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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件 B、甲、乙、丙三种个体按 $1 : 2 : 3$ 的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为3，则抽取的丙个体数为9 C、数据 $4$ ， $3$ ， $4$ ， $6$ ， $8$ ， $7$ ， $8$ ， $9$ 的 $60 %$ 分位数是8 D、数据 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， …， $a_{n}$ 的方差为 $s^{2}$ ，则数据 $3 a_{1}$ ， $3 a_{2}$ ， $3 a_{3}$ ， …， $3 a_{n}$ 的方差为 $9 s^{2}$

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2、在 $△ A B C$ 中， $a b = 2, a^{2} + 3 c^{2} = b^{2}$ ，若以m为参数的不等式 $\cos 2 C + 2 m \sin (A + B) + m^{2} - 2 \geq 0$ 恒成立，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{3}] \cup [1, + \infty)$ C、 $[- \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{3}, - 1] \cup [\frac{2 \sqrt{3} - 1}{3}, 1]$ D、 $[- \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3} - 1}{3}]$

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3、在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °, A B = \sqrt{3}$ ，将 $△ A B D$ 折起到 $△ P B D$ 的位置，若三棱锥 $P - B C D$ 的外接球的体积为 $\frac{7 \sqrt{7} π}{6}$ ，则二面角 $P - B D - C$ 的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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4、若函数 $f (x) = A cos (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- π < φ < π$ ）的图象上有两个相邻顶点为 $M (- 3, \sqrt{3})$ ， $N (1, - \sqrt{3})$ .将 $f (x)$ 的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移 $\sqrt{3}$ 个单位后得 $g (x)$ ，则 $g (\frac{4}{3})$ 为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5、一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $2 π$

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6、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为棱 $A A_{1}$ 的中点，则点B到直线 $C_{1} P$ 的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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7、已知向量 $\vec{a} = (x, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8、已知椭圆 $C$ 经过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，两个焦点为 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ 和 $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $P (- 3, 0)$ 且与椭圆 $C$ 相交于 $M (x_{1}, y_{1})$ 、 $N (x_{2}, y_{2})$ 两点， $0 < y_{1} < y_{2}$ ，点 $M_{1}$ 与 $M$ 关于 $y$ 轴对称，点 $N_{1}$ 与 $N$ 关于 $x$ 轴对称，设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，直线 $M_{1} N_{1}$ 的斜率为 $k_{1}$ .
（i）求证： $k k_{1}$ 为定值，并求出这个定值；
（ii）若 $|M N| = |M_{1} N_{1}|$ ，求直线 $l$ 的方程.

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9、设函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} + b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m$ 在定义域内恰有2个零点，求 $m$ 的取值范围；

(3)、记点 $O (0, 0)$ ，当 $t > 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (t, f (t))$ 处的切线与 $y$ 轴交于点 $B$ ，求三角形 $A O B$ 面积 $S (t)$ 的最大值.

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10、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P D$ ，直线 $P A$ 与 $B C$ 所成的角的余弦值等于 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $P B = 3$ ，点 $M$ 为线段 $P B$ 上的动点， $N$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、若直线 $A M$ 和 $D N$ 相交，求证： $M N / / B C$ ；

(2)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、当三棱锥 $A - B M D$ 的体积最大值时，求此时三棱锥 $A - B M D$ 外接球的体积.

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11、某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下 $2 \times 2$ 列联表：
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
女生
16
30
合计
21
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.

(1)、请完成上面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（计算结果精确到小数点后三位）

(2)、将频率视为概率，从学校不经常锻炼的学生中抽取4人，设抽取的4人中男生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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12、已知定义在实数集 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = \frac{1}{2} + \sqrt{f (x) - f^{2} (x)}$ ，则 $f (0) + f (2025)$ 的取值范围为．

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13、抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若 $F M ⊥ F N$ ，且 $|M F| = 10$ ，则 $|N F| =$ .

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ 的图象如图所示，则 $x_{1} \cdot x_{2} =$ .

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15、已知函数 $f (x) = \frac{\sin 2 x}{1 + 2 \cos^{2} x}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x + π) = f (x)$ B、 $f (x)$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, a)$ 上恰有 $2022$ 个极大值点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{6064}{3} π, \frac{6067}{3} π]$

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16、下列选项中，正确的命题是（）

A、已知随机变量 $X ~ B (n ， p)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ B、 ${(\frac{1}{2} x - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为10. C、用 $χ^{2}$ 独立性检验进行检验时， $χ^{2}$ 的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系. D、样本相关系数 $|r|$ 越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强.

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17、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b \cos C + \sqrt{3} b \sin C = a + c$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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18、已知 $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图所示，则实数 $x, y$ 满足的关系式可以为（）

A、 $|x - 1| - \log_{3} \frac{1}{y} = 0$ B、 $2^{x} - 1 = \frac{x^{3}}{y}$ C、 $2^{|x - 1|} - y = 0$ D、 $\ln |x| = y - 1$

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19、以模型 $y = c e^{k x} (c > 0)$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = ln y$ ，将其变换后得到经验回归方程 $z = 2 x - 1$ ，则 $k, c$ 的值分别是（）

A、 $- 2, e$ B、 $2, \frac{1}{e}$ C、 $- 2, \frac{1}{e}$ D、 $2, e$

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20、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {y ∣ y = - x + 1, x < 0}$ ，则（）

A、 $- 2 \in A \cup B$ B、 ${- 2, - 1} \subseteq A \cup B$ C、 ${1} \subseteq A \cap B$ D、 $2 \in A \cap B$

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性别	不经常锻炼	经常锻炼	合计
男生	7
女生		16	30
合计	21

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635