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相关试卷

1、已知直线 $y - 4 = k (x + 3)$ 与圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{12}{5}, 0)$ B、 $(0, \frac{12}{5})$ C、 $(- \infty, - \frac{12}{5}) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{12}{5}, + \infty)$

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2、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3, 4)$ ，若 $P (ξ < 2 a - 3) = P (ξ > a + 2)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、5

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3、在音乐理论中，若音 $M$ 的频率为 $m$ ，音 $N$ 的频率为 $n$ ，则它们的音分差 $1200 \log_{2} \frac{m}{n}$ .当音 $A$ 与音 $B$ 的频率比为 $\frac{9}{8}$ 时，音分差为 $r$ ，当音 $C$ 与音 $D$ 的频率比为 $\frac{256}{243}$ 时，音分差为 $s$ ，则（）

A、 $2 r + 3 s = 600$ B、 $3 r + 2 s = 600$ C、 $5 r + 2 s = 1200$ D、 $2 r + 5 s = 1200$

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4、 $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{2 + 4 i}{1 - i} =$ （）

A、 $- 1 + 3 i$ B、 $3 + i$ C、 $3 - i$ D、 $2 + 4 i$

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5、已知{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，如果a_n＝2023，则序号n等于（）

A、667 B、668 C、669 D、675

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6、消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期，在全市范围内抽取 $2000$ 名城乡居民进行调查，并运用数学方法对调查数据进行量化处理，编制成消费者信心指数．该市 $2023 - 2025$ 年各季度消费者信心指数数据如下：

第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
2023年消费者信心指数
115.1
114.6
109.0
108.4
2024年消费者信心指数
108.4
105.9
95.5
94.7
2025年消费者信心指数
99.1
95.3
95.8
103.3
消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数 $t \in [0, 100)$ 时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数 $t \in [100, 200)$ 时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率．

(1)、从上述 $12$ 个季度中随机抽取 $1$ 个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；

(2)、从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第 $i$ 季度消费者信心指数较上一季度的增长率为 $x_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ ．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明）

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7、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y, (p > 0)$ 的焦点F到直线 $y = x - 1$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，不过原点的直线l与C交于A，B两点．

(1)、求C的标准方程；

(2)、若直线l的方程为 $y = 2 x - 1$ ，求 $|A B|$ ；

(3)、若OA垂直于OB，求证：直线l过定点．

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8、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x - 2$

(1)、若 $f (x) > 0$ 在 $x \in [1, 4]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > (a + 3) x + 3 a - 2$ .

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C, A B ⊥ B C, P A = A B = A D = 2, B C = 1, △ P B D$ 是等边三角形， $E, F$ 分别是棱 $B P, C D$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足 $\vec{F_{1} A} = 2 \vec{F_{2} B}$ ，则椭圆C离心率的取值范围是．

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11、已知 $\frac{cos α}{2 cos α + sin α} = \frac{1}{4}$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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12、在 ${(3 x - 2 y)}^{7}$ 的展开式中，最大的二项式系数为.（用数字作答）

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13、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n}$ ， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ ，则（　　）

A、 $a_{n} = n \times 2^{n - 1}$ B、 $a_{n} = n \times 2^{n}$ C、 $S_{n} = n \times 2^{n} - 1$ D、 $S_{n} = (n - 1) \times 2^{n} + 1$

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14、已知样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{5}$ 的平均数是3，方差是2，样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{5}$ 的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（）．

A、数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， …， $2 x_{5} + 1$ 的平均数是7 B、数据 $2 y_{1} - 1$ ， $2 y_{2} - 1$ ， …， $2 y_{5} - 1$ 的方差是16 C、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{5}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{5}$ 的平均数为3 D、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{5}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{5}$ 的方差为4

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15、将函数 $y = sin x - \sqrt{3} cos x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = - 2 cos x$ B、 $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 cos x$ D、 $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})$

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16、从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（）．

A、24 B、36 C、60 D、120

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17、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$

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18、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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19、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足对于给定的正数 $λ$ ， $μ (λ < μ)$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $λ \leq a_{n} S_{n} \leq μ$ （ $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前n项和），则称 $\{a_{n}\}$ 为“ $(λ, μ)$ 稳定数列”.

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为“ $(1, 3)$ 稳定数列”，且 $a_{1} = 1$ ，求 $a_{2}$ 的取值范围.

(2)、若 $a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n}$ ，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $(1, 2)$ 稳定数列”.

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为“ $(λ, μ)$ 稳定数列”，证明 $\forall n \in N^{*}$ ， $λ n \leq S_{n}^{2} < 2 μ n + a_{1}^{2}$ ．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $A (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ ．

(1)、求椭圆C的方程.

(2)、设B为椭圆C的右顶点，过点 $P (1, 0)$ 的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）．
（ⅰ）记直线 $B M, B N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值.
（ⅱ）求 $△ B M N$ 的面积的取值范围.

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	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
2023年消费者信心指数	115.1	114.6	109.0	108.4
2024年消费者信心指数	108.4	105.9	95.5	94.7
2025年消费者信心指数	99.1	95.3	95.8	103.3