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相关试卷

1、浙江省教育厅等五部门印发《浙江省山区26县和海岛县“县中崛起”行动计划》，从招生管理、县中对口帮扶、教科研指导等九方面提升共同富裕背景下教育公共服务的质量和水平.某校为增强实力，大力招揽名师、建设校园设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
年份序号 $x$
1
2
3
4
5
招生人数 $y$ /千人
1.3
1.7
2.2
2.8
3.5

(1)、由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请用相关系数加以证明；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 40, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 3.06, \sqrt{30.6} \approx 5.53$ ．
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，
回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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2、已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60^{°}, A B = 4 \sqrt{2}, Q$ 是边 $B C$ 上的动点．若 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = 2$ ，且 $P Q$ 与面 $A B C$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n + 1$ ，当 $\frac{S_{n} + 24}{a_{n}}$ 取最小值时， $n =$ ．

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4、圆心为 $C (3, - 5)$ ，且与直线 $x - 7 y + 2 = 0$ 相切的圆的方程为

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5、已知函数 $f (x)$ 定义域均为 $R$ ，且 $f (x + 2) + f (- x + 4) = - 2, f (\frac{1}{2} x + 2)$ 为偶函数，若 $g (x) = f^{'} (x)$ ，则下面一定成立的是（）

A、 $f (- 1) = - 1$ B、 $g (1) = 0$ C、 $\sum_{k = 1}^{2024} g (k) = - 2024$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = - 2024$

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6、已知直线 $l$ 过抛物线 $C : y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与该抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点．若线段 $M N$ 的长是20， $M N$ 中点到 $y$ 轴的距离是8， $O$ 为坐标原点，则（）

A、抛物线 $C$ 的焦点是 $(- 2, 0)$ B、抛物线 $C$ 的离心率为 $e = 1$ C、直线 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ D、 $△ M O N$ 的面积为 $4 \sqrt{10}$

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7、下列命题中，正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = 0.3$ ，则 $P (X < 4) = 0.7$ B、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{a}{i (i + 1)} (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 100)$ ，则 $a = \frac{99}{100}$ C、用 $X$ 表示 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数， $p$ 为每次试验中事件 $A$ 发生的概率，若 $E (X) = 150, D (X) = 50$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ D、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{a}{i (i + 1)} (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 100)$ ，则 $a = \frac{101}{100}$

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8、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, x \leq 1 \\ \ln x, x > 1 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m x - \frac{3}{4}$ 恰有三个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{\sqrt[4]{e}})$ B、 $(0, \frac{3}{4})$ C、 $(\frac{3}{4}, \frac{1}{\sqrt[4]{e}})$ D、 $(0, \frac{1}{\sqrt[4]{e}}]$

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9、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) + 2 f (x) < 0, f (0) = 1$ ，则（）

A、 $f (- 1) < e^{2}$ B、 $f (1) > \frac{1}{e^{2}}$ C、 $f (\frac{1}{2}) > \frac{1}{e}$ D、 $e f (1) < f (\frac{1}{2})$

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10、某学校有 $A$ ， $B$ 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去 $A$ 餐厅，那么第2天去 $A$ 餐厅的概率为0.6；如果第1天去 $B$ 餐厅，那么第2天去 $A$ 餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去 $A$ 餐厅用餐的概率（）

A、0.24 B、0.36 C、0.5 D、0.52

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11、 ${(\frac{1}{x} - x)}^{10}$ 的展开式中常数项是（）

A、－225 B、－252 C、252 D、225

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12、函数 $f (x) = 3 x^{3} - \tan x$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知直线 $l_{1} : (m + 1) x + 3 y - 1 = 0, l_{2} : 5 x + (m - 1) y - m + 1 = 0$ ，则“ $m = 4$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、截至目前，联合国共设5个常任理事国，10个非常任理事国，现从这15个国家中选取3个国家，且至少包含一个常任理事国，则共有的选法种数为（）

A、120 B、410 C、335 D、455

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15、设集合 $A = \{x |(x - 1) (x + 2) > 0\}$ ，集合 $B = \{x |- 5 \leq 2 x + 1 \leq 3\}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 3, - 2)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $R$ D、 $\emptyset$

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16、某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为 $X$ ，则 $X$ 的所有可能取值为，数学期望 $E (X) =$ ．

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17、在经济学中，将产品销量为 $x$ 件时的总收益称为收益函数，记为 $R (x)$ ，相应地把 $R^{'} (x)$ 称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 $R^{'} (x) = 1000 - x$ (注：经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论：
①当销量为1000件时，总收益最大；
②若销量为800件时，总收益为 $T$ ，则当销量增加400件时，总收益仍为 $T$ ；
③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500．
其中正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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18、定义：若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象在 $x \in C$ 上有且仅有一个交点，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $x \in C$ 上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - a x$ ， $a \in R$ ， $g (x) = x e^{x} + 2$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $0 \leq a < 1$ 时，
（i）求证：函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在“单交点” $(x_{0}, f (x_{0}))$ ；
（ⅱ）对于（i）中的正数 $x_{0}$ ，证明： $\ln [x_{0} (a + 1)] < 1$ .

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19、已知随机变量 $X$ 的分布列 $P (X = i) = \frac{a}{2^{i}}$ $(i = 1, 2, 3)$ ，则 $a =$ ．

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20、某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用 $A, B$ 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市 $n (n \in N^{*})$ 个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为 $\frac{5}{14}$ ．

(1)、在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；

(2)、若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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年份序号 $x$	1	2	3	4	5
招生人数 $y$ /千人	1.3	1.7	2.2	2.8	3.5