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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ， $\vec{c} = (3, 1)$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $|\vec{a}| = \sqrt{5}$ B、 $\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量为 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直 D、若 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为锐角，则 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, 1)$

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2、如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 $P$ 出发，绕圆锥面爬行一周后回到点 $P$ 处，若该小虫爬行的最短路程为 $2 \sqrt{3}$ ，则这个圆锥的体积为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{2} π}{81}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{27}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15} π}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{5} π}{3}$

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3、如图是正方体在一个平面上的展开图，则在原正方体中，直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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4、已知向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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5、在复平面内，复数 $z = i^{3} + i^{2026}$ 所对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、已知函数 $y = f (x), x \in D$ ，若对于任意实数 $a, b, c \in D$ ， $f (a)$ ， $f (b)$ ， $f (c)$ 都能构成三角形的三条边长，则称函数 $y = f (x)$ 为 $D$ 上的“完美三角形函数”．

(1)、试判断函数 $f (x) = {sin}^{2} x + cos x + \frac{19}{4}$ 是否为 $R$ 上的“完美三角形函数”，并说明理由；

(2)、设向量 $\vec{m} = (2 k cos x, 2 cos x)$ ， $\vec{n} = (sin x, 3 k cos x)$ ，若函数 $g (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - 3 k + 1$ 为 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的“完美三角形函数”，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $h (x) = cos (2 x - \frac{π}{3})$ 为 $[\frac{π}{6}, θ]$ （ $θ$ 为常数）上的“完美三角形函数”．函数 $h (x)$ 的图象上，是否存在不同的三个点 $A_{i} (x_{i}, h (x_{i})) (i = 1, 2, 3)$ ，满足 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ ， $h (x_{1}) + h (x_{3}) = h (x_{2})$ ？若存在，求 $cos (x_{1} - x_{3})$ 的值；若不存在，说明理由．

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7、如图，在棱长为2的正四面体 $A - B C D$ 中， $P$ 为 $C D$ 上的动点， $M$ 为 $A B$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $N$ 为 $A P$ 的中点， $B N$ 与 $P M$ 交于点 $Q$ ．

(1)、用 $\vec{P A}$ ， $\vec{P B}$ 表示 $\vec{P M}$ ；

(2)、若点 $P$ 为 $C D$ 的中点，求 $\vec{P Q} \cdot \vec{P B}$ 的值；

(3)、若 $\vec{P Q} \cdot \vec{P B} = \frac{16}{15}$ ，求 $\frac{D P}{D C}$ 的值．

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8、已知函数 $f (x) = 2 \sin ω x \cos ω x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} ω x - \sqrt{3} (0 < ω \leq 3)$ ，且函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6}, 0)$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, m]$ 上的值域是 $[- \sqrt{3}, 2]$ ，求 $m$ 的取值范围．

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = C C_{1} = 2$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $A C_{1} ∥$ 平面 $B_{1} C E$ ；

(2)、若 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，求三棱锥 $E - C B B_{1}$ 的体积．

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10、已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (2 m^{2} - 3 m - 2) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $m \in R$ ．

(1)、若 $z$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限，求 $m$ 的取值范围．

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11、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且若 $\sqrt{3} (tan A + tan B) = \frac{2 c^{2}}{a^{2} + c^{2} - b^{2}}$ ， $b = 2$ ，则 $c + tan B$ 的取值范围为．

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12、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为平行四边形，如图所示，点 $E$ 是棱 $P D$ 上一点， $P E = \frac{2}{3} P D$ ，若 $\vec{P F} = λ \vec{P C}$ 且满足 $B F //$ 平面 $A C E$ ，则 $λ =$ ．

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13、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 11), \vec{b} = (3, - 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为．

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14、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ + μ = \frac{1}{3}$ ，则四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值 B、若 $A_{1} Q = \sqrt{7}$ ，则点 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{2 π}{3}$ C、若 $μ = 1$ ，平面 $A P Q$ 截正方体所得截面为四边形 D、若 $λ = μ = \frac{1}{2}$ ，则存在点 $E$ 在线段 $A_{1} B$ 上，使得 $A E + E Q$ 的最小值为 $\sqrt{6 + 2 \sqrt{7}}$

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15、某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻 $t$ （单位： $s$ ）时过山车（看作质点）离地面的高度 $h$ （单位：m）满足 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B, (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ．已知当 $t = 4$ 时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当 $t = 10$ 时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（）

A、 $A = 18$ B、过山车启动时距地面13m C、 $ω = \frac{π}{6}$ D、一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s

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16、已知 $i$ 为虚数单位，下列说法正确的是（）

A、若复数 $z = 3 + 4 i$ ，则 $|\bar{z}| = 5$ B、若复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $z = \pm 1$ 或 $z = \pm i$ C、若复数满足 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若复数 $z$ 满足 $|z - 1| = |z + 1|$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点的轨迹为直线

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17、在 $△ A B C$ 中，若 $sin A + sin B = \frac{4}{3}$ ， $cos A + cos B = \frac{1}{3}$ ，则 $sin C$ 的大小为（）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{15}{17}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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18、已知三棱锥 $A - B C D$ 的侧棱 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 两两垂直， $C D = 2$ ， $A C = A D$ ，若该三棱锥的外接球体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，则该三棱锥的表面积为（）

A、 $2 + \sqrt{6} + \sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{6} + \sqrt{13}$ C、 $1 + 2 \sqrt{6} + \sqrt{13}$ D、 $1 + 4 \sqrt{13}$

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19、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A = 60 °$ ， $b c = 6 \sin B \cos C$ ， $\cos B \sin C = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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20、已知在矩形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ， $|\vec{A B}| = 6$ ， $|\vec{A D}| = 3$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为（）

A、9 B、 $- 12$ C、15 D、 $- 20$

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