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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{a + sin x}{e^{x}}, a \in R, e$ 为自然对数的底数．

(1)、若函数 $f (x)$ 存在单调递增区间，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 0$ ，试讨论方程 $f (x) = \frac{cos x}{x}$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上解的个数；

(3)、求证：对任意的 $a \geq 0$ ， $x \in [- 1, 1]$ ，恒有 $e^{1 - 3 x} > 2 f^{'} (x)$ 成立．

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2、2024年3月20日，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在文昌航天发射场成功发射升空，鹊桥二号中继星作为探月四期后续工程的“关键一环”，将架设地月新“鹊桥”，为嫦娥四号，嫦娥六号等任务提供地月间中继通信．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为 $n$ 的样本进行调查，调查结果如下表：
学生群体
关注情况
合计
关注
不关注
大学生
$\frac{1}{2} n$
$\frac{7}{10} n$
高中生
合计
$\frac{3}{5} n$

(1)、完成上述列联表，若依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量 $n$ 的最小值；

(2)、该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．
已知某同学答出三个问题的概率分别是 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ，回答三个问题正确与否相互独立，则该同学选择哪种方案晋级的可能性更大？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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3、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\cos B = \frac{a - c}{2 c}$ .

(1)、求证： $B = 2 C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形且 $c = 1$ ，求a的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = - \frac{1}{a^{x} + 1} + \frac{x - 1}{a x}$ ，其中 $a$ 为常数，且 $a > 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，求 $a$ 的值；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上有唯一的零点．

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5、已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3}) + \sin (x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \cos x + a$ 的最大值为 $1$ ．

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求使 $f (x) \geq 0$ 成立的 $x$ 的取值集合．

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6、某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则 $P (X = 5) =$ .

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7、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (\frac{π}{4})$ 的值为.

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8、在斜三角形 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．若 $\sin A = \cos B$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、 $A - B = \frac{π}{2}$ C、若 $a = 1$ ，则 $b = \tan B$ D、 $1 < \cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{5}{4}$

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9、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ，且 $y = f (2 - x)$ 为偶函数，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为2 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(1, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 为奇函数

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10、在二项式 ${(x - 2)}^{6}$ 的展开式中，下列结论正确的是（）

A、常数项为-64 B、含 $x^{3}$ 的项的系数为-160 C、所有的二项式系数之和为64 D、所有项的系数之和为-1

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11、已知函数 $f (x) = \ln (1 + e^{x}) - \frac{1}{2} x, a = f (\frac{\ln 2}{2}), b = f (\frac{1}{e}), c = f (- \frac{\ln 3}{3})$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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12、设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在区间 $(0, π)$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{13}{6}, \frac{8}{3})$ B、 $[\frac{13}{6}, \frac{8}{3}]$ C、 $(\frac{13}{6}, \frac{8}{3}]$ D、 $[\frac{13}{6}, \frac{8}{3})$

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13、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + \log_{3} (x + 1) - 5$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$ B、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $\sin C = 2 \sin B$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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15、已知 $x, y \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\sin x = \frac{3}{5}, \cos y = \frac{5}{13}$ ，则 $\cos (x - y) =$ （）

A、 $\frac{8}{65}$ B、 $\frac{16}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{56}{65}$

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16、已知 $a, b \in R$ ，则“ $a^{3} > b^{3}$ ”是“ $\log_{2} a > \log_{2} b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x \leq 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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18、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ， $△ A C D$ 是等边三角形， $△ A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $E$ ， $F$ 分别是 $C D$ ， $A C$ 的中点， $P$ 是 $B D$ 上一点（不含端点）．

(1)、证明： $A D / /$ 平面 $B E F$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，且球 $O$ 的表面积为 $\frac{64π}{3}$ ．
（ⅰ）求三棱锥 $A - B C D$ 的体积；
（ⅱ）求直线 $B E$ 与平面 $A C P$ 所成角的正弦值的最大值．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n + 1}, b_{n} = 2 n - 1$

(1)、证明： $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{n b_{n}}{a_{n}}$ ，记 $\{c_{n}\}$ 前n项和为 $T_{n}$ ，对任意的正自然数n，不等式 $T_{n} < λ$ 恒成立，求实数 $λ$ 的范围．

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20、设 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $\sqrt{3} a \sin C + a \cos C = b + 2 c$ ．

(1)、求A；

(2)、已知 $△ A B C$ 的面积为 $18 \sqrt{3}$ ， $M$ 是 $B C$ 边上靠近点 $C$ 的三等分点， $A M = 4$ ，求 $c + 2 b$ 的值．

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学生群体	关注情况		合计
学生群体	关注	不关注	合计
大学生	$\frac{1}{2} n$		$\frac{7}{10} n$
高中生
合计	$\frac{3}{5} n$

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828