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相关试卷

1、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的 $n$ 前项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{5}}{S_{10}} = \frac{1}{33}$ ，则 $\frac{a_{10}}{a_{9} + a_{8}} =$ .

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2、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 y - 24 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 8 = 0$ 的公共弦所在直线的方程为．

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3、设定义在R上的可导函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 满足 $f^{'} (x) = g (x)$ ， $g^{'} (x) = f (x)$ ， $f (x)$ 为奇函数，且 $g (0) = 1$ . 则下列选项中正确的有（）

A、 $g (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 为周期函数 C、 $g (x)$ 存在最大值且最大值为 $1$ D、 $g (x + y) = g (x) g (y) + f (x) f (y)$

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4、已知 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 上异于坐标原点 $O$ 的两个动点，且以 $A B$ 为直径的圆过点 $O$ ，则（）

A、直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{8}{y_{1} + y_{2}}$ B、直线 $A B$ 过定点 $(8, 0)$ C、 $|A B|$ 存在最小值且最小值为 $16$ D、 $△ A B O$ 的外心轨迹为抛物线

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2 a_{n} = A n^{2} + B n + C (A^{2} + B^{2} \neq 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $A = 0$ 时，存在 $B$ ， $C \in R$ ，使得数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、当 $A = 0$ 时，存在 $B$ ， $C \in R$ ，使得数列 $\{a_{n} - B\}$ 是等比数列 C、当 $A \neq 0$ 时，存在 $B$ ， $C \in R$ ，使得数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 D、当 $A \neq 0$ 时，存在 $B$ ， $C \in R$ ，使得数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列

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6、下列四个命题中正确的是（）

A、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{m}\}$ 也是空间的一组基底 B、 $\vec{n}$ 是平面 $α$ 的法向量， $\vec{a}$ 是直线 $l$ 的方向向量，若 $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$ ，则 $l / / α$ C、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(\frac{1}{2}, 1, 1)$ D、 $O$ 为空间中任意一点，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ 且 $x + y + z = 1$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，若双曲线不存在以点 $(2 a, a)$ 为中点的弦，则双曲线离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$ C、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, + \infty)$ D、 $[\frac{\sqrt{5}}{2}, + \infty)$

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8、给定函数 $f (x)$ ，若数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $f (x)$ 的牛顿数列.已知数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $f (x) = x^{2} - x - 2$ 的牛顿数列， $a_{n} = \ln (\frac{x_{n} - 2}{x_{n} + 1})$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $x_{n} > 2 (n \in N_{+})$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ . 则 $S_{2024} =$ （）

A、 $2^{2024} - 1$ B、 $2^{2023} - 1$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{2024} - 1$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{2023} - 1$

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9、已知 $F$ 为椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点，直线 $m x - y + m = 0$ 与椭圆交于点 $A$ ， $B$ ，则 $△ A F B$ 的周长为）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、8 D、 $4 \sqrt{3}$

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10、已知圆 $C_{1} : x^{2} - 2 a x + y^{2} = 0 (a > 0)$ ，直线 $l : x + \sqrt{3} y = 0$ ，圆 $C_{1}$ 上恰有3个点到直线 $l$ 的距离等于1，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{2})}^{2} = 1$ 的位置关系是（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、相离

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11、函数 $f (x)$ 的定义域为开区间 $(a, b)$ ，导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(a, b)$ 内的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内有极小值点（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12、若直线 $a x + b y = 1$ 与 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 相离，则点 $P (a, b)$ 与圆 $O$ 的位置关系为（）

A、点 $P$ 在圆 $O$ 内 B、点 $P$ 在圆 $O$ 上 C、点 $P$ 在圆 $O$ 外 D、无法确定

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13、若点 $A (- 1, - 2), B (4, 8)$ ，已知 $A B$ 的方向向量为 $(1, k)$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $- 2$

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14、若 $\vec{A B} = (- 1, 2, 3)$ ， $\vec{B C} = (1, - 1, - 5)$ ，则 $|\vec{A C}| =$ （）

A、10 B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{5}$

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15、甲箱中有 $3$ 个红球和 $2$ 个白球，乙箱中有 $2$ 个红球和 $2$ 个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件 $B$ 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（）

A、 $P (A_{1}) = \frac{3}{5}$ B、 $P (B) = \frac{11}{50}$ C、 $P (B |A_{1}) = \frac{9}{50}$ D、 $P (A_{2} |B) = \frac{2}{11}$

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16、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 是定义域为R的函数，且 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，满足 $f (x) + g (x) = a x^{2} + x + 2$ ，若对任意的 $1 < x_{1} < x_{2} < 2$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 3$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- \frac{3}{4}, 0]$ C、 $(- \frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{4}, + \infty)$

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17、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过右焦点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．当 $l ⊥ x$ 轴时， $|A B| = \sqrt{2}$ ，椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、证明：直线MN过定点，并求定点坐标；

(3)、设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值．

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18、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 是 $C C_{1}$ 的中点， $A C = B C, A A_{1} = A B$ ．

(1)、证明： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、若 $∠ A C B = \frac{2}{3} π, A B = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 的所成角的余弦值．

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20、设数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3} + a_{7} = 18, S_{10} = 100$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2 n^{2}}{a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{n}{2} + \frac{1}{4}$ ．

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