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相关试卷

1、已知在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形

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2、若 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 1$ 或0 D、 $- 1$ 或1

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3、计算 $cos 63 ° cos 18 ° + sin 63 ° sin 18 °$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a \ln x + (1 - a) x$ .
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x) > \frac{a^{2}}{2}$ 恒成立，求正实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ .

(1)、求证： $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等比数列.

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、函数 $y = x^{2} - \ln x$ 上的点到直线 $y = x - 2$ 的最短距离是．

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7、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - x + \sin x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程是．

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8、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有种.

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9、下列求导正确的是（）

A、 $(\sin x)^{'} = \cos x$ B、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$ C、 $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ D、 $(\log_{2} x)^{'} = \frac{1}{2^{x}}$

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10、 $f (x) = (x + 2) (x^{2} + x + m)$ 在 $R$ 上既有极大值也有极小值，实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $(1, \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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11、函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \cos x$ 在 $[- π, π]$ 上的图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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12、已知函数 $f (x) = f^{'} (1) x^{2} - \ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- 2$

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13、设 $f (x)$ 为可导函数，且满足 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (3 + Δ x) - f (3)}{3 Δ x} = 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线的斜率是（）

A、6 B、2 C、3 D、 $\frac{2}{3}$

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14、若物体的运动方程是 $s = t^{3} + t^{2} - 1$ ， $t = 3$ 时物体的瞬时速度是（）

A、33 B、31 C、39 D、27

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15、已知 $P$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上异于左、右顶点的一个动点，双曲线 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $F_{2} (3, 0)$ ．当 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的最小内角为 $30 °$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程．

(2)、连接 $P F_{1}$ ，交双曲线于另一点 $A$ ，连接 $P F_{2}$ ，交双曲线于另一点 $B$ ，若 $\vec{P F_{1}} = λ \vec{F_{1} A}, \vec{P F_{2}} = μ \vec{F_{2} B}$ ．
①求证： $λ + μ$ 为定值；
②若直线AB的斜率为−1，求点P的坐标．

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16、如图所示，已知 $△ A B C$ 是以 $B C$ 为斜边的等腰直角三角形，点 $M$ 是边 $A B$ 的中点，点 $N$ 在边 $B C$ 上，且 $B N = 3 N C$ ．以 $M N$ 为折痕将 $△ B M N$ 折起，使点 $B$ 到达点 $D$ 的位置，且平面 $D M C ⊥$ 平面 $A B C$ ，连接 $D A, D C$ ．

(1)、若 $E$ 是线段 $D M$ 的中点，求证： $N E //$ 平面 $D A C$ ；

(2)、求二面角 $D - A C - B$ 的余弦值．

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17、已知集合 $A = \{sin \frac{k π}{4} |k \in N, 且 0 \leq k \leq 4\}$ ，则集合 $A$ 的元素个数为（）

A、3 B、2 C、4 D、5

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18、如图，已知给定线段 $B_{1} C_{1}$ 长为2，以 $B_{1} C_{1}$ 为底边作顶角为 $θ (0^{°} < θ \leq 90^{°})$ 的等腰三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，取 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的腰 $A_{1} B_{1}$ 的三等分点 $B_{2}$ ， $C_{2}$ （ $B_{2}$ 靠近 $A_{1}$ ），以 $B_{2} C_{2}$ 为底边向 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 外部作顶角为 $θ$ 的等腰三角形 $A_{2} B_{2} C_{2}$ ……依次类推，取 $△ A_{n - 1} B_{n - 1} C_{n - 1}$ 的腰 $A_{n - 1} B_{n - 1}$ 的三等分点 $B_{n}$ ， $C_{n}$ （ $B_{n}$ 靠近 $A_{n - 1}$ ），以 $B_{n} C_{n}$ 为底边向 $△ A_{n - 1} B_{n - 1} C_{n - 1}$ 外部作顶角为 $θ$ 的等腰三角形 $A_{n} B_{n} C_{n} (n \geq 2)$ ，得到三角形列 $\{△ A_{n} B_{n} C_{n}\}$ .

(1)、用 $θ$ 表示出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的外接圆半径；

(2)、当 $θ = 60^{°}$ 时，证明： $\{△ A_{n} B_{n} C_{n}\}$ 各顶点均在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接圆上或其内部；

(3)、若 $\{△ A_{n} B_{n} C_{n}\}$ 各顶点均在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接圆上或其内部，求 $\cos θ$ 的取值范围.

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19、已知 $a, b \in R$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a \sqrt{x} - b x$ ， $x \in [0, + \infty)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x)$ 存在零点.
（i）当 $b = 0$ 时，求 $a$ 的取值范围；
（ii）求证： $a^{2} + b^{2} > 2$ .

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20、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ， $O$ 为坐标原点，过 $C$ 的右焦点的直线 $l$ 交 $C$ 的右支于P，Q两点，当 $l ⊥ x$ 轴时， $|P Q| = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过P作直线 $x = 1$ 的垂线，垂足为N.
（i）证明：直线 $Q N$ 过定点；
（ii）求 $△ O Q N$ 面积的最小值.

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