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相关试卷

1、设函数 $f (x) = m \cos (x + α) + n \cos (x + β)$ ，其中 $m$ ， $n$ ， $α$ ， $β$ 为已知实常数， $x \in R$ ，若 $f (0) = f (\frac{π}{2}) = 0$ ，则（）

A、对任意实数 $x$ ， $f (x) = 0$ B、存在实数 $x$ ， $f (x) \neq 0$ C、对任意实数 $x$ ， $f (x) > 0$ D、存在实数 $x$ ， $f (x) < 0$

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2、教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于 $0.1 %$ .经测定，刚下课时，空气中含有 $0.2 %$ 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 $y %$ ，且 $y$ 随时间 $t$ （单位：分钟）的变化规律可以用函数 $y = 0.05 + λ e^{- \frac{t}{10}} (λ \in R)$ 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据： $ln 3 \approx 1.1$ ）（）

A、11分钟 B、14分钟 C、16分钟 D、20分钟

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} - 3, x > 0, \\ 2 - {(x + 1)}^{2}, x \leq 0, \end{array}$ 则 $y = f (f (x)) - 1$ 的零点个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4、某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（）

A、 $\{x |10 \leq x < 16\}$ B、 $\{x |12 \leq x < 18\}$ C、 $\{x |15 \leq x < 20\}$ D、 $\{x |10 \leq x < 20\}$

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5、对于函数 $y = f (x)$ ，若存在 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = - f (- x_{0})$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 与点 $(- x_{0}, f (- x_{0}))$ 是函数 $y = f (x)$ 的一对“隐对称点”，若函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x, x < 0 \\ m x + 2, x \geq 0 \end{cases}$ ，存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（）

A、 $[2 - 2 \sqrt{2}, 0)$ B、 $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{2}]$ C、 $(- \infty, 2 + 2 \sqrt{2}]$ D、 $(0, 2 + 2 \sqrt{2}]$

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6、下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \leq 2 a b$ B、 $a + b \geq - 2 \sqrt{|a b|}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq - 2 a b$ D、 $a + b \leq 2 \sqrt{|a b|}$

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7、已知 $p : | x + 1 | \leq 2, q : x < a$ ，且 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则实数 $a$ 可以是（）

A、3 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 3$

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8、已知集合 $A = \{x |x (x - 1) = 0\}, B = \{x |- 2 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{-2，-1，0，1，2} B、{0，1} C、{-1，1，2} D、{-1，0，2}

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60 °, B D ⊥ P C, A B = 4, A P = \sqrt{10}, C P = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、求二面角 $C - P D - B$ 的余弦值．

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10、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, P A = 2, P B = \sqrt{7}, A B = 3, M$ 为棱 $A B$ 上靠近点 $B$ 的三等分点，且 $C M$ 为 $∠ A C B$ 的角平分线，则二面角 $P - A C - B$ 的平面角的正切值的最小值为．

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11、现准备给一半径为 $6 cm$ 的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下该球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为 $4 cm$ 的圆，则制成的包装盒的容积最小为（）

A、 $133 {πcm}^{3}$ B、 $399 {πcm}^{3}$ C、 $266 {πcm}^{3}$ D、 $532 {πcm}^{3}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (3 sin θ + cos θ, sin θ - 5 cos θ), \vec{b} = (3 sin θ, cos θ), θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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13、有一组样本数据都在区间 $[1, 21]$ 内，将其制成如图所示的频率分布直方图，估计该组样本数据的平均数为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）

A、10 B、10.68 C、10.58 D、12

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14、已知集合 $A = \{x| x^{2} - 3 x > 0\}, B = \{0,1, 2,3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{4\}$ D、 $\{0, 3, 4\}$

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15、如图①，在直角梯形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B ∥ C D$ ， $A D = C D = \frac{1}{2} A B$ ， E为 $A C$ 的中点，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起构成几何体 $D - A B C$ ，如图②．在图②所示的几何体 $D - A B C$ 中：

(1)、在棱 $C D$ 上找一点F，满足 $A D ∥$ 平面 $B E F$ ，求几何体 $E - B C F$ 与几何体 $D - A B C$ 的体积比；

(2)、当几何体 $D - A B C$ 的体积最大时，
①求证： $B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；
②求二面角 $D - A B - C$ 的余弦值．

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16、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有三个条件：
① $(2 a + b) \cos C + c \cos B = 0$ ；
② $\sin^{2} A + \sin^{2} B - \sin^{2} C + \sin A \sin B = 0$ ；
③ $c^{2} - a^{2} - b^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ （S为 $△ A B C$ 的面积）．
请从以上三个条件中选择一个填入下面横线上作为前提条件，并求解．（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
已知：______．

(1)、若 $B C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 内切圆的半径；

(2)、若点D是 $A B$ 上一点，且 $B D = 2 D A$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，求 $C D$ 的最小值．

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17、已知向量 $\vec{m} = (2 \sin ω x, \sin ω x)$ ， $\vec{n} = (\cos ω x, 2 \sqrt{3} \sin ω x) (ω > 0)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - \sqrt{3}$ 的部分图象如图所示：

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调区间；

(2)、函数 $g (x) = f (x) - m$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 有两个不同的零点，求m的取值范围．

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18、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C$ ， E是 $P C$ 的中点，过点D作 $D F ⊥ P B$ 于点F．求证：

(1)、 $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、 $P B ⊥$ 平面 $D E F$ ．

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ， $\vec{c} = (λ, 1)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，求 $λ$ 值；

(2)、若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{5} \vec{c}$ ，求 $λ$ 的值．

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20、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， E为 $A D$ 的中点，F为 $A B$ 的中点，Q为边 $C D$ 上的动点（包括端点），则 $\vec{Q E} \cdot \vec{Q F}$ 的取值范围为．

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