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相关试卷

1、某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；

(2)、采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $E$ 为 $P C$ 的中点， $P D = A D = B D = 2$ ， $∠ A D B = 90 °$ .

(1)、 $P A //$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求三棱锥 $P - B D E$ 的体积．

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3、已知 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 6$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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4、已知在边长为 $2$ 的正三角形 $A B C$ 中， $M$ 、 $N$ 分别为边 $B C$ 、 $A C$ 上的动点，且 $C N = B M$ ，则 $\overset{⃑}{A M} \cdot \overset{⃑}{M N}$ 的最大值为．

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5、已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{c - b}{c - a}$ = $\frac{s i n A}{s i n C + s i n B}$ ，则B=

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6、双鸭山一中高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为

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7、《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法．某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为93，93，88，81，94，91，90．则这组时间数据（）

A、极差为13 B、中位数为81 C、平均数为90 D、方差为25

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8、设 $α$ ， $β$ ， $γ$ 为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（）

A、当 $α ⊥ β$ 时，若 $β / / γ$ ，则 $α ⊥ γ$ B、当 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ 时，若 $α / / β$ ，则 $m / / n$ C、当 $m \subset α$ ， $n \subset β$ 时， $α / / β$ ，则m，n是异面直线 D、当 $m / / n$ ， $n ⊥ β$ 时，若 $m \subset α$ ，则 $α ⊥ β$

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9、足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中 $A B = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} B_{1} = 4$ ，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $32 \sqrt{3} π$ C、 $48 π$ D、 $40 π$

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10、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b \sin C + c \sin B = 4 a \sin B \sin C$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 8$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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11、如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且 $A B = 30 \sqrt{7}$ 米， $∠ A O B = 150 °$ ，则雁鸣塔的高度 $O P =$ （）

A、30米 B、 $30 \sqrt{2}$ 米 C、 $30 \sqrt{3}$ 米 D、 $30 \sqrt{5}$ 米

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12、设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $\overset{⃑}{B D} = 2 \overset{⃑}{D C}$ ， $M$ 为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⃑}{M B} =$ （）

A、 $\frac{5}{6} \overset{⃑}{A B} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{A B} - \frac{5}{6} \overset{⃑}{A C}$ C、 $\frac{5}{6} \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{A B} + \frac{5}{6} \overset{⃑}{A C}$

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13、从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为 $\frac{2}{15}$ ， “两个球都是白球”的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则“两个球颜色不同”的概率为（）

A、 $\frac{4}{15}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{11}{15}$

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14、若 $|\overset{⃑}{a}| = 2, |\overset{⃑}{b}| = 4$ ，向量 $\overset{⃑}{a}$ 与向量 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则向量 $\overset{⃑}{a}$ 在向量 $\overset{⃑}{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{3}{4} \overset{⃑}{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⃑}{b}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{b}$ D、 $- \frac{1}{4} \overset{⃑}{b}$

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15、在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（）

A、男生投篮水平比女生投篮水平高 B、女生投篮水平比男生投篮水平高 C、男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定 D、男女同学投篮命中数的极差相同

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16、设复数 $z = \frac{3 + i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点的坐标为（）

A、 $(2, - 1)$ B、 $(2, - 2)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(2, 2)$

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17、在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人．

(1)、求2次传球后球在甲手中的概率；

(2)、设 $n (n \in N^{*})$ 次传球后球在甲手中的概率为 $P_{n}$ ，求证数列 $\{P_{n} - \frac{1}{3}\}$ 为等比数列，并求数列 $\{P_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的 $A, B, C, D$ 四点（ $A, B, C, D$ 为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为 $\frac{1}{4}$ ，传给对角线上同学的概率为 $\frac{1}{2}$ （例如：甲传球给乙或丁的概率都是 $\frac{1}{4}$ ，传球给丙的概率是 $\frac{1}{2})$ ；若第一次仍由甲将球传出，则 $n (n \in N^{*})$ 次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由．

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18、已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，以 $E$ 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．设 $O$ 为原点，直线 $y = x + m (m \neq 0)$ 与 $E$ 交于不同的两点 $A, B$ ，且与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O C}$ ，过点 $B$ 的直线与 $E$ 的另一个交点为 $B_{1}$ ．

(1)、求 $E$ 的方程及离心率；

(2)、若 $B B_{1} ⊥ x$ 轴，证明： $△ P A B_{1}$ 是等腰直角三角形．

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19、已知函数 $f (x) = x - a ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $f (x)$ 有极小值，且极小值小于 $a^{2}$ 时，求 $a$ 的取值范围．

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20、如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5, B C = 3, B B_{1} = 4, P$ 为矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一点，过点 $P$ 与棱 $B C$ 作平面 $α$ ．

(1)、直接在图中作出平面 $α$ 截此长方体所得的截面（不必说明画法和理由），判断截面图形的形状，并证明；

(2)、设平面 $α \cap$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} = l$ ．若截面图形的周长为16，求二面角 $A - l - B$ 的余弦值．

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