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相关试卷

1、已知扇形的半径为3，中心角为 $\frac{2π}{3}$ ，则这个扇形围成的圆锥的内切球的体积是．

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2、已知向量 $\vec{m} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $\vec{n} = (- 1, 2)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则 $\cos^{2} θ - \frac{1}{2} \sin 2 θ =$ ．

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3、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则有（）

A、直线 $A_{1} G //$ 平面 $A E F$ B、异面直线 $E F$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ C、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ D、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$

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4、已知向量 $\vec{A C} = (k + 3, 1)$ ， $\vec{A B} = (2 k, 4)$ ，且 $△ A B C$ 是直角三角形，则k的值可以是（）

A、 $- 1$ 或 $- 2$ B、1或2 C、 $\pm \sqrt{6}$ D、 $\pm 3$

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5、下列命题正确的是（）

A、复数 $z = - 3 + 2 i$ 的共轭复数是 $\bar{z} = 3 - 2 i$ B、复数 $z = a^{2} + a - 2 + (a^{2} - 3 a + 2) i (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a = - 2$ C、复数 $z = m + 1 + i \ln (m^{2} - 1) (m \in R)$ 所对应的点在第二象限，则 $m < - \sqrt{2}$ D、已知 $z_{0} = 3 - 4 i$ ，复数z满足 $|z - z_{0}| = 1$ ，则 $|z|$ 的最大值为6

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6、如图，为了测量花溪河对岸一座塔楼 $C D$ 的高度，测量者小王在岸边点A处测得塔顶D的仰角为 $30 °$ ，塔底C与A的连线与河岸成 $15 °$ 角，小王沿河岸向西走了40米到达M处，测得塔底C与M的连线与河岸成 $60 °$ 角，则塔楼 $C D$ 的高度为（）

A、20米 B、25米 C、 $20 \sqrt{3}$ 米 D、 $20 \sqrt{2}$ 米

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7、已知 $a = \sqrt{x} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}, x > 0$ ， $b = e^{- 0.3}$ ， $c = \log_{2} \frac{2}{3}$ ，则有（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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8、在 $△ A B C$ 中，D为边 $B C$ 的中点，E，F分别为边 $A B$ ， $A C$ 上的点，且 $\vec{A B} = 3 \vec{A E}$ ， $\vec{A C} = 4 \vec{A F}$ ，若 $\vec{A D} = λ \vec{A E} + μ \vec{A F}$ ， $λ, μ \in R$ ，则 $2 λ - μ$ 值为（）

A、1 B、 $\frac{7}{2}$ C、3 D、5

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9、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来实际图形的周长是（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $4 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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10、已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，直线 $l \subset β$ ，则“ $α ∥ β$ ”是“ $l ∥ α$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、设复数 $z_{1}$ 所对应的点是 $(- 3, 1)$ ， $z_{2}$ 对应的点是 $(- 1, 1)$ ，则 $z_{1} z_{2} =$ （）

A、 $- 4 + 2 i$ B、 $2 - 4 i$ C、 $2 + 4 i$ D、 $- 2 - 4 i$

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12、设集合 $A = \{x |y = \sqrt{x^{2} - 1}\}$ ， $B = \{x |0 < x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $(1, 2]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[1, 2)$

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13、若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为整数．且对于 $\forall i, j \in N^{*}$ ， $i < j$ ，都存在 $k > j$ ，使得 $a_{k} = a_{i} a_{j} - a_{i} - a_{j}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 满足性质P．

(1)、判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
① $a_{n} = n$ ， $n = 1$ ， 2，3，…；
② $b_{n} = n + 2$ ， $n = 1$ ， 2，3，…．

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足性质P，且 $a_{1} = 1$ ，求证：集合 $\{n \in N^{*} |a_{n} = 3\}$ 为无限集；

(3)、若周期数列 $\{a_{n}\}$ 满足性质P，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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14、已知函数 $f (x) = x - 1 + \frac{a}{e^{x}}$ （ $a \in R, e$ 为自然对数的底数）
（1）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (x))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值；
（2）求函数 $f (x)$ 的极值；
（3）当 $a = 1$ 时，若直线 $l : y = k x - 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值.

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15、为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下
分组
A小区频数
B小区频数
18-40岁人群
60
30
41-70岁人群
80
90
其他人群
30
50
假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．

(1)、从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；

(2)、从A、B小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、设事件 $E$ 为“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件 $F$ 为“从B小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件 $E$ 发生的概率 $P (E)$ 与事件 $F$ 发生的概率 $P (F)$ 的大小，并说明理由．

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ∥ A D, A D = 2 B C$ ， $M$ 是棱 $P D$ 上靠近点 $P$ 的三等分点．

(1)、证明： $P B //$ 平面 $M A C$ ；

(2)、设平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线为 $l$ ，若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, A B ⊥ A D, P A ⊥ A D$ ， $P A = A D = 2 A B = 2$ ，求 $l$ 与平面 $M A C$ 所成角的正弦值．

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17、华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义：由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 $f (x)$ 是定义在R上的函数，对于 $x \in R$ ，令 $x_{n} = f (x_{n - 1}) (n = 1, 2, 3, \dots)$ ，若存在正整数k使得 $x_{k} = x_{0}$ ，且当 $0 < j < k$ 时， $x_{j} \neq x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个周期为k的周期点．若 $f (x) = e^{x - 1}$ ，写出一个 $f (x)$ 周期为1的周期点．

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18、如图， $B C, D E$ 是半径为3的圆 $O$ 的两条直径， $\vec{B F} = 2 \vec{F O}$ ，则 $\vec{F D} \cdot \vec{F E} =$ ．

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19、素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（）

A、一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 B、该“十字贯穿体”的表面积是 $112 - 16 \sqrt{2}$ C、该“十字贯穿体”的体积是 $48 - \frac{16 \sqrt{2}}{3}$ D、一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点 $A$ 出发，沿表面到达顶点 $B$ 的最短路线长为 $\frac{4}{3} + 4 \sqrt{2}$

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20、如图，过点 $C (a, 0) (a > 0)$ 的直线 $A B$ 交抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于A，B两点，连接 $A O$ 、 $B O$ ，并延长，分别交直线 $x = - a$ 于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（）

A、 $B M // A N$ B、以 $A B$ 为直径的圆与直线 $x = - a$ 相切 C、 $S_{△ A O B} = S_{△ M O N}$ D、 $S_{△ M C N}^{2} = 4 S_{△ A N C} \cdot S_{△ B C M}$

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分组	A小区频数	B小区频数
18-40岁人群	60	30
41-70岁人群	80	90
其他人群	30	50