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相关试卷

1、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = A B = A A_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} A C$ ， $M$ 是 $B_{1} C_{1}$ 中点， $N$ 是 $A C$ 中点．

(1)、证明：直线 $M N / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、证明：直线 $M N ⊥ B C$ ；

(3)、求平面 $M N A$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的余弦值．

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2、已知点 $P (2, \frac{3}{2})$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0$ ．

(1)、求圆 $C$ 过点 $P$ 的最短弦所在的直线方程；

(2)、若圆 $C$ 与直线 $x - y + a = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为原点，且 $O A ⊥ O B$ ，求 $a$ 的值．

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3、已知直线 $l_{1}$ ： $x + 3 y + 5 = 0$ ， $l_{2}$ 经过点 $M (3, 1)$ ．

(1)、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、在（1）的条件下，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离；

(3)、若 $l_{2}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|M A| \cdot |M B|$ 的最小值．

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4、已知空间三点 $A (- 2, 0, 1)$ ， $B (- 1, 0, 1)$ ， $C (- 3, 1, 2)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、若向量 $(\vec{a} + k \vec{b})$ 与 $(\vec{a} - k \vec{b})$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值.

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5、点 $N$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 上， $F$ 是椭圆的一个焦点， $M$ 为 $N F$ 的中点，若 $|O M| = 4$ ，则 $|N F| =$ ．

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6、直线 $2 x + 2 y - 3 = 0$ 的倾斜角为．

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7、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1} = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $B F ⊥ D E$ B、该三棱柱的体积为4 C、直线 $D E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $E$ 三点截该三棱柱的截面面积为 $\sqrt{5}$

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8、已知直线 $l$ ： $\sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(1, 0)$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{3}$ B、直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{1} + \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ C、直线 $l$ 的一个方向向量为 $(1, - \sqrt{3})$ D、若直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、已知圆 $O_{1}$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 与圆 $O_{2}$ ： ${(x + 2 a)}^{2} + y^{2} = 9$ 有两条公切线，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ B、 $(- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ C、 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{6}}{3}, + \infty)$ D、 $(0, \frac{2 \sqrt{6}}{3})$

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10、如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，已知 $E$ 是 $B C$ 上靠近 $C$ 的三等分点， $F$ 是 $A E$ 的中点，则 $\vec{O F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{O A} - \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$

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11、经过点 $M (1, 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 的切线，则切线方程为（）

A、 $2 x + y - 5 = 0$ B、 $2 x - y - 5 = 0$ C、 $x + 2 y - 5 = 0$ D、 $x - 2 y - 5 = 0$

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12、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点， $P$ 为椭圆上一点，若 $|P F_{1}| = 2$ ，则 $|P F_{2}|$ 为（）

A、1 B、4 C、6 D、7

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13、已知直线 $l_{1}$ ： $x + m y - 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $m x + 3 y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m$ 为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、0 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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14、已知直线过 $A (0, - 1)$ 、 $B (1, 0)$ 两点，则该直线的斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} =1$ ，且 $a_{1}$ 为 $a_{2}$ 与 $S_{2}$ 的等差中项，当 $n ≥2$ 时，总有 $2 S_{n +1} −3 S_{n} + S_{n −1} =0$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{m}$ 为 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 在区间 $(0, 4^{m −1}] (m ∈ N^{*})$ 内的个数，记数列 $\{{(−1)}^{m} ⋅ b_{m}^{2}\}$ 的前 $m$ 项和为 $W_{m}$ ，求 $W_{20}$ .

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{λ a_{n}}{1 + a_{n}^{λ}}$ ， $n \in N^{*}$ .
（1）若 $λ = 1$ .
①求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
②证明：对 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{1} a_{2} a_{3} + a_{2} a_{3} a_{4} + \dots$ $+ a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} = \frac{n (n + 5)}{12 (n + 2) (n + 3)}$ .
（2）若 $λ = 2$ ，且对 $\forall n \in N^{*}$ ，有 $0 < a_{n} < 1$ ，证明： $a_{n + 1} - a_{n} < \frac{\sqrt{2} + 1}{8}$ .

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17、济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区.先行区将以“结构优化､质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城.2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000(万元)，每年生产机器人 $x$ (百个)，需另投入成本 $C (x)$ (万元)，且 $C (x) = \{\begin{array}{l} 10 x^{2} + 200 x, 0 < x < 40 \\ 601 x + \frac{10000}{x} - 4500, x ⩾ 40 \end{array}$ ，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完.
(1)求年利润 $L (x)$ (万元)关于年产量 $x$ (百个)的函数关系式；(利润=销售额-成本)
(2)该企业决定：当企业年最大利润超过2000(万元)时，才选择落户新旧动能转换先行区.请问该企业能否落户先行区，并说明理由.

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18、已知函数 $f (x) = \sin x$ ， $g (x) = e^{x} \cos x$ .
（Ⅰ）函数 $h (x) = \frac{g (x)}{f (x)}$ ，分析 $h (x)$ 在 $(0, π)$ 上的单调性.
（Ⅱ）若函数 $H (x) = g (x) - x f (x)$ .
（i）当 $x \in [- \frac{π}{2}, 0]$ 时，求 $H (x)$ 的最小值；
（ii）当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时，求 $H (x)$ 零点的个数.

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19、已知 $\tan x = 2$ ，求：

(1)、 $\frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x}$ 的值.

(2)、 $2 \sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x$ 的值.

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20、已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是立方米.

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