求 $|O E| \cdot |O F|$ 的最大值．

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20、随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以 $x$ （单位：吨， $100 \leq x \leq 150$ ）表示下一个销售季度的市场需求量， $T$ （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）视 $x$ 分布在各区间内的频率为相应的概率，求 $P (x \geq 120)$ ；
（Ⅱ）将 $T$ 表示为 $x$ 的函数，求出该函数表达式；
（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如 $x \in [100, 110)$ ，则取 $x = 105$ 的概率等于市场需求量落入 $[100, 110)$ 的频率），求 $T$ 的分布列及数学期望 $E (T)$ ．

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