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相关试卷

1、第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得 $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ A C D = 105 °$ ， $∠ A D C = 30 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ，则A，B两个基站的距离为（）

A、 $10 \sqrt{6}$ km B、 $30 (\sqrt{3} - 1)$ km C、15km D、 $10 \sqrt{5}$ km

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sin^{2} A - \sin^{2} C + \sin^{2} B = \sin A \sin B$ ，且 $c = 3$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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3、在 $△ A B C$ 中，若 ${\vec{B C}}^{2} = 2 \vec{A B} \cdot \vec{C B}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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4、已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 均为非零向量， $(\overset{⇀}{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \overset{⇀}{a}$ ， $|\overset{⇀}{a}| = |\overset{⇀}{b}|$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5、在 $△ A B C$ 中， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $\vec{B G} = x \vec{C B} + y \vec{C A}$ .则 $x + y =$ （）

A、1 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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6、下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $\cos^{2} \frac{π}{12} - \sin^{2} \frac{π}{12}$ B、 $\frac{\tan 22.5 °}{1 - \tan^{2} 22.5 °}$ C、 $4 \sin 195 ° \cos 195 °$ D、 $\sqrt{\frac{1 + \cos \frac{π}{6}}{2}}$

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7、已知复数 $z = 2 + i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、2 B、 $- i$ C、1 D、 $- 1$

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8、已知圆 $A_{1} ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，直线 $l_{1}$ 过点 $A_{2} (1 ， 0)$ 且与圆 $A_{1}$ 交于点B，C，BC中点为D，过 $A_{2} C$ 中点E且平行于 $A_{1} D$ 的直线交 $A_{1} C$ 于点P，记P的轨迹为Γ

(1)、求Γ的方程；

(2)、坐标原点O关于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的对称点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 关于直线 $y = x$ 的对称点分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ，过 $A_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 与Γ交于点M，N，直线 $B_{1} M$ ， $B_{2} N$ 相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.
① $△ Q B_{1} C_{1}$ 的面积是定值；② $△ Q B_{1} B_{2}$ 的面积是定值：③ $△ Q C_{1} C_{2}$ 的面积是定值.

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9、某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩x
科普过程性积分
人数
$90 \leq x \leq 100$
4
10
$80 \leq x < 90$
3
a
$70 \leq x < 80$
2
b
$60 \leq x < 70$
1
23
$0 \leq x < 60$
0
2

(1)、当 $a = 35$ 时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望 $E (X)$ ；

(2)、从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 $Y_{1}$ ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为 $Y_{2}$ .若根据表中信息能推断 $Y_{1} \leq Y_{2}$ 恒成立，直接写出a的最小值.

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ，点 $F$ 在 $P C$ 上， $E F ⊥ P C ， A C = 4 \sqrt{2} ， B D = 4 ， E F = 2$ ．

(1)、证明： $D F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P A$ 与平面 $B D F$ 所成的角为 $α$ ，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的夹角为 $β$ ，求 $α + β$ ．

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11、已知直线 $l : a x + b y - 3 = 0$ 经过点 $(a, b - 2)$ ，则原点到点 $P (a, b)$ 的距离可以是．（答案不唯一，写出你认为正确的一个常数就可以）

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12、已知 $\ln \frac{a}{b} = 2$ ，则 $\ln a^{2} - \ln b^{2} =$ .

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13、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体 $A B C D$ 作勒洛四面体，如图，则下列说法正确的是（）

A、平面 $A B C$ 截勒洛四面体所得截面的面积为 $8 π - 8 \sqrt{3}$ B、记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧 $A B$ ，则其长度为 $\frac{4 π}{3}$ C、该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4 D、该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 $4 - \sqrt{6}$

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14、已知点 $F (- c, 0) (c > 0)$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点，过 $F$ 且平行于双曲线渐近线的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 交于点 $F$ 和另一个点 $P$ ，且点 $P$ 在抛物线 $y^{2} = 4 c x$ 上，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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15、下图展示了一个由区间 $(0, 1)$ 到实数集R的映射过程：区间 $(0, 1)$ 中的实数 $m$ 对应数轴上的点 $M$ （如图1）；将线段 $A B$ 围成一个圆，使两端点 $A$ 、 $B$ 恰好重合（从 $A$ 到 $B$ 是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点 $A$ 的坐标为 $(0, 1)$ （如图3），图3中直线 $A M$ 与x轴交于点 $N (n, 0)$ ，则 $m$ 的象就是 $n$ ，记作 $f (m) = n$ ．
则下列命题中正确的是（）

A、 $f (\frac{1}{4}) = 1$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在其定义域上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称

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16、二项式 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中的常数项为（）

A、1792 B、－1792 C、1120 D、－1120

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17、 $A = \{1, a\}$ ， $B = \{2, 3, 4\}$ ，且 $A \cup B = {1,2, 3,4}$ ，则实数 $a$ 取值的集合是（）

A、 ${1,2, 3,4}$ B、 ${2,3, 4}$ C、 ${2}$ D、 ${3}$

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18、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，PD⊥平面ABCD，且 $P D = C D = 4$ ， $A D = 2$ ．

(1)、求证： $M N / /$ 平面PCD；

(2)、求AP与平面CMB所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $M - C B - P$ 的余弦值．

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b \sin 2 C = c \sin B$ ， $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，

(1)、求角C；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (2, 0)$ ，过点 $C (- 2, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $x_{A} > x_{B}$ ，若 $B F$ 为 $△ A F C$ 的角平分线，则直线 $l$ 的斜率为．

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科普测试成绩x	科普过程性积分	人数
$90 \leq x \leq 100$	4	10
$80 \leq x < 90$	3	a
$70 \leq x < 80$	2	b
$60 \leq x < 70$	1	23
$0 \leq x < 60$	0	2