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相关试卷

1、在复平面内，复数 ${(\frac{2 - i}{i})}^{2}$ 对应的点位于（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、集合 $A = {x |x < 1}$ ， $B = \{x | x^{2} - 2 x < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x |0 < x < 1}$ B、 ${x |- 1 < x < 0}$ C、 ${x |- 1 < x < 2}$ D、 ${x |0 < x < 2}$

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3、定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，三个内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin C = \frac{2 S}{c^{2} - b^{2}}$ .

(1)、证明： $△ A B C$ 是倍角三角形；

(2)、若 $c = 9$ ，当 $S$ 取最大值时，求 $tan B$ .

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4、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是线段 $O D$ 的中点， $A E$ 的延长线与 $C D$ 交于点 $F$ ，若 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，且 $\vec{A F} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5、设 $A (1, \sqrt{3})$ ， $B (4, 0)$ ， $D (1, - \sqrt{3})$ ，圆Q过A，B，D三个点.

(1)、求圆Q的方程；

(2)、设点 $C (- 3, \sqrt{3})$ ，若圆Q上存在两个不同的点P，使得 $P A^{2} + P C^{2} = 2 λ$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 3$ ，证明：直线l恒过定点.

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6、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $P D = A B = 2 A D = \frac{1}{2} C D = 2$ ，且PD，AD，BD两两垂直， $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P C}$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $M B D$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $M B D$ 的距离；

(3)、求平面 $P B C$ 与平面 $M B D$ 夹角的余弦值．

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(0, - 2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $P (0, 2)$ ，若 $S_{△ O A B}$ $+ S_{△ P A B} = 3 \sqrt{2}$ ，求 $|A B|$ ．

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8、在 $△ A B C$ 中， $A (2, 3)$ ，直线AB的斜率为2，直线BC的方程为 $x + 7 y + 7 = 0$ ．

(1)、求直线AB的方程；

(2)、若 $A C = B C$ ， ①求 $△ A B C$ 的高CD所在直线的方程；②求顶点C的坐标．

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9、已知 $M$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)$ 上的动点，点 $N$ 满足 $\vec{M N} = (a, λ a) (λ > 0)$ ，记点 $N$ 的轨迹为 $C$ ，若圆 $O$ 与轨迹 $C$ 的公共弦所在直线的方程为 $2 x + y - 5 = 0$ ，则 $a + λ =$ ．

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10、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左､右焦点，点 $P$ 在椭圆上运动，则 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{4}{|P F_{2}|}$ 的最小值为.

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11、若 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，则称 $(x, y, z)$ 为 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标，若一向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标为 $(1, 2, 2)$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, 2 \vec{c}\}$ 下的坐标为．

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12、已知 $F_{1} (- 3, 0)$ ， $F_{2} (3, 0)$ ， $C_{1}$ 是满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 9$ 的动点 $P$ 的轨迹， $C_{2}$ 是以 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为焦点的椭圆，下列说法正确的是（）

A、 $C_{1}$ 与 $y$ 轴有2个公共点 B、若 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 有2个公共点在 $x$ 轴上，则 $C_{2}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、若 $M$ 为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的公共点，且 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，则 $C_{2}$ 的长轴长为 $3 \sqrt{6}$ D、点 $P$ 到原点 $O$ 距离的最大值为 $3 \sqrt{2}$

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13、下列说法正确的有（）

A、直线 $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ B、点 $A (- 2, 12), B (1, 3), C (4, - 6)$ 在同一条直线上 C、直线 $2 x - y + 3 = 0$ 关于点 $(3, 2)$ 对称的直线方程是 $2 x - y - 11 = 0$ D、经过任意两个不同点 $P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 的直线都可用方程 $(x_{2} - x_{1}) (y - y_{1}) = (y_{2} - y_{1}) (x - x_{1})$ 表示

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14、如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 $P (x, y)$ 是阴影部分（包括边界）的动点，则 $\frac{y}{x - 2}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、-1

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15、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A_{1} C_{1} = 1$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $M$ 为 $B C$ 中点，则平面 $M A C_{1}$ 与平面 $A C_{1} C$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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16、若圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上到直线 $x - \sqrt{3} y + 4 = 0$ 距离为1的点有且仅有2个，则 $r$ 的取值范围为（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(3, 5)$ D、 $(4, 6)$

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17、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，若点 $M$ 为 $A B$ 的中点， $\vec{C N} = \frac{1}{3} \vec{C C_{1}}$ ，则 $D B_{1}$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{21}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{21}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{14}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{14}$

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18、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $B C$ 的中点， $N$ 为 $A_{1} C_{1}$ 靠近 $A_{1}$ 的三等分点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C}$ $= \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{N M}$ 为（　　）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$

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19、设 $m$ 为实数，若方程 $\frac{x^{2}}{3 - m} + \frac{y^{2}}{m + 2} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 2 < m < 3$ B、 $m > 3$ C、 $\frac{1}{2} < m < 3$ D、 $- 2 < m < \frac{1}{2}$

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20、已知函数 $f (x) = ln x - a x (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) = x f (x)$ ，且 $g (x)$ 存在两个极值点．
①求 $a$ 的取值范围；
②设 $g (x)$ 的两个极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $ln x_{1} \cdot ln x_{2} + ln (x_{1} x_{2}) > 4 a^{2} - 1$ ．

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