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相关试卷

1、甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙获胜的概率为 $1 - p$ ，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：
若一方以 $3 : 0$ 或 $3 : 1$ 获胜，则胜者得3分，败者得0分；
若一方以 $3 : 2$ 获胜，则胜者得2分，败者得1分．

(1)、求甲获得3分的概率；

(2)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，设甲的总得分为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、已知甲在比赛中的总得分 $X$ 的分布列由 $p$ 决定．定义意外指数为 $U (p) = P (X = 1) + P (X = 2)$ ．
①求 $U (p)$ 的表达式，并比较 $U (p)$ 和 $U (1 - p)$ 的大小关系；
②求 $U (p)$ 在 $p \in (0, 1)$ 上的最大值及取得最大值时的 $p$ 值．

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2、已知函数 $f (x) = a x - 3 + \frac{1}{x + 1} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $3 x - 2 \geq f (x)$ 对 $\forall x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 3$ ，证明：当 $0 \leq x < \frac{π}{2}$ 时， $\tan x > f (x)$ ．

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3、某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体展开学习调研，要求每个模型至少有一人负责，且每人只能选择一个.

(1)、若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？

(2)、若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一个模型，共有多少种不同的安排方案？

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4、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{4} = 4 S_{2}, a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{2^{a_{1}}} + \frac{1}{2^{a_{2}}} + \dots + \frac{1}{2^{a_{n}}} < \frac{2}{3}$ .

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5、某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区.现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案.

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6、若 ${(x^{2} - x + 2)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则 $|a_{1}| + |a_{2}| + \dots + |a_{8}| =$ .

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7、关于 ${(\frac{1}{3 x} - \sqrt{x})}^{8}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、展开式共有8项 B、展开式的二项式系数之和为256 C、展开式中没有常数项 D、展开式的第5项的二项式系数最大

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8、已知 $m, n$ 均为正整数，且 $m < n$ ，则（）

A、 $C_{11}^{5} = C_{11}^{6}$ B、 $A_{n}^{m} = A_{n}^{n - m}$ C、 $A_{n}^{m - 1} = C_{n}^{m - 1} A_{m - 1}^{m - 1} (m > 1)$ D、 $\frac{1}{n - m} A_{n}^{m + 1} = A_{n}^{m}$

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9、设 $a = e^{\frac{1}{2026}}, b = \frac{2027}{2026}, c = e^{\frac{1}{2027}}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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10、设 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ 分别为随机事件A，B的对立事件，已知 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $P (B ∣ A) + P (\bar{B} ∣ A) = 1$ B、 $P (B ∣ A) + P (B ∣ \bar{A}) = 0$ C、若A，B是相互独立事件，则 $P (A ∣ B) = P (A)$ D、若A，B是互斥事件，则 $P (B ∣ A) = 0$

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11、函数 $f (x) = \frac{10 | x | \ln | x |}{x^{3}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} - m x^{2} (m \in R)$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in (0, + \infty)$ 时，若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明： $x_{1} + x_{2} > 4$ ．

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13、如图，在正方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} C_{1} //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若 $B D_{1} = 6$ ，求点 $B$ 到平面 $A E C$ 的距离.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + 2, n 为奇数 \\ a_{n} + 3, n 为偶数 \end{array}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前40项和为.

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15、若椭圆 $E : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，则 $E$ 的长轴长为．

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，准线为 $l$ ，过焦点 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A^{'}, B^{'}$ ，则（）

A、 $F A^{'} ⊥ F B^{'}$ B、若 $|A F| = 3 |B F|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ C、 $A, O, B^{'}$ 三点共线（其中 $O$ 为坐标原点） D、 ${|A^{'} B^{'}|}^{2} = 4 |A F| |B F|$

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17、已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + b^{2} (b < 0)$ 在 $x = - 1$ 处有极值，且极值为8，则（）

A、 $f (x)$ 有三个零点 B、 $b = c$ C、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为 $3 x + y + 4 = 0$ D、函数 $y = f (x) - 2$ 为奇函数

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18、已知 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{3} = - 80$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = - 1$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} = 121$

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19、已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，且满足 $f^{'} (x) + f (x) > 0$ 对 $x \in [0, 1]$ 恒成立， $A$ ， $B$ 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (\sin A)}{e^{\sin B}} < \frac{f (\sin B)}{e^{\sin A}}$ B、 $\frac{f (\sin A)}{e^{\sin B}} > \frac{f (\sin B)}{e^{\sin A}}$ C、 $\frac{f (\cos A)}{e^{\sin B}} < \frac{f (\sin B)}{e^{\cos A}}$ D、 $\frac{f (\cos A)}{e^{\sin B}} > \frac{f (\sin B)}{e^{\cos A}}$

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20、现有 $2$ 名男同学和 $2$ 名女同学站成一排合影，则 $2$ 名女同学不相邻的站法种数是（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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