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相关试卷

1、已知集合 $A = \{(x, y) ∣ x - y + 1 = 0\}, B = \{(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} = 3\}$ ，则 $A \cap B$ 中的元素个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、无法确定

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2、已知函数 $f (x) = x + k \ln (1 + x) (k \neq 0)$ ，直线 $l$ 是函数 $y = f (x)$ 在 $x = t (t > 0)$ 处的切线.

(1)、当 $k = - 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的单调减区间；

(2)、求证：直线 $l$ 不经过原点；

(3)、当 $k = 1$ 时，设点 $A (t, f (t)) (t > 0)$ 、 $C (0, f (t))$ 、 $C (0, 0)$ 、 $B$ 为 $l$ 与 $y$ 轴的交点， $S_{△ A C O}$ 与 $S_{△ A B O}$ 分别表示 $△ A C O$ 和 $△ A B O$ 的面积.是否存在点 $A$ 使得 $2 S_{△ A C O} = 15 S_{△ A B O}$ 成立，若存在，这样的点 $A$ 有几个？若不存在，请说明理由.

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3、树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 $80 %$ ．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组 $[15, 25)$ ，第2组 $[25, 35)$ ，第3组 $[35, 45)$ ，第4组 $[45, 55)$ ，第5组 $[55, 65)$ ，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)、求出 $a$ 的值；求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

(2)、现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.

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4、如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为 $1$ ，高为 $2$ ，点 $M$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点（点 $M$ 与 $C$ 、 $C_{1}$ 均不重合）.

(1)、当点 $M$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点时，求证：直线 $A M ⊥$ 平面 $B_{1} M D_{1}$ ；

(2)、当 $D_{1} M ⊥ A B_{1}$ 时，求点 $D_{1}$ 到平面 $A M B_{1}$ 的距离.

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5、已知 $f (x) = x^{2} - a |x| + \frac{1}{x^{2} + 1} + a - 1$ ，且函数 $y = f (x)$ 有且仅有一个零点.若方程 $f (x) = k$ 无解，则实数 $k$ 的取值范围是（）.

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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6、投掷一枚均匀的骰子，若事件 $A$ 表示“掷出 $3$ 的倍数”，事件 $B$ 表示“掷出偶数”，事件 $C$ 表示“掷出合数”，则与事件 $A$ 独立的事件是（）.

A、是 $B$ 和 $C$ B、只有 $B$ C、只有 $C$ D、不存在

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7、设 $m \in R$ ，若幂函数 $y = x^{m^{2} - 2 m + 3}$ 的定义域为 $R$ ，且其图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的值可以是（）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8、已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = 1$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，向量 $\vec{b}$ 满足 ${\vec{b}}^{2} - 2 \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值是.

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9、已知一个棱长为 $a$ 的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为 $4 \sqrt{3}$ ，则实数 $a$ 的最大值是.

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10、若点 $A$ 、 $B$ 为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于 $A$ 、 $B$ 的点 $P$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为点 $Q$ ，若 $\frac{{|P Q|}^{2}}{|A Q| \cdot |B Q|} = \frac{1}{3}$ ，则该椭圆的离心率为.

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11、若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与底面所成角的大小是.

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12、函数 $f (x) = |x - 1| + |x - 2| (x \in R)$ 的最小值是.

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13、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ，则 $a_{6} =$

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14、若 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项展开式中第 $7$ 项是常数项，则 $n =$ .

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15、已知 $tan α = - \frac{4}{5}$ ，则 $tan (α - \frac{π}{4}) =$ .

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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17、若复数 $z = 1 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\frac{\bar{z} + 1}{z} =$ .

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18、不等式 $\frac{x + 3}{x} < 0$ 的解集是.

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19、全集 $U = R$ ，若集合 $A = \{x ||x| < 1\}$ ，则 $\bar{A} =$ .

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中 $B C // A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = 1$ ．

(1)、取线段PA中点M，连接BM，证明： $B M //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求二面角 $P - C D - A$ 的余弦值；

(3)、线段PC上是否存在点E，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $P C D$ ，若存在，求出 $\frac{P E}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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