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相关试卷

1、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = 3$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心．

(1)、求证： $A_{1} O ⊥ B C$ ．

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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2、已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $b cos C + c cos B = 2 a cos A$ ．

(1)、求角 $A$ 的值．

(2)、若 $a = 1$ ，求 $b + c$ 的最大值．

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3、已知四面体 $A B C D$ 满足 $B C = 2 \sqrt{2}$ ，其余五条棱长均为2，该四面体的外接球球心为点 $O_{1}$ ，内切球球心为点 $O_{2}$ ，过直线 $O_{1} O_{2}$ 的平面截四面体 $A B C D$ 所得的截面的周长为 $L$ ，则 $L$ 的最小值为．

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4、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[- \frac{1}{2}, 1]$ ，则 $ω$ 的取值范围是．

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5、在 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数是．

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6、已知函数 $f (x)$ 满足 $\forall m$ ， $n \in R$ ， $f (m + n) + 2^{m} + 2^{n} = 2^{m} f (n) + 2^{n} f (m) + 1$ ， $f (1) = 3$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > f (0)$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 D、存在 $t \in R$ ，使得 $f (x) < t$ 恒成立

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7、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $ξ \sim N (1, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 2) = 0.82$ ，则 $P (0 < ξ < 2) = 0.64$ B、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{10} + 1$ 的方差为5 C、一组样本数据 $(80, 120)$ ， $(90, 140)$ ， $(100, a)$ ， $(110, 165)$ ， $(120, 180)$ ，其经验回归方程为 $\hat{y} = 1.45 x + 7$ ，则 $a = 155$ D、利用 $χ^{2}$ 进行独立性检验时， $χ^{2}$ 的值越大，判断两个分类变量不独立的把握越大

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8、已知复数 $z = \frac{i}{1 - 3 i}$ ，则以下说法正确的是（）

A、复数 $z$ 的虚部为 $\frac{i}{10}$ B、 $z$ 的模为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = - \frac{3}{10} - \frac{i}{10}$ D、 $z$ 是方程 $10 x^{2} + 6 x + 1 = 0$ 的一个根

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9、在菱形 $A B C D$ 中， $|\vec{A C}| = 4$ ，点 $E$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $\vec{A E} \cdot \vec{A C} = 12$ ，点 $F$ 为线段 $B D$ 上的一个动点（包括端点），若 $\vec{A F} = x \vec{A E} + y \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x + 2 y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、用数字0，1，2，3，4，5组成一个无重复数字的六位数，该数能被5整除且万位上的数字小于千位上的数字，则这样的六位数共有（）个

A、72 B、96 C、108 D、120

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11、已知 $sin α - sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (2 α - \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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12、已知直线 $y = x + a$ 是曲线 $f (x) = x^{2} - ln (3 x)$ 的一条切线，则 $a =$ （）

A、 $ln 3$ B、 $- ln 3$ C、 $ln \frac{3}{2}$ D、 $- ln \frac{3}{2}$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{e^{x}}{x}, x < 0 \\ \ln x - x^{3}, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、 $e$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $- e$ D、 $- \frac{1}{e}$

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14、已知 $x \in R$ ，则“ $- 2 \leq x \leq 3$ ”是“ $\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、在一个文艺比赛中，12位观众评委给同一名选手的打分依次为：36，42，46，47，49，55，58，62，66，68，70，75，这组数据的第80百分位数为（）

A、66 B、67 C、68 D、69

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16、已知集合 $U = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $A = \{- 1, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{1, 2\}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 3\}$ B、 $\{0, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0\}$

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17、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°.
（1）证明：AB⊥PC；
（2）若 $P C = 4$ ，且平面 $P A C$ ⊥平面 $P B C$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 体积.

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18、在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段： $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90]$ ，绘制了如下的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、根据频率分布表，估计该小组第 $62$ 百分位数以及平均成绩.

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 6$ ， $2 a - b = 2 c \cos B$ ，

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 在边 $A B$ 上， $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线，且 $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求边长 $a$ 的值．

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20、如图，在边长为2正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足 $B_{1} P ⊥ D_{1} E$ ，则点 $B_{1}$ 和满足条件的所有点P构成的图形的周长是.

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