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相关试卷

1、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 7$ ， $S_{9} = 90$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、20 B、18 C、16 D、15

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2、已知函数 $f (x) = a x + \ln x, g (x) = f (x) (x - \ln x) - x^{2}, a \in R$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $a \in Z$ ，且函数 $g (x)$ 只有一个零点，求 $a$ 的最小值.

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3、在 $△ A B C$ 中，点 $C$ 的坐标为 $(4, - 1)$ ， $B C$ 边上的中线所在直线的方程为 $3 x - y - 1 = 0$ ，直线 $A C$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ．

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴的正半轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ M O N$ （ $O$ 为坐标原点）面积的最小值．

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4、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的部分图象如图示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的不等式 ${(\frac{1}{a})}^{x} + {(- 2 b)}^{x} - m \leq 0$ 在 $[1, + \infty)$ 上有解，求实数m的取值范围．

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5、在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 3$ ， $B C = A B = 4$ ，设该阳马的外接球半径为 $R$ ，内切球半径为 $r$ ，则 $\frac{R}{r} =$ ．

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6、若函数 $f (x) = \ln x + x - 3$ 的零点在区间 $(k, k + 1)$ ， $k \in Z$ 内，则 $k =$ ．

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7、已知集合 $A = \{1,3, 6\}, B = \{x |1 < x < 7\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 7)$ B、 $(3, 6)$ C、 $\{1, 7\}$ D、 $\{3, 6\}$

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8、甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件 $A$ ， “甲不站在两端”为事件 $B$ ，则 $P (B ∣ A) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9、设 $n \in N^{*}$ ，对任意 $x \in R$ ， $x f_{n}^{'} (x) = (1 - n x) f_{n} (x)$ 成立，则该函数 $f_{n} (x)$ 称为“ $n$ 级函数”，其中 $f_{n}^{'} (x)$ 为函数 $f_{n} (x)$ 的导数．

(1)、判断函数 $y = x e^{k x}$ 和 $y = \frac{x}{e^{k x}}$ ，是否为“ $k$ 级函数”，并说明理由；

(2)、记（1）中的“ $k$ 级函数”为 $g_{k} (x)$ ．
①若 $\exists α, β \in R$ ， $α \neq β$ ，使得 $g_{1} (α) = g_{1} (β)$ ，证明： $α + β > 2$ ；
②若 $\forall x \in (- \frac{1}{2}, 1 - \frac{1}{2} \ln 2)$ ， $g_{2} (x) > \frac{\ln (x + a)}{2 (x + a)}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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10、某旅游景点统计今年五一期间进入景区的游客人数（单位：千人）如下：
日期
5月1日
5月2日
5月3日
5月4日
5月5日
第 $x$ 天
1
2
3
4
5
参观人数 $y$
2.2
2.6
3.1
5.2
6.9

(1)、根据上表数据，判断成对样本数据 $(x y)$ 的线性相关程度，请用样本相关系数 $r$ 加以说明；（若 $| r | > 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关性很强），如果 $y$ 与 $x$ 的线性相关性很强，那么求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入，游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为 $\frac{111}{263}$ ，且出景区与入景区选择相同门的概率为 $\frac{2}{3}$ ，选择与入景区不同两门的概率各为 $\frac{1}{6}$ ．假设游客从南门、东门、北门出入景点互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于5月1日游玩景点，设 $X$ 为4人中从东门出景区的人数，求 $X$ 的分布列、期望及方差．
附：参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 72$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ ， $\bar{y} = 4$ ， $\sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 95.86$ ， $\sqrt{158.6} \approx 12.59$ ．
参考公式：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}$ ．

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11、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，如果 $\forall x \in D$ ，都有 $f (a + x) + f (a - x) = 2 b$ 恒成立，那么 $f (x)$ 的图象关于 $(a, b)$ 对称．已知 $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x - \frac{2}{27} a^{3}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 3$ 时，
①证明：函数 $f (x)$ 图象关于 $(2, 0)$ 对称；
②求 $f (\frac{1}{10}) + f (\frac{2}{10}) + \dots + f (\frac{39}{10})$ 的值．

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12、为调查学生喜欢在食堂就餐是否和性别有关，学校随机调研了男女生各100人，经统计得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

男
女
喜欢
80
40
不喜欢
20
60

(1)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断学生喜欢在食堂就餐是否与性别有关？

(2)、为听取学生对食堂的建议，从学生中抽取9人召开座谈会，并给其中3名同学赠送礼品，每人1份（其余人员仅赠送餐券）．已知参加座谈会的学生中有且只有4名学生来自高一，求高一这4名学生中得到礼品的人数 $X$ 的分布列和数学期望．
$α$
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
6.635
7.879
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $(n = a + b + c + d)$

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13、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2, A D = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求平面 $A B C D$ 与平面 $A P M$ 夹角的余弦值．

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14、已知 $M = {x | 1 \leq x \leq 16, x \in N}$ ， $A = \{x_{1}, x_{2}, x_{3}\} \subseteq M$ ，且 $\frac{x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3}}{3} \in Z$ ．则满足条件的集合 $A$ 共有个．

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15、 ${(x + \frac{1}{x} + 2)}^{4}$ 的展开式的常数项是．

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16、已知 $f (x) = \sin^{3} x + a x - 6$ ，且 $f (- 1) = 8$ ，则 $f (1) =$ ．

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17、设事件 $A$ ， $B$ 满足 $0 < P (A) < P (A | \bar{B})$ ，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 可能独立 B、 $A$ 与 $B$ 可能互斥 C、 $P (A) > P (A | B)$ D、 $P (B) < P (B | \bar{A})$

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18、已知 $(2 - x) {(1 + x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2026} x^{2026}$ ，则（）

A、 $a_{1} = 4049$ B、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2026} = 2^{2025}$ C、 $2^{2026} a_{0} + 2^{2025} a_{1} + 2^{2024} a_{2} + \dots + a_{2026} = 3^{2026}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 2026 a_{2026} = 2024 \times 2^{2024}$

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19、下列命题正确的是（）

A、两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1 B、对具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，有一组观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 10)$ ，其经验回归方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + 3$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{10} = 3 (y_{1} + y_{2} + y_{3} + \dots + y_{10}) = 9$ ，则实数 $\hat{b}$ 的值是 $- 3$ C、已知随机变量 $X$ 的方差为4，则 $3 X + 2$ 的标准差是6 D、已知随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X < - 1) = 0.3$ ，则 $P (X < 2) = 0.7$

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20、甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{8}$

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日期	5月1日	5月2日	5月3日	5月4日	5月5日
第 $x$ 天	1	2	3	4	5
参观人数 $y$	2.2	2.6	3.1	5.2	6.9

	男	女
喜欢	80	40
不喜欢	20	60

$α$	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	6.635	7.879	10.828