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相关试卷

1、如图，已知定点 $B (2, - 2), B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $M$ 是线段 $O B$ 上任意一点， $M D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $M E ⊥ B C$ 于点 $E, O E$ 与 $M D$ 相交于点 $P$ ，则 $|P D| + |P C|$ 的最小值为.

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2、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $S_{3} = 6, S_{5} = 20$ ，则 $S_{7} =$ .

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3、若 $tan (α - \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $tan α =$ .

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4、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高为 $2$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $A B = 8$ ，点 $M, N, P$ 均在平面 $B_{1} A C$ 内，且直线 $D_{1} P$ 与 $M N$ 夹角的正切值的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ，则（）

A、点 $P$ 的轨迹的长度为 $\frac{2 \sqrt{6} π}{3}$ B、直线 $D_{1} A_{1}$ 与 $D_{1} P$ 所成角的正切值的最小值为 $\frac{6}{5}$ C、线段 $P C_{1}$ 的长度的最小值为 $\sqrt{2}$ D、点 $P$ 到直线 $B_{1} C_{1}$ 的距离大于 $\frac{2}{3}$

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5、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (1) = 1, f (x + y) = f (x) f (1 - y) + f (1 - x) f (y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $f (1 - x) = f (1 + x)$ D、 $f (x + 2) = f (x)$

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6、若 $a, b$ 是两个不相等的正实数，则双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ 的（）

A、实轴长相等 B、焦距相等 C、离心率相同 D、渐近线相同

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} a_{n - 1} + a_{n - 2} (n > 2), S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $a_{2026} = 1$ B、 $a_{2026} = 2026$ C、 $S_{2026} = 1$ D、 $S_{2026} = 2026$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - \frac{2}{x} - 1, - 2 \leq x < 0 \\ ln x, x > 0 \end{array}$ ，设 $a, b, c$ 是三个不同的实数，且满足 $f (f (a)) = f (f (b)) = f (f (c))$ ，则 $a + b + c$ 的最小值为（）

A、 $e^{2} - 1$ B、 $e - 1$ C、 $e^{2} - 1 + \frac{1}{e}$ D、 $e - 1 + \frac{1}{e^{2}}$

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9、在钝角 $△ A B C$ 中， $b = 8, c = 7, C = 60^{\circ}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $10 \sqrt{3}$

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10、某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为 $8.5, 8.6, 8.8, 9.2, 9.4, 9.5, 9.7$ ，记为数组 $A$ ，将数组 $A$ 中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组 $B$ ，对这两个数组进行比较，有（）

A、极差相同 B、方差相同 C、 $60 %$ 分位数相同 D、平均数相同

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11、已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，则 $|\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{D B}| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12、已知 $a > 0, b > 0$ ，则“ $a b > 4$ ”是“ $a + b > 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、集合 $U = \{x \in Z ∣ |x| \leq 3\}, A = \{0, 1, 2, 3\}$ ，则 $∁_{U} A$ 中的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、复数 $z = (1 + i) (- 1 + 2 i)$ 的虚部为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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15、设函数 $f (x) = sin x$ .

(1)、当 $x > 0$ 时，证明： $f (x) < x$ ；

(2)、已知函数 $g (x) = k f (x) - e^{x} - ln (x + 1) + 1$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 内存在极值点 $α$ .
①求 $k$ 的取值范围；
②是否存在 $β \in (0, π)$ ，使 $g (β) = 0$ ？若存在，比较 $β$ 与 $2 α$ 的大小；若不存在，请说明理由.

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点为 $F$ .

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 为 $C$ 上一点， $C$ 在 $P$ 处的切线为 $l$ .
①证明： $l$ 的方程为 $\frac{x_{0} x}{4} + \frac{y_{0} y}{3} = 1$ ；
②设 $C$ 的右顶点为 $A, l$ 交直线 $m : x = 2$ 于点 $Q, P A$ 与 $F Q$ 交于点 $R, O$ 为坐标原点，求 $|O R|$ 的最小值.

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17、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ A P C$ ，连接 $P D, P B$ 构成四棱锥 $P - A B C D$ ．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - B$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ．
①求 $P B$ 的长；
②设 $P$ 在平面 $A B C D$ 上的射影为 $Q$ ，直线 $C Q$ 与 $A D$ 交于 $E$ 点， $F$ 为 $P B$ 的中点，证明： $E F //$ 平面 $P C D$ ．

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18、2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的 $30.4 %$ ，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
我国全口径发电量 $y$ （单位：万亿千瓦时）
8.52
8.85
9.46
10.09
10.58

(1)、由散点图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请用相关系数加以说明；

(2)、建立 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量.
参考数据： $\bar{y} = 9.5, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2.9, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 147.86, \sqrt{29} \approx 5.39$ .
参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a cos B + b cos A = 2 c cos C$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2 b, c = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，若函数 $f : A \to B$ 满足： $\forall x_{1}, x_{2} \in A$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 2$ ，则符合条件的函数共有个.

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年份	2021	2022	2023	2024	2025
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
我国全口径发电量 $y$ （单位：万亿千瓦时）	8.52	8.85	9.46	10.09	10.58