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相关试卷

1、已知在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $c cos B + b cos C = a^{2}$ ．

(1)、求 $a$ ；

(2)、若 $A = \frac{π}{3}$ ，且 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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2、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F (4, 0)$ ，则 $p =$ ；若斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过焦点 $F$ 且与抛物线交于 $A, B$ 两点， $A B$ 的中垂线交 $x$ 轴于点 $N$ ，则 $\frac{|A B|}{|N F|} =$ ．

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3、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 \leq φ < 2 π)$ 图象的相邻两个对称中心之间的距离为 $π$ ，则 $ω = \underline{}$ ；若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, π]$ 上单调递减，则 $φ$ 的一个取值可以为．

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4、已知随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (X > 2) = 0.4$ ，则 $P (- 2 \leq X \leq 0) =$ ．

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5、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} - a, x < 1 \\ (x - a) (x - 2 a), x \geq 1 \end{array}$ ，则（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{4}$ B、对任意的 $a > 0, f (x)$ 至少存在一个零点 C、存在 $a > 0$ ，使得 $f (x)$ 有三个不同零点 D、对任意的 $a \in (- \infty, 0), f (x)$ 在 $R$ 上是增函数

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6、若 $x^{2} + m x + n = 0 (m, n \in R)$ 的两根为 $z_{1}, z_{2}$ ，且 $z_{1} = 1 + \sqrt{2} i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m + n = 1$ B、 $z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第二象限 C、 $z_{1}$ 的虚部为 $\sqrt{2} i$ D、 $|z_{2}| = \sqrt{3}$

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7、下列命题正确的是（）

A、若随机变量 $ξ \sim B (2, \frac{1}{2})$ ，则 $E (ξ) = 1$ B、直线 $3 x + 4 y - 1 = 0$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交，且相交弦的长度为 $2 \sqrt{3}$ C、经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 至少经过样本点中的一个点 D、若 $cos α + sin β = \frac{1}{2}, sin α + cos β = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (α + β) = - \frac{59}{72}$

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8、已知 $A, B$ 是两个随机事件，且 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1, P (A B) = P (A \bar{B}) = P (\bar{A} B) = P (\bar{A} \bar{B})$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $P (A) = P (B)$ B、 $P (A ∣ B) = P (A ∣ \bar{B})$ C、事件 $A, B$ 相互独立 D、 $P (A + B) = 1$

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9、若曲线 $y = x e^{a - x} + b x$ 在 $x = 2$ 处的切线方程为 $y = (e - 1) x + 4$ ，则（）

A、 $a = 3, b = 1$ B、 $a = 3, b = - 1$ C、 $a = 2, b = - e$ D、 $a = 2, b = e$

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10、从三棱锥的6条棱中任选2条棱，则这2条棱所在的直线是异面直线的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11、已知空间中三条不同的直线 $a, b, c$ 和平面 $α$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ∥ α, b ∥ α$ ，则 $a ∥ b$ B、若 $a ⊥ α, b ⊥ α$ ，则 $a ∥ b$ C、若 $a ⊥ c, b ⊥ c$ ，则 $a ∥ b$ D、若 $a ∥ α, b \subset α$ ，则 $a ∥ b$

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12、已知正项数列 $\{a_{n}\}, n \in \{1, 2, 3, \dots, 7\}$ ．若该数列的前3项成等差数列，后5项成等比数列，且 $a_{1} = 1, a_{5} = 12, a_{7} = 48$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 所有项的和为（）

A、98 B、92 C、96 D、100

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13、在 ${(x + \frac{2}{x})}^{3}$ 的展开式中， $x$ 的系数为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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14、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 4 x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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15、已知集合 $A = \{x |x - 2 \leq 1\}, B = \{x |- 2 < x \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |x \leq 4\}$ B、 $\{x |3 \leq x \leq 4\}$ C、 $\{x |- 2 < x \leq 3\}$ D、 $\{x |- 2 < x \leq 4\}$

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16、已知 $P$ 是抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上任意一点，且 $P$ 到 $C_{1}$ 的焦点 $F$ 的最短距离为 $\frac{3}{2}$ .直线 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点，与抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 x$ 交于 $C (x_{3}, y_{3}), D (x_{4}, y_{4})$ 两点，其中点 $A, C$ 在第一象限，点 $B, D$ 在第四象限.

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的方程.

(2)、证明： $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{y_{3}} + \frac{1}{y_{4}}$

(3)、设 $△ A O B, △ C O D$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，其中 $O$ 为坐标原点，若 $|A C| = 3 |B D|$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ .

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17、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - k (x - 1), k \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意的 $k > 0$ ，存在 $x \in R$ ，使得 $k f (x) < e^{k + a}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18、为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为 $\frac{1}{3}$ ，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；

(2)、若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A A_{1} = 6. A B = B C = 3, \vec{A D} = λ \vec{A C} (0 < λ < 1)$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，证明： $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ .

(2)、若 $A B ⊥ B C$ ，且 $λ = \frac{1}{3}$ ，求平面 $B B_{1} C$ 与平面 $A_{1} B D$ 夹角的余弦值.

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20、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $a_{1} = 4$ ，且 $a_{5} - 4, a_{5}, a_{5} + 6$ 成等比数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{b_{n} - b_{n + 1}}{b_{n} b_{n + 1}} = a_{n}$ ，且 $b_{1} = \frac{1}{2}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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