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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $c^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 \sqrt{3}$ ，且 $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、3 D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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2、在 $△ A B C$ 中，若 $\tan B + \tan C + \sqrt{3} \tan B \tan C = \sqrt{3}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3、已知锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $\frac{sin A}{sin C} - 1 = \frac{{sin}^{2} A - {sin}^{2} C}{{sin}^{2} B}$ ， $A \neq C$ .

(1)、求证： $B = 2 C$ ；

(2)、求 $\frac{1}{cos C} + \frac{a}{b}$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 2$ ，求三角形 $A B C$ 面积的取值范围．

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4、已知 $f (x) = e^{x} + \frac{m}{e^{x}}$ 是偶函数.
（1）求实数 $m$ 的值；
（2）解不等式 $f (2 x) \geq f (x + 1)$ ；
（3）记 $g (x) = \ln {(3 - a) [f (x) - e^{- x}] + 1} - \ln 3 a - 2 x$ ，若 $g (x) \leq 0$ 对任意的 $x \in [0, + \infty)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ 上恰有一个最大值点和一个最小值点．

(1)、求实数 $ω$ 的取值范围；

(2)、如果求 $ω$ 在（1）的范围内取最小整数．令 $g (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \cos (ω x + \frac{π}{6}) + \sin (ω x + \frac{π}{6}) \cos (ω x + \frac{π}{6})$ ．求 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{5 π}{36}]$ 上的值域．

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6、某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本 $260$ 万元，生产 $x$ 千台空调，需另投入资金 $R$ 万元，且 $R = \{\begin{cases} 10 x^{2} + a x, 0 \leq x < 40 \\ \frac{901 x^{2} - 9450 x + 10000}{x}, x \geq 40 \end{cases}$ ，经测算，当生产 $10$ 千台空调时需另投入的资金为 $4000$ 万元．已知每台空调的售价为 $0.9$ 万元，且当年生产的空调能全部销售完．

(1)、求该企业生产并销售该款空调所获年利润 $W$ （单位：万元）关于年产量 $x$ （单位：千台）的函数关系式．

(2)、当年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？（注：利润 $=$ 销售额 $-$ 成本）

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7、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 4 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x |2 m - 1 \leq x \leq m + 1\}$ ．

(1)、若 $m = - 1$ ，求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的充分不必要条件，求 $m$ 的取值范围．

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8、 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $|\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{c}|$ 的取值范围是．

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ．向量 $\vec{m} = (b, a + c)$ ， $\vec{n} = (b - c, c - a)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．若边 $a = 8$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ ， $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，则 $A D$ 的长为．

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10、方程 $x^{ln 6} + x^{ln 8} = x^{ln 10}$ 的实数解为．

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11、下列结论正确的是（　　）

A、 $O$ 为平面内一定点，如 $\vec{O A} = 3 \vec{O B} - 2 \vec{O C}$ ，则 $A 、 B 、 C$ 三点共线且 $\vec{A B} = 2 \vec{B C}$ B、非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 C、已知 $\vec{a} = (- 6 ， 8) ， \vec{b}$ 是与 $\vec{a}$ 平行的单位向量，则 $\vec{b} = (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ D、平面内 $△ A B C$ 与动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) (λ \in R)$ ，则点 $P$ 的轨迹必过 $△ A B C$ 的内心

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12、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b = 1$ ．则下列结论一定成立的是（）

A、 $a b \leq \frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \geq 12$ C、 $4 a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{5}$

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13、已知点 $(a, 0) (a > 0)$ 是函数 $y = 2 tan (4 x + \frac{π}{3})$ 的图象的一个对称中心，则 $a$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{π}{24}$

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14、不等式 $\frac{x - 5}{x - 2} \geq 2$ 的解集为（　　）

A、 $\{x ∣ - 1 \leq x \leq 2\}$ B、 $\{x ∣ x \leq - 1\}$ C、 ${x ∣ - 1 \leq x < 2}$ D、 ${x ∣ x > 2}$

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15、若 $\frac{z}{z - 1} = 1 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（　　）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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16、已知集合 $M = \{x ∣ y = \sqrt{x - 1}\} ， N = \{y ∣ y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则 $M$ 与 $N$ 的关系为（　　）

A、 $M = N$ B、 $M \subseteq N$ C、 $N \subseteq M$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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17、设 $f_{n} (x) = {sin}^{n} ω x + {cos}^{n} ω x$ ，其中 $ω > 0$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、若 $f_{4} (x_{0}) = \frac{2}{3}$ ，求 $f_{6} (x_{0})$ 的值；

(2)、若 $ω = 1$ ，求不等式 $f_{1} (x) + 2 f_{3} (x) > 0$ 的解集；

(3)、若对任意 $x_{1}, x_{2} \in [\frac{π}{16}, \frac{π}{12}]$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，恒有 $\frac{f_{4} (x_{2})}{f_{4} (x_{1})} < \frac{f_{8} (x_{2})}{f_{8} (x_{1})}$ ，求实数 $ω$ 的取值范围.

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18、近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域 $O M N$ 内修建矩形水池 $A B C D$ ，矩形一边 $A B$ 在 $O M$ 上，点 $C$ 在圆弧 $M N$ 上，点 $D$ 在边 $O N$ 上，且 $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ， $O M = 60$ 米，设 $∠ C O M = α$ .

(1)、若 $α = \frac{π}{4}$ ，求 $O D$ 的长；

(2)、若矩形 $A B C D$ 的面积为 $S (α)$ ，当 $α$ 为何值时， $S (α)$ 取得最大值，并求出这个最大值.

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |x + 2|, x \leq 0 \\ |{log}_{3} x|, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有4个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是， $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是.

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20、函数 $f (x) = \lg (x^{2} - 2 x)$ 的单调递增区间是．

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