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相关试卷

1、已知O为坐标原点，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $P Q$ 交椭圆 $C$ 于P，Q两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、记以 $O P, O Q$ 为直径的圆的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, △ O P Q$ 的面积为S，求 $S (S_{1} + S_{2})$ 的最大值.

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2、如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $A D = 2, D D_{1} = 4$ ，点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $C_{1} P = 3 P C$ .

(1)、求三棱锥 $V_{P - B C D}$ 的体积；

(2)、直线 $A_{1} P$ 与平面PBD所成角的正弦值.

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3、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，圆 $C$ 经过点 $M (1, 1)$ 和点 $N (4, 2)$ ，且圆心在直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $x = t y + 3$ 被圆 $C$ 截得弦长为 $2 \sqrt{17}$ ，求实数 $t$ 的值.

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4、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (- 1, 0, 2), \vec{c} = (1, \frac{4}{k}, 2)$ 且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 互相平行，则实数 $k$ 的值.

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5、已知直线 $l : (2 - m) x + (2 m + 1) y + 3 m + 4 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 1, 2)$ B、直线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 垂直，则 $m = \frac{1}{3}$ C、当点 $Q (3, 4)$ 到直线 $l$ 的距离取到最大时，此时 $m = \frac{4}{7}$ D、直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y + 16 = 0$ 所截得的最短弦长为1

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6、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在线段 $A D_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 上（含端点），则下列命题正确的是（）

A、 $M N$ 长的最小值为 $1$ B、三棱锥 $M - B N C$ 的体积为定值 C、有且仅有一条直线 $M N$ 与 $A D_{1}$ 垂直 D、当点 $M$ 、 $N$ 为线段中点时，则 $△ M B N$ 为等腰三角形

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7、已知 $F$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的右焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点， $Q$ 为圆 $M : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上一点，则 $| P Q | - | P F |$ 的最小值为（）

A、－5 B、－4 C、－3 D、－2

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8、过点 $(3, 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ 相切的两条直线的夹角为 $θ$ ，则 $\sin θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{11}{13}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{13}$

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9、在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = 3 \vec{M A}, N$ 为 $B C$ 的点，且 $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$

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10、已知圆的标准方程为 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ ，则圆心坐标为（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(- 2, - 1)$

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11、设 $a, b, m \in R$ ，若满足 ${(a - m)}^{2} < {(b - m)}^{2}$ ，则称 $a$ 比 $b$ 更接近 $m$ .

(1)、设 $2 \sqrt{x}$ 比 $\sqrt{x} + 1$ 更接近0，求 $x$ 的取值范围；

(2)、判断“ $\frac{x + y - 2 m}{x - y} < - 1$ ”是“ $x$ 比 $y$ 更接近 $m$ ”的什么条件，并说明理由；

(3)、设 $x > 0$ 且 $x \neq \sqrt{3}, y = \frac{x + 3}{x + 1}$ ，试判断 $x$ 与 $y$ 哪一个更接近 $\sqrt{3}$ .

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12、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，且不等式 $f (x) < 2 x$ 的解集为 $(1, 3)$ ，对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x) \geq 2$ 恒成立.
（1）求 $f (x)$ 的解析式；
（2）若不等式 $k f (2^{x}) - 2^{x} + 1 \leq 0$ 在 $x \in [1, 2]$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围.

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13、（1）求值： $π^{0} + {(- 2)}^{- 2} + \sqrt[4]{\frac{81}{256}} - \sqrt{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}}$ ；
（2）求值： $3^{{log}_{9} 4} + {(lg 5)}^{2} + lg 2 \times lg 50$ .
（3）解方程： $10^{{(lg x)}^{2}} + x^{lg x} = 20$ .

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14、依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜.税率与速算扣除数见下表：
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率（%）
速算扣除数
1
[0，36000]
3
0
2
(36000，144000]
10
2520
3
(144000，300000]
20
16920
4
(300000，420000]
25
31920
5
(420000，660000]
30
$N$
小华的全年应纳税所得额100000元，则全年应缴个税为 $36000 \times 3 % + 64000 \times 10 % = 7480$ 元.还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额 $\times$ 对应档的税率 $-$ 对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为 $100000 \times 10 % - 2520 = 7480$ 元.按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为，表中的 $N =$ .

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15、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{x}) = \frac{x^{2}}{2 x^{2} + 1}$ ，则函数 $f (x)$ 值域为.

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16、关于 $x$ 的方程 $2024^{x} = \frac{2 + 3 a}{5 - a}$ 有实数根，则实数 $a$ 的取值范围为.

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17、已知函数 $f (x) = |x - \frac{1}{x}| - |x + \frac{1}{x}| + 3$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - (a + 8) f (x) - a = 0$ 有8个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 4, - \frac{15}{4})$ B、 $[- \frac{15}{4}, 0)$ C、 $(- 4, 0)$ D、 $(- 4, - \frac{7}{2})$

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18、已知函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $(- 2, 0)$ ，则 $f (2 x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- 7, - 3)$

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19、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $g (x) = m x^{3} + n x^{2} （ m \neq 0)$ ，请完成下列问题.

(1)、当 $m = 1$ ， $n = - 3$ 时，求函数 $y = g (x)$ 图象的对称中心点坐标；

(2)、在（1）的条件下，若 $h (x) = \frac{g (x)}{x}$ ，关于 $x$ 的方程 $h (| a^{x} - 2 |) - （ 3 k - 1 ） | a^{x} - 2 | + 2 k + 1 = 0 (a > 1)$ 有三个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $\{x |g (x) = 1\} = \{x_{1}, x_{2}\}$ ，证明： $m (x_{1} + x_{2}) < 0$ .

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20、某企业生产 $A$ ， $B$ 两种产品，根据市场调查和预测， $A$ 产品的利润 $y$ （万元）与投资额 $x$ （万元）成正比，其关系如图（1）所示； $B$ 产品的利润 $y$ （万元）与投资额 $x$ （万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示，

(1)、分别将 $A$ ， $B$ 两种产品的利润表示为投资额的函数；

(2)、该企业已筹集到 $40$ 万元资金，并全部投入 $A$ ， $B$ 两种产品的生产，问：怎样分配这 $40$ 万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

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级数	全年应纳税所得额所在区间	税率（%）	速算扣除数
1	[0，36000]	3	0
2	(36000，144000]	10	2520
3	(144000，300000]	20	16920
4	(300000，420000]	25	31920
5	(420000，660000]	30	$N$