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相关试卷

1、已知实数 $m$ 、 $n$ 满足 $\frac{m^{2}}{8} - 2 n^{2} = 3$ ，则 $m^{2} + m n$ 的最小值为.

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2、命题“ $\forall x \in [1, 2]$ ， $x^{2} + ln x - 2 a \leq 0$ 为假命题”，则实数 $a$ 的取值范围为.

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3、有一组数据： $5$ 、 $7$ 、 $10$ 、 $9$ 、 $8$ .则其第 $60$ 百分位数为.

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4、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，以下说法正确的是（）

A、若点 $P$ 为正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 内部及边界上的动点，且满足 $D_{1} P = \sqrt{10}$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度是 $\frac{π}{2}$ B、若点 $P$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内部及边界上任意一点，则存在点 $P$ 使得点 $B$ ， $D_{1}$ 到平面 $P A C$ 的距离之和等于 $\frac{1}{2} B D_{1}$ C、若点 $P$ 在正方体的内切球表面上运动，且 $B P ∥$ 面 $A C D_{1}$ ，则 $B P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、若点 $P$ 满足 $P A_{1}^{2} + P C_{1}^{2} = P B^{2} + P D^{2}$ ，则动点 $P$ 构成的平面截三棱锥 $C_{1} - A_{1} B D$ 所得截面的面积为 $\frac{9}{2}$

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5、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f ({log}_{3} x) = x^{2} - 4 x + 3$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的解析式为 $f (x) = 9^{x} - 4 \times 3^{x} + 3$ B、函数 $f (x)$ 图象的对称轴为直线 $x = 2$ C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[{log}_{3} 2, + \infty)$ D、函数 $|f (x)|$ 在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上的最大值为 $4 \sqrt{3} - 6$

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6、下列说法正确的是（）

A、经验回归方程为 $\hat{y} = 0.1 - 0.7 x$ 时，变量 $x$ 与变量 $y$ 成正相关 B、在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C、若随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \geq 3) = 0.3$ ，则 $P (1 \leq X \leq 2) = 0.2$ D、已知随机事件 $A$ 、 $B$ ，若 $P (A) = \frac{3}{7}$ ， $P (B |A) = \frac{8}{9}$ ，则 $P (A B) = \frac{8}{21}$

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7、记函数 $m (x) = \{\begin{array}{l} f (x), f (x) \leq g (x) \\ g (x), f (x) > g (x) \end{array}$ .已知函数 $f (x) = - x^{3} - t x + e^{2} - t$ ， $g (x) = e^{2 x} - t x - (t + 1)$ ， $t \in R$ ，若 $m (x)$ 有且只有 $3$ 个零点，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{e^{2} - 1}{2}, + \infty)$ B、 $[0, \frac{e^{2}}{2}]$ C、 $(- \infty, - \frac{e^{2}}{2}]$ D、 $(0, \frac{e^{2} - 1}{2})$

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8、已知函数 $f (x) = 2 sin ω x \cdot cos ω x + 2 {sin}^{2} ω x (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{8}]$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 4]$ B、 $[\frac{3}{2}, \frac{7}{3}]$ C、 $[\frac{4}{3}, \frac{3}{2}]$ D、 $[\frac{9}{4}, \frac{7}{3}]$

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9、甲、乙、丙、丁、戊五位同学课间玩“击鼓传花”游戏.第1次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，往后依此类推，经过4次传花，花仍回到甲手中，则传法总数为（）

A、36 B、48 C、52 D、64

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10、若 $p : a = 2$ ， $q :$ 函数 $f (x) = (x + a - 2) (x^{2} + a - 1)$ 为 $R$ 上的奇函数，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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11、 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{4}$ 展开式中常数项为（）

A、48 B、 $- 48$ C、24 D、 $- 24$

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12、已知 $tan (x + π) = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{1}{{cos}^{2} x} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $4$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、设集合 $A = \{x |0 \leq x < 4\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 4)$ B、 $(0, 2)$ C、 $[- 1, 4)$ D、 $[0, 2)$

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14、在 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数等于（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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15、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x (a \in R)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $a > 0, g (x) = \frac{x [f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - 3 x] - e^{x}}{x - 1}$ 在 $(2, + \infty)$ 上不单调，求 $a$ 的取值范围；

(3)、已知 $h (x) = \frac{f^{'} (x) - 3}{x} + ln x$ ，若 $h (x)$ 在定义域内有三个不同的极值点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且满足 $h (x_{1}) \cdot h (x_{2}) \cdot h (x_{3}) \geq \frac{1}{e} - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、甲､乙两名操作员对 $A, B, C$ 三种电子信息传递元件进行随机连接检测，并制定如下标准：第一次由 $A$ 元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，若第三次传递后，信息在 $A$ 元件中，则该组检测成功，否则该组检测失败.若该组检测成功，则由原操作员继续操作下一组检测；反之，则由另一操作员按上述规则继续操作下一组检测.

(1)、求一组随机连接检测成功的概率；

(2)、若第1次从甲开始进行随机连接检测，记在前4次检测中，乙操作的次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列与期望；

(3)、若第1次从乙开始进行连接检测，求第 $n$ 次由乙操作的概率 $P_{n}$ .

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17、已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的焦点相同，且离心率之比为 $3 : 1$ .

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l : x - n y + 3 = 0$ 与双曲线 $C_{1}$ 的左､右两支分别交于 $P, Q$ 两点，记点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P^{'}$ ，证明：直线 $P^{'} Q$ 过定点，并求出该定点的坐标.

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18、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，底面 $△ B C D$ 是等腰直角三角形， $A D ⊥$ 底面 $B C D, A D = B C = C D = 2, M$ 是 $A D$ 的中点， $P$ 是 $B M$ 的中点，且 $\vec{A Q} + 3 \vec{C Q} = \vec{0}$ .

(1)、证明： $P Q$ $∥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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19、在研究某类杨树的树高与胸径（树的主干在地面以上 $1.3 m$ 处的直径）之间的关系时，某研究员收集的一些数据如表1所示.

(1)、由表1数据，求胸径 $d$ 与树高 $h$ 的平均值；（胸径 $d$ 精确到 $0.1 cm$ ，树高 $h$ 精确到 $0.1 m$ ）

(2)、根据这些数据，可建立该类杨树树高 $\hat{h}$ （单位： $m$ ）关于胸径 $d$ （单位： $cm$ ）的一元线性回归模型为 $\hat{h} = 0.25 d + \hat{a}$ ，用（1）中结果求 $\hat{a}$ 的值并估计胸径为 $30 cm$ 的该类杨树的树高；（精确到 $0.1 m$ ）

(3)、若这12棵杨树树龄相同，分别种植于南坡和北坡，且成材情况如表2所示，根据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为树龄相同的这类杨树是否成材与种植位置有关联？
编号
1
2
3
4
5
6
胸径 $/ cm$
18.1
20.1
22.2
24.4
26.0
28.3
树高 $/ m$
18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
编号
7
8
9
10
11
12
胸径 $/ cm$
29.6
32.4
33.7
35.7
38.3
40.2
树高 $/ m$
22.4
22.6
23.0
24.3
23.9
24.7
表1
种植位置
成材情况
合计
成材
未成材
南坡
5
1
6
北坡
2
4
6
合计
7
5
12
表2
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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20、小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有 $n (2 \leq n \leq 5$ 且 $n \neq 4)$ 只，其余的为蓝鸽，且随机取出2只信鸽，其品种不相同的概率是 $\frac{11}{15}$ .现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用 $X$ 表示取出的2只信鸽的分数之和，则 $X$ 的数学期望为.

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编号	1	2	3	4	5	6
胸径 $/ cm$	18.1	20.1	22.2	24.4	26.0	28.3
树高 $/ m$	18.8	19.2	21.0	21.0	22.1	22.1
编号	7	8	9	10	11	12
胸径 $/ cm$	29.6	32.4	33.7	35.7	38.3	40.2
树高 $/ m$	22.4	22.6	23.0	24.3	23.9	24.7

种植位置	成材情况		合计
种植位置	成材	未成材	合计
南坡	5	1	6
北坡	2	4	6
合计	7	5	12

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828