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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{C B} - \vec{A C} \cdot \vec{B C} = - \frac{1}{2} {\vec{B C}}^{2}$ ，则 $\tan (B - C)$ 的最大值为.

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2、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过左焦点 $F$ 作直线 $l$ 与圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{c^{2}}{4}$ 相切于点 $E$ ，与椭圆 $C$ 在第一象限的交点为 $P$ ，且 $|P E| = 3 |E F|$ ，则椭圆离心率为.

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3、已知复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 4 - 3 i$ ，则 $| z | =$ .

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4、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x)$ 为非常数函数， $f (x) + f (x + 2) = 6$ ， $g (2 x + 1)$ 为奇函数，则下列结论中正确的是（）

A、 $g (1) = 0$ B、 $g (x + 2) = g (2 - x)$ C、 $f (x) = f (x + 2)$ D、 $\sum_{i = 1}^{40} f (i) = 120$

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5、函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ) (0 < ω \leq 2, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（）

A、 $φ = - \frac{π}{4}$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{7 π}{8})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的表达式可以写成 $f (x) = \sqrt{2} cos (2 x + \frac{3 π}{4})$ D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1$ 在 $(0, m)$ 上有且只有4个实数根，则 $m \in (\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{4}]$

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6、在 $Δ A B C$ 中，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{B P} = 3 \overset{⇀}{P C}$ ，过点 $P$ 的直线与 $A B$ 、 $A C$ 所在的直线分别交于点 $M$ 、 $N$ ，若 $\overset{⇀}{A M} = λ \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A N} = μ \overset{⇀}{A C} (λ > 0, μ > 0)$ ，则 $λ + μ$ 的最小值为

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, b_{1} = 6, a_{n + 1} = 2 a_{n}, b_{n + 1} = 2 b_{n} - a_{n}$ ，若 $a_{m} = b_{m}$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8、如图，已知等腰 $△ A B C$ 中， $|A B| = |A C| = 3, |B C| = 4$ ，点 $P$ 是边 $B C$ 上的动点，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 的值（）

A、为定值 $6$ B、不为定值，有最大值 $6$ C、为定值 $10$ D、不为定值，有最小值 $10$

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, O$ 为坐标原点， $E$ 为抛物线上一点， $| E F | = 4 | O F |$ 且 $S_{△ E F O} = 4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若点 $P$ 在抛物线的准线上，且 $△ P A B$ 为等边三角形，求直线 $A B$ 的斜率．

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 经过 $A (1, 0)$ 和点 $B (- 1, 2)$ ，且圆心在直线 $2 x - y + 2 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $x = a y + 4$ 被圆 $C$ 截得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求实数 $a$ 的值

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11、如图，在空间直角坐标系中有长方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $A A^{'} = 3$ ．求：

(1)、向量 $\vec{A C^{'}}$ ， $\vec{B D^{'}}$ ， $\vec{A D^{'}}$ 的坐标；

(2)、 $\vec{A C^{'}} + 2 \vec{B D^{'}}$ ， $\vec{A C^{'}} + \vec{B D^{'}} - 2 \vec{A D^{'}}$ 的坐标．

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12、如图，边长为 $a$ 的正 $△ A B C$ 的中线 $A F$ 与中位线 $D E$ 相交于 $G$ ，已知 $△ A^{'} E D$ 是 $△ A E D$ 绕 $D E$ 旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有（只需填上正确命题的序号）．
①动点 $A^{'}$ 在平面 $A B C$ 上的射影在线段 $A F$ 上；
②三棱锥 $A^{'} - F E D$ 的体积有最大值；
③恒有平面 $A^{'} G F ⊥$ 平面 $B C E D$ ；
④异面直线 $A^{'} E$ 与 $B D$ 不可能互相垂直；
⑤异面直线 $F E$ 与 $A^{'} D$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{2}]$ ．

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13、唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 $B (- 2, 0)$ ，若将军从山脚下的点 $A (3, 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 5$ ，则“将军饮马”的最短总路程为.

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 2, 3)$ 满足 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = - 1$ ，则 $x =$ ．

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15、已知直线 $l$ 的方向向量 $\vec{n} = (1 ， 0 ， - 1)$ ， $A = (2, 1, - 3)$ 为直线 $l$ 上一点，若点P( $-$ 1，0， $-$ 2)为直线外一点，则P到直线 $l$ 上任意一点Q的距离可能为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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16、柜子里有 $3$ 双不同的鞋子，从中随机地取出 $2$ 只，下列计算结果正确的是（）

A、“取出的鞋成双”的概率等于 $\frac{2}{5}$ B、“取出的鞋都是左鞋”的概率等于 $\frac{1}{5}$ C、“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于 $\frac{2}{5}$ D、“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于 $\frac{1}{2}$

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17、点 $P$ 在圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $Q$ 在 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 24 = 0$ 上，则（）

A、两个圆的公切线有2条 B、两个圆上任意一点关于直线 $4 x + 3 y = 0$ 的对称点仍在该圆上 C、 $|P Q|$ 的取值范围为 $[3, 7]$ D、两个圆的公共弦所在直线的方程为 $6 x - 8 y - 25 = 0$

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18、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）

A、 $\vec{a}, 2 \vec{b}, 3 \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b}, 2 \vec{b} + 3 \vec{c}, 3 \vec{a} - 9 \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c}$

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19、已知圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 81$ 和 $C_{2} : {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若动圆 $P$ 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为 $M$ ，则 $M$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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20、已知 $M$ 为直线 $l : 2 x + 3 y + 1 = 0$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\vec{M P} = (2, - 4)$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $3 x - 2 y + 9 = 0$ B、 $2 x + 3 y + 9 = 0$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{49}{13}$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{49}{13}$

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