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相关试卷

1、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (4, σ^{2})$ ，且 $\frac{P (ξ < 3)}{P (ξ < 5)} = \frac{1}{4}$ ，则 $P (3 < ξ < 5) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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2、下列命题正确的是（）

A、已知随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 10$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ B、若随机变量 $X$ 满足 $D (X) = 2$ ，则 $D (3 - X) = 1$ C、已知随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，若 $E (2 X + 1) = 9$ ，则 $n = 4$ D、已知随机变量 $X \sim B (6, \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 3) = \frac{5}{16}$

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3、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如下图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $\frac{5 e^{x} - 5 e^{- x}}{x^{2} + 2}$ B、 $\frac{5 \sin x}{x^{2} + 1}$ C、 $\frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{x^{2} + 2}$ D、 $\frac{5 \cos x}{x^{2} + 1}$

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4、著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120 °$ 的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos B = \frac{2 a \cos A}{c} - \frac{\sin B}{\tan C}$ ．若 $P$ 是 $△ A B C$ 的“费马点”， $a = 2 \sqrt{3}, b < c$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A} = - 4$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、在（2）的条件下，设 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x} + | \vec{P A} | + | \vec{P B} | + | \vec{P C} |$ ，若当 $x \in [0, 1]$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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5、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 为等边三角形， $G$ 为 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心， $\vec{B P} = \frac{1}{2} \vec{P A_{1}}$ ，若 $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = \frac{π}{3}, A B = A A_{1} = 1$ ，则（）

A、 $\vec{P G} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A A_{1}}$ B、 $\vec{A A_{1}} ⊥ \vec{B C}$ C、 $\vec{P G}$ $/ /$ $\vec{B C_{1}}$ D、 $|\vec{P G}| = \frac{\sqrt{5}}{3}$

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6、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是（）

A、若 $A = 45^{\circ}$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $\frac{a}{cos B} = \frac{b}{cos A}$ ，则△ABC为等腰三角形 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$ D、若 $△ A B C$ 的外接圆的圆心为O，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $|\vec{A O}| = |\vec{A B}|$ ，则向量 $\vec{C A}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{C B}$

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7、通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（ $< 10 mm$ ），中雨（ $10 mm - 25 mm$ ），大雨（ $25 mm - 50 mm$ ），暴雨（ $50 mm - 100 mm$ ）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位 $1 cm = 10 mm$ ）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的 $\frac{1}{6}$ ，则当天的降雨等级是（）

A、小雨 B、中雨 C、大雨 D、暴雨

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8、“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{14}{15}$

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．向量 $\vec{p} = (a + c, b), \vec{q} = (b - a, c - a)$ ．若 $\vec{p} / / \vec{q}$ ，则角C的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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10、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为1，空间中一点 $M$ 满足 $\vec{P M} = x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$ .则 $|\vec{P M}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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11、4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况，对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间（单位：小时），得到样本数据，并绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间 $\bar{t}$ ；（每组数据用该组的区间中点值作代表）

(3)、将（2）所得到的日平均阅读时间 $\bar{t}$ 保留为整数，并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差 $σ^{2}$ .

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12、某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号（拨过的号码后面不再重复拨），则拨号不超过三次而接通电话的概率为（）

A、 $\frac{9}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{10}$

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13、学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛.
个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题 $A_{1}, A_{2}$ （判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ 和与其相关的数学家 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ ，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.
团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的 $2 n$ 个人平均分成 $n$ 组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这 $n$ 个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的 $2 n$ 个人平均分成2组，每组 $n$ 人，电脑随机分配给同组 $n$ 个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这 $n$ 个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功.

(1)、在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率.

(2)、甲同学参加个人赛，他能够答对判断题 $A_{1}$ 并且配对正确 $B_{1}$ 与 $b_{1}$ ，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率.

(3)、在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 $p (0 < p < 1)$ ，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.

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14、已知函数 $f (x) = x (e^{x} - a x^{2})$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线与 $y$ 轴垂直，求 $y = f (x)$ 的极值.

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 只有一个零点，求 $a$ .

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15、在平面直角坐标系xOy中，点 $P$ 到点 $(\sqrt{3}, 0)$ 的距离与到直线 $x = - \sqrt{3}$ 的距离相等，记动点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与 $C$ 相切于点 $M$ ，若点 $M$ 的纵坐标为2，求直线 $l$ 的方程.

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16、若 $x > 0$ ，使 $2 x + \frac{4}{3 x + 2}$ 取得最小值时 $x$ 的值为.

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17、已知集合 $\{x | (x - a^{2}) (x - 1) = 0\}$ 的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）

A、{0} B、{1} C、{－1，1} D、{0，-1，1}

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18、如图，在 $4 \times 4$ 方格中，向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的起点和终点均为小正方形的顶点，则（）

A、 $|\vec{a}| = |\vec{c}|$ B、 $2 \vec{a} ⊥ 3 \vec{b}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ D、 ${\vec{a}}^{2} = \vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b})$

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19、已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为 $\sqrt{5}$ ，则该棱台的表面积为（）

A、72 B、82 C、92 D、112

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20、如图，正四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍，点P在侧棱SD上，且 $S P = 3 P D$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ S D$ ；

(2)、求二面角 $P - A C - D$ 的大小；

(3)、侧棱SC上是否存在一点E，使得 $B E / /$ 平面PAC．若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由．

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