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相关试卷

1、已知等轴双曲线的实轴长为 $2 a (a > 0)$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $|F_{1} A| = |A B|$ ，则 $|B F_{2}| =$ （）

A、 $\frac{1}{2} a$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$ C、 $a$ D、 $\sqrt{2} a$

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2、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若 $A B = A C = A A_{1} = 2 ， ∠ B A C = 120^{\circ} ，$ 则此球的表面积为（）

A、10π B、12π C、16π D、20π

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3、已知两点 $A (- 1, 5), B (0, 0)$ ，若直线 $l : (k + 1) x - (2 k - 2) y + 2 k - 6 = 0$ 与线段 $A B$ 有公共点，则直线 $l$ 倾斜角的取值范围为（）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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4、若函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 x^{2} - 12 x + 20, x \leq 2 \\ 3 + \log_{a} x, x > 2 \end{cases}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）值域是 $[4, + \infty)$ ，则实数 $a$ 取值范围为（）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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5、过点 $P (3, 2)$ 作圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 和 $B$ ，则切点弦 $A B$ 所在直线的方程为（）

A、 $2 x + y - 6 = 0$ B、 $x + 2 y - 7 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $3 x + y - 9 = 0$

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6、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为 $C D_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则（）

A、 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} - \frac{3}{2} \vec{c}$

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7、已知复数z满足 $z + 2 \bar{z} = 3 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、1

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8、设集合 $A = \{x \in N ∣ 0 \leq x \leq 3\}$ ， $B = \{2, 0, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{2, 0, 5\}$ C、 $\{2, 0\}$ D、 $\{0, 5\}$

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9、设正整数 $n \geq 4$ ，若由实数组成的集合 $A = \{a_{1}, a_{2} ， \dots, a_{n}\}$ 满足：“对 $A$ 中任意三个不同的元素 $a, b, c$ ，均有 $a + b + c \in A$ 或 $a b c \in A$ ．则称 $A$ 具有性质 $P$ ．

(1)、分别判断 $A_{1} = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ 和 $A_{2} = \{\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 2\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由：

(2)、设 $a > b > c > 0$ ，集合 $B = \{- c, - b, - a, a, b, c\}$ 具有性质 $P$ ，记 $B$ 中不小于1的元素个数为 $k$ ，求 $k$ 的取值范围；

(3)、若集合 $A$ 具有性质 $P$ ，求 $n$ 的最大值．

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10、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $y = f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式：

(2)、若 $f (t + 1) > f (3 - t)$ ，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、设函数 $g (x) = x^{2} - m x + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) = 1$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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11、已知二次函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 的一个零点为1，且满足 $f (0) = f (4)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[a ， a + 2]$ 上的最小值；

(3)、设 $g (x) = k x - 3$ ，垂直于 $x$ 轴的直线 $l ： x = t (t \in R)$ 分别交函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象于 $M ， N$ 两点，若线段 $M N$ 的长度恒大于2，求实数 $k$ 的取值范围．

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12、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 a x + a + 1 = 0\} ， B = {x ∣ k x - 2 > 0}$ ．

(1)、若 $A = \{x_{1}, x_{2}\}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 28$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 2, A \cup B = B$ ，求实数 $k$ 的取值范围．

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13、已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2$ ．

(1)、求 $a b$ 的最大值：

(2)、求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值；

(3)、求 $a^{2} + 2 b^{2}$ 的最小值．

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14、求下列关于 $x$ 的不等式的解集：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 12 > 0$ ：

(2)、 $\frac{x}{x - 1} \geq 2$ ；

(3)、 $x^{2} + a x - 2 a^{2} < 0$ ．

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15、已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2^{x}$ ，则
①函数 $f (x)$ 没有零点；
②函数 $f (x)$ 有最小值；
③对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立；
④对于任意 $M \in R$ ，存在 $x_{0} \in R$ ，对于任意 $x > x_{0}$ ，有 $f (x) > M$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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16、已知 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 4 a x, x \leq a \\ x + a, x > a \end{cases}$ ．若 $f (x)$ 的最小值为0，则实数 $a$ 的值是；若 $y = f (x)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是．

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17、能说明命题：“若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ”是假命题的一组 $a ， b$ 的取值为 $a =$ ， $b =$ ．

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18、函数 $f (x) = \sqrt{x + 2} + \frac{1}{x}$ 的定义域为．

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19、 $4^{\frac{1}{2}} + {(- 2)}^{0} =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ， $g (x) = \{\begin{cases} f (x) + a, x \geq 0 \\ - f (x) - a, x < 0 \end{cases}$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ ，使得不等式 $g (x_{0}) (g (x_{0}) + a) < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值不可能为（）

A、 $- \frac{11}{5}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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